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出版者:Wiley; 8 edition (January 11, 2000)

作者:Anton

出品人:

页数:848

译者:

出版时间:January 11, 2000

价格:$122.95(Amazon)

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isbn号码:9780471170525

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《高等代数精要：向量空间与线性变换的深度解析》 本书简介 本书旨在为读者提供一套全面、严谨且富有洞察力的现代高等代数知识体系，特别聚焦于向量空间、线性变换及其在理论与应用中的核心地位。我们摒弃了传统教材中过于繁琐的初等矩阵运算细节，转而将重点置于抽象代数结构、几何直观的培养以及解决复杂问题的能力构建之上。本书的读者群体面向具有一定微积分基础，渴望深入理解线性代数本质的理工科学生、数学专业本科生，以及需要回顾或系统学习该领域理论深度的研究人员。 第一部分：代数基础与向量空间结构 第1章 域与数环的复习与引入 本章首先回顾了数域（如实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$）的基本性质，并简要介绍了有限域的初步概念，为后续抽象向量空间的研究打下坚实的代数基础。我们着重强调了域的完备性在分析和几何应用中的重要性。 第2章 向量空间：抽象的基石 本章是全书的理论核心。我们严格定义了向量空间（Vector Space）及其子空间（Subspace），并详细阐述了线性组合、线性相关性与线性无关性的概念。重点在于理解“向量”不仅仅是坐标的有序数组，而是在特定代数结构下满足加法和标量乘法运算的元素集合。我们引入了生成集（Spanning Set）的概念，并利用它来构建子空间。 第3章 基与维数：空间的度量 本章深入探讨了向量空间的“骨架”——基（Basis）。我们证明了任何向量空间的基的存在性，并严格证明了维数（Dimension）的唯一性。对于有限维空间，我们详细分析了坐标（Coordinates）的概念，展示了如何通过选择不同的基底来描述同一个向量空间，从而揭示了空间描述的主观性与结构的一致性之间的平衡。此外，我们探讨了直和（Direct Sum）的概念，为后续的分解定理奠定基础。 第二部分：线性变换与矩阵表示 第4章 线性变换：结构保持的映射 本章将视角从静态的向量空间转向动态的映射——线性变换（Linear Transformation）。我们定义了线性变换的四个基本性质，并探讨了其核（Kernel，或零空间）与像（Image，或值域）之间的关系，即著名的秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的完整证明与应用。本章强调线性变换是保持向量空间结构的“最佳”映射。 第5章 矩阵：线性变换的具象化 本章是理论与计算的桥梁。我们展示了如何根据给定的基底，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵。我们详细分析了相似变换（Change of Basis）对矩阵表示的影响，证明了两个矩阵表示一个相同线性变换的充分必要条件是它们相似。本章还深入探讨了矩阵乘法的几何意义——复合变换。 第6章 行列式：空间形变的量度 本章专门用于解析行列式（Determinant）。我们采用公理化的方法定义行列式，强调其作为体积（或定向面积）的缩放因子的几何意义。我们推导了行列式的代数性质，包括如何通过初等行变换（Elementary Row Operations）计算行列式，以及行列式在判断线性变换是否可逆性上的决定性作用。 第三部分：结构分解与特征理论 第7章 特征值与特征向量：不变的方向 本章引入了高等代数中最引人入胜的概念之一：特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector）。我们从微分方程和动力系统的角度引入动机，随后严格定义了特征方程及其解。本章的核心在于理解特征向量代表了在线性变换作用下方向保持不变的特定方向。 第8章 对角化：化繁为简的艺术 本章探讨了可对角化（Diagonalizable）的充分必要条件。我们对比分析了代数重数（Algebraic Multiplicity）和几何重数（Geometric Multiplicity）的关系。当一个矩阵可对角化时，我们展示了如何利用特征值和特征向量来简化高次幂矩阵的计算，这在迭代过程分析中具有无可替代的优势。 第9章 不变子空间与特征子空间 本章将特征理论提升到更抽象的层面。我们定义了不变子空间（Invariant Subspace），并证明了由特征向量张成的子空间都是不变子空间。我们深入讨论了特征子空间（Eigenspace）的结构，并引入了更一般的矩阵分解理论——若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的初步概念，为处理不可对角化的情况做好了理论铺垫。 第四部分：内积空间与正交性 第10章 内积空间：引入几何结构 本章将代数结构与几何直觉完美结合。我们定义了内积（Inner Product），并基于此定义了范数（Norm，长度）和正交性（Orthogonality）的概念。我们强调了内积空间（如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 和酉空间 $mathbb{C}^n$）是使得我们可以谈论角度、距离和投影的向量空间。 第11章 正交基与正交投影 本章的核心工具是施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthonormalization），它提供了一种系统地从任意基构造出正交基的方法。我们利用正交基的优越性，推导出了正交投影定理（Orthogonal Projection Theorem），这是理解最小二乘法和函数逼近的理论基础。 第12章 自伴算子与谱定理 本章深入研究内积空间中一类特殊且重要的线性变换——自伴（或自共轭）算子（Self-Adjoint Operators）。我们证明了实对称矩阵（或复自伴矩阵）的谱定理（Spectral Theorem），该定理指出任何自伴算子都可以通过一个酉变换（或正交变换）对角化，且其特征值全部为实数。这在量子力学等领域具有基础性的地位。 附录：线性代数在应用中的启示 附录简要概述了本领域知识在求解微分方程组、数据降维（如主成分分析PCA的理论基础）、以及图论中的应用，旨在激发读者对理论知识实用价值的进一步探索。 本书特色 本书的撰写风格追求清晰的逻辑链条和严谨的数学证明，同时注重培养读者的抽象思维能力。我们通过大量的几何解释和精心设计的例题，确保读者能够将抽象的定义与具体的空间图像联系起来。每一章末尾都附有难度递进的习题，旨在巩固概念理解和提升证明技巧。本书不依赖于预先学习任何线性代数外的复杂理论，力求使线性代数本身成为一个自洽、优美的数学分支被完整呈现。

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我必须承认，《Elementary Linear Algebra》在我的学习生涯中扮演了极其重要的角色。在此之前，我对线性代数的理解仅限于一些零散的符号和公式，缺乏系统性的认知。这本书的出现，彻底改变了我的看法。它以一种非常扎实的态度，从最根本的原理讲起，逐步深入。我特别欣赏它在引入抽象概念时，所做的细致铺垫。例如，在讲解线性变换时，它没有直接给出抽象的定义，而是先从二维平面上的旋转、缩放、剪切等几何变换入手，让读者在直观的几何图像中理解线性变换的本质。这种从具体到抽象的循序渐进，极大地降低了理解难度，也让我对线性代数有了更深刻的感悟。书中的证明过程也写得非常严谨，但同时又不会过于枯燥。作者善于运用一些辅助性的解释和图示，帮助读者理解证明思路，而不是仅仅罗列逻辑步骤。我经常会在遇到一个证明时，先仔细阅读书中的解释，然后再尝试自己推导一遍，这种学习方式比单纯背诵证明要有效得多。此外，这本书对于线性代数在各个领域的应用也做了相当多的介绍，比如在计算机图形学、数据科学、工程学等方面的应用案例。这些案例不仅增加了学习的趣味性，也让我认识到线性代数并非只是一个纯粹的理论学科，它在现实世界中有着广泛而重要的用途。每当我遇到一些难理解的概念，都会习惯性地翻阅这本书，总能从中找到让我豁然开朗的解答。它就像一个宝藏，每次翻阅都能发现新的价值。

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我得说，《Elementary Linear Algebra》这本书，是我在众多数学教材中，最具有“亲和力”的一本。它不像一些传统教材那样，上来就用大量晦涩的符号和定义来“吓唬”读者。这本书的语言非常平实，讲解也非常细致，仿佛作者就坐在你身边，耐心地为你解答每一个疑问。我尤其喜欢它对“向量”和“矩阵”的讲解。它不是简单地给出定义，而是会从几何意义、代数意义以及在不同领域的应用意义等多个维度来解释。例如，它会用箭头来表示向量，用表格来表示矩阵，然后通过实际的例子，比如图像的平移、旋转，或者电路的电流计算，来展示向量和矩阵的强大功能。这种多角度的阐释，让我对这些基本概念有了更全面、更深刻的理解。书中的例题也是精心挑选的，它们不仅能够巩固所学知识，还能够引导读者去思考。很多例题都包含了一个“解题思路分析”的部分，这部分内容比直接给出答案更有价值，它能够教会我如何去思考问题、分析问题，并找到解决问题的路径。我常常会在做完例题后，再仔细阅读一遍“解题思路分析”，这让我受益匪浅。而且，这本书的章节之间过渡非常平滑，就像一串珍珠，每一颗都紧密相连，共同串起了整个线性代数的知识体系。它不会让你感到知识是割裂的，而是能够让你清晰地看到知识之间的逻辑联系。

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这本书简直是线性代数领域的璀璨明珠，我敢说，市面上很难找到一本比它更适合初学者入门的教材了。我之前接触过一些其他的线性代数书籍，有些讲得过于抽象，让我云里雾里，感觉像是被丢进了一个数学黑洞。但《Elementary Linear Algebra》完全不同，它像是你身边一个耐心细致的数学向导，一步一步地引领你走出迷宫。从最基础的概念，比如向量、矩阵的加法和乘法，到稍微复杂一些的行列式、线性方程组的求解，这本书都处理得恰到好处。作者并没有一上来就抛出大量定义和定理，而是通过大量生动形象的例子来引入概念。我记得学习向量空间的时候，它就用了三维空间中的几何直观来解释，这让我立刻就有了画面感，而不是死记硬背抽象的公理。而且，这本书的例题分析非常到位，每一步计算都清晰明了，讲解思路也很缜密，让你不仅知道“怎么做”，更明白“为什么这么做”。更难得的是，它非常注重概念之间的联系，让你能看到线性代数各个部分是如何相互支撑、融会贯通的，而不是零散的知识点堆砌。每章末的习题也是精心设计的，有基础性的巩固练习，也有一些需要思考和发散的拓展题，这让我在掌握基本技能的同时，也能培养自己的数学思维。我个人尤其喜欢它在讲解某些定理时，会穿插一些历史背景或者应用场景，这让我觉得数学不再是冰冷的符号，而是人类智慧的结晶，背后有着深刻的逻辑和实际的价值。这本书的语言风格也十分友好，没有太多艰涩的术语，即使是第一次接触线性代数，也不会感到畏惧。它就像一位经验丰富的老师，用最清晰、最易懂的方式，将复杂的数学世界呈现在你眼前。

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我一直认为，学习一门新的数学分支，最关键的是要建立起一个坚实的“骨架”。《Elementary Linear Algebra》正是这样一本能够为你搭建起坚实数学骨架的绝佳教材。它从最基础的定义出发，一步一个脚印地向前推进，保证了学习的连贯性和牢固性。我特别欣赏书中对“定义”的处理方式。作者不是简单地抛出定义，而是会详细解释每个定义中的关键术语，并给出多个不同维度的例子来帮助理解。比如，在定义“矩阵”时，它不仅会给出标准定义，还会展示矩阵在不同场景下的具体表现形式，例如作为线性方程组的系数矩阵、作为线性变换的表示矩阵等。这让我能够从不同的角度去理解同一个概念，从而加深了印象。书中对“定理”的讲解也同样细致。在陈述一个定理后，作者会花大量篇幅来解释定理的“意义”和“应用”。它会告诉你，这个定理解决了什么问题，它背后蕴含着怎样的数学思想，以及它如何在后续的学习中发挥作用。我经常会在阅读定理证明时，先仔细研读作者的“证明思路解析”，这部分内容往往比严格的数学证明更能帮助我理解证明的逻辑链条。而且，这本书的章节之间衔接非常自然，当你掌握了一个章节的内容后，会很自然地过渡到下一章节，感觉知识点是层层递进、融会贯通的。它就像一条蜿蜒的河流，你沿着它的方向前进，最终会汇入更广阔的海洋。

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坦白说，我当初拿起《Elementary Linear Algebra》这本书，并没有抱有多大的期望。我之前对线性代数的一些接触，留下了“抽象”、“难懂”的印象。但这本书，彻底颠覆了我的认知。它最让我印象深刻的是，它在讲解数学概念时，始终不忘“直观性”。作者非常擅长利用几何图形、物理场景或者生活中的类比来解释抽象的数学原理。我记得在学习“向量”这个概念时，它就用了生活中常见的“方向”、“大小”的例子，以及地图上的坐标系来帮助理解。这让我在脑海中立刻就有了清晰的画面，而不是被一堆符号淹没。在讲解“方程组”时，它更是将几何图像和代数运算紧密结合，让我看到方程组的解在几何上对应的直线、平面甚至是更高维度的交点。这种“化抽象为具体”的处理方式，对于初学者来说，无疑是巨大的帮助。而且，书中不仅讲“是什么”，更讲“为什么”。它会深入剖析每个概念的由来和它在数学体系中的位置。例如，在讲解“行列式”时，它会追溯到求解二元一次方程组的克拉姆法则，然后引出其在几何上表示变换的面积（或体积）缩放比例的意义。这种“溯源”式的讲解，让我对知识的理解更加深入，也更能体会到数学的逻辑之美。这本书的习题设计也很有特色，除了基本的计算和证明题，还包含了很多“思考题”，这些题目往往需要你运用所学知识去分析和解决一些实际问题，能够有效地培养你的独立思考能力。

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说实话，《Elementary Linear Algebra》这本书的写作风格可以说是非常“非主流”的，但正是这种“非主流”让它如此吸引人。它不是一本循规蹈矩、按部就班的教科书，而是充满了作者的个人思考和独特的讲解方式。我曾经尝试过阅读一些被广泛推荐的经典线性代数教材，但总觉得它们缺少了那么一点“灵魂”。而这本书，虽然在某些方面可能不如那些“大部头”来得详尽，但它在“启发性”和“趣味性”上却做得非常出色。它在讲解概念时，经常会提出一些引人深思的问题，或者用一些出人意料的比喻来解释抽象的数学原理。我记得在学习“线性无关”这个概念时，作者并没有一开始就给出正式定义，而是通过一个“一群士兵能否用最少的步调组成各种队形”的类比，让我立刻就理解了线性无关的“独立”和“生成”的含义。这种方式非常新颖，也让我对数学产生了前所未有的兴趣。书中的章节安排也很有创意，它不是按照传统的“行列式-向量空间-特征值”的顺序来展开，而是更加注重概念之间的逻辑联系和应用。有时候，它会先介绍一个应用场景，然后再引入相关的数学工具，让你在解决问题的过程中学习数学。这种“以应用驱动学习”的方式，对于那些希望看到数学实际用处的读者来说，无疑是巨大的福音。而且，这本书的排版设计也相当精美，图文并茂，阅读体验非常舒适。即使是长篇的数学证明，也被处理得井井有条，不会让人感到眼花缭乱。

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我可以毫不犹豫地说，《Elementary Linear Algebra》这本书，是我接触过的最“用户友好”的线性代数教材之一。它最大的特点在于，它始终站在读者的角度思考问题，力求将复杂的数学概念以最易懂的方式呈现出来。我尤其欣赏它在讲解“方程组的解”时所做的细致分析。它不仅仅会给出高斯消元法、克拉姆法则等求解方法，更重要的是，它会从几何意义上解释方程组为什么会有唯一解、无穷多解或者无解的情况，并将这些情况与直线、平面的交点联系起来。这种“几何与代数”的结合，让抽象的代数运算变得直观可感。书中的插图也起到了非常重要的作用。它们不仅仅是装饰，而是真正地帮助我理解概念。比如，在讲解向量的加法和减法时，书中就使用了“平行四边形法则”和“三角形法则”的插图，让我能够形象地理解向量的运算。而且，这本书的语言风格非常具有“引导性”。它会经常提出一些问题，然后引导读者去思考，去发现规律，而不是直接给出答案。这种“启发式”的教学方式，能够极大地提高我的学习主动性。我常常会在阅读过程中，主动去思考作者提出的问题，并尝试自己去解答。

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《Elementary Linear Algebra》这本书，在我眼中，是一本兼具“严谨性”和“启发性”的优秀教材。它在保证数学严谨性的同时，也充满了数学思想的火花。我特别赞赏书中在引入新概念时所做的“铺垫”工作。作者不会急于给出正式定义，而是会先通过一些实际问题或者直观的例子来引出概念的必要性。例如，在讲解“矩阵的逆”时，它会先从“可逆变换”的角度来解释，让我们明白为什么需要存在一个“逆”的概念。这种“因果”式的讲解，让我对数学概念的理解更加透彻。书中的证明也写得非常到位。它既有严格的数学推导，又会穿插一些“证明技巧”或者“证明提示”，这使得证明过程不再是枯燥乏味的符号演算，而是充满了智慧的探索。我记得在学习“线性空间”的基和维度时，书中的证明就非常清晰，它一步步地引导我理解了为什么一组基能够“生成”整个空间，以及为什么维度是唯一的。而且，这本书的章节安排也非常合理。它将一些比较抽象的概念，比如“同构”、“同态”等，放在了学习后期，并且通过与前面已学知识的联系来解释，这大大降低了理解难度。它就像一位高明的园丁，细心地修剪、规划，让整个数学花园生机勃勃。

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《Elementary Linear Algebra》这本书，在我眼中，是一本真正能够“点燃”学习热情的线性代数教材。它不像一些教材那样，将线性代数包装成一堆冷冰冰的公式和定理，而是充满了数学的“生命力”。它在讲解每一个概念时，都尽可能地结合实际应用，让我看到数学的价值和魅力。我记得在学习“矩阵分解”时，书中就介绍了奇异值分解（SVD）在图像压缩、推荐系统等领域的应用，这让我对SVD的理解从抽象的数学概念，提升到了实际的应用价值层面。这种“学以致用”的学习方式，极大地激发了我学习的兴趣。而且，这本书的逻辑结构非常清晰。它将线性代数的核心内容，如向量空间、线性变换、特征值等，按照一个非常合理的顺序进行组织。每一个章节的内容，都建立在前面章节的基础上，层层递进，环环相扣。我常常会在学习一个新章节时，回顾前面章节的内容，发现它们之间的紧密联系，从而对整个知识体系有了更宏观的认识。书中的习题也是一大亮点。它们不仅数量多，而且难度适中，能够有效地检验我是否掌握了相关的知识点。尤其是一些“开放性”的题目，更是能够激发我的创造性思维。

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《Elementary Linear Algebra》这本书，在我学习线性代数过程中，扮演了一个“启蒙者”的角色。它以一种非常温和且循序渐进的方式，引导我进入了线性代数的世界。我最欣赏它的地方在于，它并没有试图一次性灌输所有知识，而是将复杂的概念分解成易于理解的小块。它在引入新概念时，总是会先从最简单的例子开始，然后逐步增加难度。比如，在讲解“矩阵的秩”时，它会先从行最简形入手，然后引申到行空间和列空间的维度，并且会结合实际例子说明秩的意义。这种“由浅入深”的教学方法，让我感到学习过程是顺畅且充满成就感的。而且，这本书非常注重数学的“实用性”。它在讲解每一个核心概念时，都会或多或少地提及该概念在实际应用中的作用。我记得在学习“特征值和特征向量”时，它就举了振动分析、主成分分析等例子，让我看到了这些抽象概念的强大威力。这种“理论联系实际”的学习方式，极大地激发了我学习的动力和兴趣。书中对一些数学证明的讲解也相当有心得。作者并没有直接给出严谨的证明，而是会先给出“证明思路”或者“证明的直观解释”，然后再逐步过渡到形式化的证明。这让我能够先理解证明的核心思想，然后再去掌握具体的推导过程。这本书的语言风格也非常流畅自然，没有过多的学术腔调，读起来就像在和一位经验丰富的老师进行一次深入的交流。

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Memorial Math Major Day ^_^

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