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出版者:哈尔滨工业大学出版社

作者:刘培杰

出品人:

页数:498

译者:

出版时间:2006-6

价格:48.00元

装帧:

isbn号码:9787560323411

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《代数几何导论：从经典到现代》 本书导言： 代数几何，作为数学皇冠上的明珠之一，是连接代数、几何与分析的桥梁。它以代数工具研究几何对象的性质，其发展历程本身就是一部波澜壮阔的数学史。从笛卡尔的解析几何萌芽，到黎曼几何的深刻洞察，再到现代代数簇理论的抽象与统一，代数几何始终站在数学研究的前沿，为解决诸多数学难题提供了强有力的理论框架。 本书旨在为有志于深入学习代数几何的读者提供一个全面、严谨且富有启发性的导引。我们深知，代数几何的门槛较高，涉及诸多预备知识。因此，本书在内容组织上力求循序渐进，从基础概念的建立到前沿理论的初探，力求让读者在坚实的基础之上，逐步领略这门学科的精妙与宏大。 第一部分：基础构建——从经典到概形 第一章：复射影空间与代数曲线 本章将从最直观的欧几里得空间出发，逐步过渡到复射影空间 $mathbb{P}^n(mathbb{C})$。我们详细阐述射影空间的拓扑结构、坐标表示以及关键概念——齐次坐标。随后，我们将聚焦于复平面上的代数曲线（如圆锥曲线、三次曲线）。通过研究这些曲线的零点集——代数集（Algebraic Set），我们引入判别奇点（Singularities）的方法，例如使用偏导数来判断曲线上的光滑点与奇异点。 我们将引入零点理想（Vanishing Ideal）的概念，并探讨希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的经典版本，理解仿射空间中的代数集与其对应多项式理想之间的深刻对偶关系。本章为后续的抽象化奠定了坚实的几何直觉基础。 第二章：交换代数预备与诺特定理 代数几何的“代数”核心在于环论。本章系统回顾和引入代数几何所需的关键交换代数工具。内容涵盖交换环、域、模（Modules）的基本性质。重点介绍理想、素理想、极大理想的概念，并阐述它们在几何上的对应意义（素理想对应不可约集，极大理想对应点）。 我们深入探讨诺特环（Noetherian Rings）的性质，并完整阐述希尔伯特基定理（Hilbert Basis Theorem），该定理保证了多项式环 $k[x_1, dots, x_n]$ 仍然是诺特的，这是研究有限生成代数几何对象的前提。此外，本章还会介绍整环（Integral Domains）和域的扩张（Field Extensions）。 第三章：概形理论的诞生——局部化与环化 经典代数几何的局限性在于其对“点”的定义过于依赖于代数闭域。概形（Scheme）理论的引入，极大地拓宽了代数几何的研究范围。本章开始代数几何的现代化进程。 首先，我们详细讲解环的局部化（Localization of Rings）过程，理解如何从一个环 $R$ 构造出分数域 $R_S$ 或局部环 $R_P$。我们随后定义局部环（Local Rings）及其极大理想和局部化的几何意义。 在此基础上，本章引入预层（Presheaf）的概念，并定义概形（Scheme）——一个环（Ringed Space） $(X, mathcal{O}_X)$，其中 $mathcal{O}_X$ 是一个结构层（Structure Sheaf）。我们特别关注仿射概形（Affine Schemes） $Spec(R)$，并证明经典的零点集与仿射概形之间的同构关系，从而将代数几何从特定域的限制中解放出来。 第二部分：深入探索——结构与性质 第四章：层论与射影概形 层（Sheaves）是研究空间上局部数据如何“粘合”成整体性质的关键工具。本章将深入讨论层、粘合性（Gluing）的概念，并引入凝聚层（Coherent Sheaves），如向量丛的概形对应物——局域自由有限生成模层。 随后，我们对射影空间 $mathbb{P}^n$ 进行概形化处理，定义射影概形（Projective Schemes） $P(R)$。我们详细讨论齐次坐标环（Graded Rings） $S$ 与射影概形 $Proj(S)$ 之间的对应关系，并利用层理论来研究 $mathbb{P}^n$ 上的层，特别是反规范层（Anti-canonical Sheaf） $mathcal{O}_{mathbb{P}^n}(-1)$。 第五章：态射与图论 如果概形是研究“空间”的语言，那么态射（Morphisms）就是研究“映射”的工具。本章定义了概形之间的态射，并探讨了它们的代数对偶——环的态射（Ring Homomorphisms）。 我们分类讨论不同类型的态射： 1. 闭嵌入（Closed Immersion）与开嵌入（Open Immersion）：它们在几何上对应于子集的包含关系，在代数上对应于局部化的操作。 2. 平坦态射（Flat Morphisms）和局部完全交乘积（Locally Complete Intersection Morphisms）：这些概念深入探讨了纤维空间维数和奇点传播的性质。 本章还将介绍概形函子（Functors of Schemes）的概念，为理解积、纤维化等操作打下理论基础。 第六章：维数理论与正则性 理解一个几何对象的“大小”和“复杂程度”是代数几何的核心任务之一。本章聚焦于概形的维数（Dimension）。我们引入Krull 维数的概念，并证明它与几何对象的拓扑维数相一致。 随后，我们转向正则性（Regularity）。在局部环中，我们定义正则局部环（Regular Local Rings），并阐述其重要性：一个代数簇的奇点，恰恰在于其局部环是非正则的。我们还将介绍正规性（Normality），以及如何利用代数条件（如雅可比矩阵的秩）来判断一个点是否为正则点。 第三部分：前沿视角——曲线与完备性 第七章：黎曼-洛赫定理与曲线的算术 对于一维代数簇——代数曲线（Projective Curves），黎曼-洛赫定理（Riemann-Roch Theorem）是连接拓扑、代数和分析的里程碑。本章将从代数几何的角度，阐述该定理的精确表述：对于光滑射影曲线 $C$ 上的任意线性系统 $L$，其空间维数满足一个关于 $C$ 的亏格 $g(C)$ 的线性关系。 我们介绍度数（Degree）、次数（Divisor）和线性等价（Linear Equivalence）的概念。本章通过具体实例（如椭圆曲线的亏格计算）来展示该定理的巨大威力，它为研究丢番图方程的解集提供了深刻的代数工具。 第八章：模空间与不变性 在现代代数几何中，研究对象的“空间”本身也构成了一个空间，即模空间（Moduli Spaces）。本章将引入模空间的初步概念，例如光滑曲线的模空间 $mathcal{M}_g$。 虽然构造一般的模空间需要更高级的理论（如簇论或概形理论的深化），但本章将侧重于展示模空间的必要性：它允许我们对具有特定几何属性的对象集合进行参数化和连续变化的研究。我们将讨论完备性（Completeness）的概念，以及如何通过紧化（Compactification）来研究非光滑极限情况。 结语： 本书提供的知识体系，从基础的环论到抽象的概形理论，再到经典的黎曼-洛赫定理，力求为读者构建一个坚实而广阔的代数几何视野。代数几何是一个不断发展的领域，本书所涵盖的只是其宏伟版图的一隅。希望本书能激发读者继续探索更深层次的主题，如Scholze的完美空间、代数K理论以及动机代数几何等前沿领域。学习代数几何，不仅是掌握一种工具，更是培养一种用代数语言思考几何问题的独特思维方式。

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这本书的结构安排非常清晰，每一章节都有其独立的逻辑和主题，但又紧密相连，形成一个完整的知识体系。作者循序渐进地引导读者进入数学的世界，从基础的概念开始，逐步深入到更复杂的领域。这种科学的编排方式，使得即使是对数学不太熟悉的人，也能轻松地理解和接受。而且，每个章节的结尾都留有一些思考题或者延伸阅读的建议，这鼓励我去进一步探索，去拓展我的知识边界。我感到自己像是在一位耐心的老师的指导下，一步步地攀登数学的高峰。

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总而言之，这本书给我带来了难以言喻的惊喜。它不仅仅是一本关于数学的书，更是一本关于智慧、文化和人生态度的书。它拓展了我的视野，丰富了我的思想，也让我对数学产生了前所未有的热情。我一定会向我的朋友们推荐这本书，我相信他们也会和我一样，在这本书中找到属于自己的那份宝贵财富。

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这本书给我最大的收获之一是，它让我对“学习”这件事有了更深的理解。作者不仅仅是教授知识，更重要的是，他展示了如何去学习，如何去思考。他鼓励读者质疑，鼓励读者探索，鼓励读者独立思考。他告诉我们，学习数学不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是理解它们背后的原理和逻辑。这种学习方式，不仅仅适用于数学，更适用于我们生活中的任何学习。

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在阅读过程中，我时常会停下来，反复咀嚼作者的某些观点。有些观点虽然在开始时让我感到有些难以理解，但经过反复思考和结合上下文，我渐渐领悟了其中的深意。这种“顿悟”的感觉，让我非常有成就感，也更加深了我对这本书的喜爱。它不是一本可以一口气读完的书，而是一本需要细细品味，反复琢磨的书。

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我特别欣赏作者对数学史的梳理。他并没有将数学史简单地看作是一系列公式的演变，而是将其视为人类智慧的结晶，是人类对未知世界不断探索和征服的记录。他讲述了古希腊时期数学的辉煌，中世纪数学的沉寂与复兴，以及近现代数学的飞速发展，这些历史性的叙述让我对数学的产生和演变有了更深刻的认识。我了解到，许多伟大的数学发现，都是在解决实际问题的过程中产生的，这再次印证了数学与生活的紧密联系。

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这本书的语言风格非常吸引人，它既有学术的严谨性，又不乏文学的感染力。作者运用了大量的修辞手法，使得原本枯燥的数学知识变得生动有趣。例如，他将某些数学概念比作“跳跃的精灵”，又将数学的探索过程形容为“在知识的海洋中航行”，这些生动的比喻让我对数学产生了全新的认识。他不仅仅是在传递信息，更是在传递一种情感，一种对数学的热爱和对智慧的追求。

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我喜欢这本书的另一个重要原因在于它的文化内涵。数学并非孤立存在于象牙塔中，它与人类的文明发展、艺术、哲学、甚至生活习惯都息息相关。作者巧妙地将数学的魅力融入到丰富多彩的文化背景中，让我看到了数学在不同时期、不同文明中的应用和发展。他讲述了数学家们的生平故事，那些故事中充满了智慧、坚持，甚至还有一些传奇色彩，这让我觉得数学家们并非是遥不可及的神坛人物，而是和我们一样，有着喜怒哀乐的普通人，只是他们拥有一颗对真理永不磨灭的热爱之心。

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这本书的作者显然是一位非常博学且对数学有着深厚情感的人。从他遣词造句中，我能感受到他对数学的热爱，这种热爱不是那种枯燥的理论堆砌，而是发自内心的由衷赞叹。他能够将复杂的数学概念用生动有趣的语言表达出来，仿佛在和我进行一场关于数学的亲切对话。我特别喜欢他描述某些数学定理时的比喻，那些比喻既形象又贴切，让原本抽象的概念变得触可见。他并没有简单地罗列公式和定理，而是深入浅出地剖析了它们背后的逻辑和思想。读完某个章节，我不仅学到了知识，更重要的是，我开始从一个全新的角度去审视数学，它不再是冰冷的符号，而是充满了智慧和创造力的艺术。

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这本书的封面设计就深深地吸引了我，那是一种沉静而又充满力量的视觉冲击。深邃的蓝色背景，如同宇宙般浩瀚无垠，上面点缀着一些若隐若现的数学符号，仿佛是宇宙运行的规律，又像是隐藏在星辰大海中的数学真理。字体设计也别出心裁，既保留了数学的严谨性，又不失艺术的美感。我迫不及待地翻开第一页，一股淡淡的书卷气息扑面而来，这是印刷质量上乘的证明，也是对知识的尊重。翻阅的每一页，纸张的触感都十分舒适，不会过于光滑导致手指滑动，也不会过于粗糙影响阅读。书中的排版布局也很合理，文字大小适中，行间距恰到好处，即使长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。

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这本书带给我的不仅仅是知识的增长，更是一种思维方式的重塑。在阅读的过程中，我常常被作者提出的问题所吸引，这些问题引导我去思考，去探索，去寻找解决问题的方法。作者并不直接给出答案，而是通过循循善诱的方式，让我自己去发现其中的规律。这种主动学习的过程，比被动接受信息更能激发我的求知欲。我发现自己开始更加关注事物之间的联系，更加善于从多个角度分析问题。这种思维模式的转变，不仅体现在我对数学的学习上，也渐渐影响到了我日常生活的方方面面，让我看待问题更加全面和深入。

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