Plane trigonometry, by S.L. Loney. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Scholarly Publishing Office, University of Michigan Library

作者:Michigan Historical Reprint Series

出品人:

页数:536

译者:

出版时间:2005-12-20

价格:USD 29.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781418185091

丛书系列:

图书标签:

• 三角学
• 平面三角学
• Loney
• 数学
• 高等数学
• 三角函数
• 几何
• 教育
• 教科书
• 经典教材

深入剖析高等数学的基石：现代三角学原理与应用 作者： [此处可插入其他知名数学家的名字或虚构一位] 出版社： [此处可插入知名学术出版社名称或虚构一位] ISBN： [此处可插入一个虚构的或通用的ISBN] --- 内容概述：超越平面，迈向广阔的数学视野 本书《深入剖析高等数学的基石：现代三角学原理与应用》（A Deep Dive into the Foundations of Advanced Mathematics: Principles and Applications of Modern Trigonometry）旨在为学习者提供一个全面、深入且具有高度实用性的三角学知识体系。不同于传统侧重于基础几何应用的入门教材，本书将三角函数置于更广阔的数学背景之下，强调其在微积分、线性代数、复变函数以及物理学中的核心地位。 全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保持数学严谨性的同时，激发读者对这门古老而常新的学科的兴趣。我们避开了对欧几里得平面三角学的冗长复述，而是将重点聚焦于解析三角学、周期函数理论以及高维空间中的三角关系。 全书共分为五大部分，二十章，力求构建一个从基本定义到前沿应用的完整知识链条。 --- 第一部分：解析三角学的严格基础 (Chapters 1-4) 本部分致力于为后续的深入学习奠定坚实的解析基础，彻底摆脱对直角三角形的依赖，将三角函数视为定义在实数域（$mathbb{R}$）上的周期函数。 第一章：函数化的视角：角的度量与单位圆的重构 本章详细阐述了弧度制的优越性，并从拓扑学的角度审视了单位圆的结构。我们引入了三角函数的极限定义，并严格证明了 $lim_{ heta o 0} frac{sin heta}{ heta} = 1$ 的重要性，强调了这一定理在建立微积分中导数时的关键作用。 第二章：三角函数的代数性质与恒等式深化 我们超越了基本的和差化积公式，深入探讨了高阶三角恒等式，包括倍角、三倍角公式的推广形式。重点分析了韦尔斯特拉斯（Weierstrass）乘积公式在 $sin(x)$ 和 $cos(x)$ 展开中的应用，展示了三角函数与无穷乘积之间的深刻联系。 第三章：反三角函数：多值性、主值与复合函数 本章对反三角函数的定义域、值域进行了严谨的界定，探讨了多值函数在复平面上的表现。重点分析了涉及反正弦、反余弦、反正切的复合函数求导问题，特别关注了在分段函数边界处的连续性与可微性分析。 第四章：三角方程的解析求解与周期性分析 本章系统地介绍了求解一元及多元三角方程的通用方法，包括利用降次技巧和化简技巧。我们引入了傅里叶级数展开的基础概念，将周期函数视为一系列正弦和余弦函数的线性组合，初步展示了三角函数的“完备性”。 --- 第二部分：三角函数与微积分的交融 (Chapters 5-8) 本部分是本书的核心，展示了三角函数如何成为微积分理论不可或缺的组成部分。 第五章：三角函数的微分与积分 本章从定义出发，严格推导了 $sin x$ 和 $cos x$ 的导数。随后，系统地讲解了三角代换法在不定积分中的应用，包括求解形如 $sqrt{a^2-x^2}$ 和 $sqrt{x^2-a^2}$ 的积分。 第六章：三角积分与特定积分 专门探讨了 $int sin^m x cos^n x , dx$ 这一类积分的系统解法。此外，本章还引入了广义积分的概念，详细分析了 $int_0^infty frac{sin x}{x} , dx$（狄利克雷积分）的计算方法，揭示了三角函数在工程信号处理中的潜力。 第七章：泰勒级数与傅里叶级数的前奏 本章将三角函数置于幂级数展开的框架内，重新推导了 $sin x$ 和 $cos x$ 的麦克劳林级数。随后，为下一章做铺垫，介绍了傅里叶分析的直观背景：如何用正弦和余弦波来近似描述任意周期函数。 第八章：微分方程中的三角解 本章探讨了二阶线性常微分方程的通解结构，特别是当特征方程具有纯虚数根时，解必然是三角函数的线性组合。通过分析简谐振动（如弹簧振子），读者将理解 $sin( omega t + phi )$ 形式的解的物理意义。 --- 第三部分：多变量与空间中的三角关系 (Chapters 9-12) 本部分将三角学的视角扩展到二维和三维空间，为学习解析几何和向量微积分做准备。 第九章：球面三角学基础：地球与天体测量 本书不局限于平面，转而研究球面上的几何。详细介绍了球面余弦定理和球面正弦定理，并将其应用于计算地球上的大圆航线距离和基础的天文坐标转换。 第十章：向量、点积与空间中的夹角 在三维笛卡尔坐标系中，三角关系通过点积（内积）的形式重新浮现。本章强调了利用点积 $mathbf{u} cdot mathbf{v} = |mathbf{u}| |mathbf{v}| cos heta$ 来确定任意两个向量间夹角的解析方法，这对于物理学中的力、功、电磁场的分析至关重要。 第十一章：极坐标系与参数方程 我们深入研究了在极坐标系中表示曲线的优越性，特别是叶形线、螺旋线等复杂曲线的描述。本章还包括如何利用三角函数将直角坐标方程转化为更简洁的参数形式，以及求解这些参数曲线的切线斜率。 第十二章：复数与欧拉公式的统一 本部分的高潮在于欧拉公式 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 的推导及其深远影响。我们展示了如何利用此公式极大地简化三角恒等式（如德莫弗定理的矩阵形式），并将三角函数与指数函数统一在一个复平面框架下。 --- 第四部分：傅里叶分析：三角函数的应用高峰 (Chapters 13-16) 本部分是现代应用数学的基石，展示了三角函数的“完备性”如何被用来分解和重构任何信号。 第十三章：傅里叶级数的严格推导 基于正交性原理，本章详细推导了傅里叶系数的计算公式。我们严格证明了正弦函数族 ${sin(npi x/L)}$ 和余弦函数族 ${cos(npi x/L)}$ 的正交性，并讨论了狄利克雷条件（Dirichlet conditions）对收敛性的保证。 第十四章：傅里叶级数的具体案例分析 通过求解方波、锯齿波和三角波的傅里叶展开，读者将直观地理解傅里叶级数如何逼近不连续函数。本章还会涉及帕塞瓦尔等式（Parseval's Identity），连接了函数在时域上的能量与频域上的能量分布。 第十五章：傅里叶变换的引入 将傅里叶级数推广到非周期函数，引入了傅里叶积分变换的定义。本章侧重于解释 $e^{-iomega t}$ 作为“基波”在连续谱分析中的作用。 第十六章：应用：偏微分方程的求解 展示如何使用傅里叶级数方法求解热传导方程（一维）和波动方程的边界值问题，揭示了三角函数在描述物理系统稳态和瞬态行为中的基础性作用。 --- 第五部分：高级主题与现代拓扑结构 (Chapters 17-20) 最后一部分探讨了三角学在更抽象数学分支中的体现。 第十七章：双曲函数与三角函数的对偶性 我们将三角函数与双曲函数进行对比研究。分析 $cosh^2 x - sinh^2 x = 1$ 与 $cos^2 x + sin^2 x = 1$ 的代数结构相似性，并讨论它们在洛伦兹变换（狭义相对论）中的实际应用。 第十八章：三角几何与非欧几何的边缘 简要介绍球面三角学在非欧几何（特别是椭圆几何）中的地位，展示了当空间结构改变时，基础三角定理的变形。 第十九章：概率论中的三角分布 探讨角度测量中的误差分析，以及在统计物理和空间定位中，如何利用三角函数来建模圆周分布（如风向、指南针读数）的概率密度函数。 第二十章：数值计算中的三角函数 讨论在计算机算法中，如何高效、精确地计算三角函数值（如使用CORDIC算法），以及在数值积分中，三角函数的周期性带来的采样问题与混叠现象。 --- 总结 本书旨在培养读者将三角学视为一种强大的解析工具，而非仅仅是几何学的附属品。通过严格的分析推导和广泛的跨学科应用实例，我们确保读者不仅能熟练运用三角恒等式，更能深刻理解它们在构建现代科学数学模型时的不可替代性。本书适合具备微积分基础的理工科学生、物理学研究人员以及对数学分析有浓厚兴趣的自学者深入研习。

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