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出版者:Princeton University Press

作者:Hermann Weyl

出品人:

页数:316

译者:

出版时间:1997-10-13

价格:USD 75.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780691057569

丛书系列:Princeton Landmarks in Mathematics and Physics

图书标签:

• 数学
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《拓扑群的几何与代数》 本书深入探讨了拓扑群的结构、性质及其在现代数学，特别是微分几何、代数几何和表示论中的应用。全书旨在为读者建立起一个坚实的理论框架，使他们能够理解和掌握这些核心概念。 第一部分：拓扑群的基础 本部分首先从李群（Lie Groups）的定义出发，详细阐述了其光滑结构与群结构的完美结合。我们将研究李群的基本例子，如一般线性群 $ ext{GL}(n, mathbb{R})$、特殊线性群 $ ext{SL}(n, mathbb{R})$ 以及正交群 $ ext{O}(n)$ 和辛群 $ ext{Sp}(2n, mathbb{R})$。重点在于理解这些群作为流形上的变换群所具有的内在几何特性。 接着，我们转向李代数（Lie Algebras）。李群的局部结构完全由其对应的李代数决定。本书将详细介绍李括号的性质、幂零性、单边性以及舒尔定理（Schur's Theorem）在李代数分类中的作用。我们还将深入探讨指数映射（Exponential Map）在李群与李代数之间的桥梁作用，并分析其在小邻域内的双射性质。 第二部分：李群的表示论 表示论是理解拓扑群结构的关键工具。本部分从酉表示（Unitary Representations）的概念入手，阐述了如何将抽象的群结构映射到希尔伯特空间上的有界线性算子集合。我们将着重分析不可约表示（Irreducible Representations）的分类，这是研究任何李群结构的核心任务。 针对紧致李群（Compact Lie Groups），我们将运用彼得-Weyl定理（Peter-Weyl Theorem），证明任何连续函数空间可以被有限维不可约表示的张量所稠密逼近。这为分析李群的结构提供了强大的分析工具。 对于半单李群（Semisimple Lie Groups），本书将引入权重理论（Weight Theory）。通过分析李代数上的根空间分解，我们可以系统地识别出所有有限维表示的结构。根系的几何性质，例如Weyl群的结构，将在识别和区分不同表示中扮演核心角色。 第三部分：李群的结构理论与分类 本部分致力于解析李群的内部结构。我们从李群的分解定理开始，区分了连通李群（Connected Lie Groups）的中心（Center）和覆盖群（Covering Groups）。 随后，我们将深入探讨李群的根茎（Radical）和最大紧子群（Maximal Compact Subgroups）。半单李群的结构分解定理，即将任何半单李群分解为其紧李群和非紧李群的半直积，是本部分的关键成果。 为了更精确地分类，我们将转向复数域上的李代数。卡尔坦子代数（Cartan Subalgebras）的引入使得我们能够利用根系来对所有半单李代数进行完全分类。我们将详尽阐述如何通过仙丹图（Dynkin Diagrams）来直观地表示和区分所有类型的半单李代数，包括经典的 $A_n, B_n, C_n, D_n$ 系列以及例外系列 $E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$。 第四部分：几何应用与对称性 本书的最后一部分将拓扑群的概念与几何问题联系起来。我们将研究齐性空间（Homogeneous Spaces），即李群作用于某一流形 $M$ 上的商空间 $G/H$，其中 $H$ 是 $G$ 的一个闭子群。齐性空间是研究对称性的自然背景。 我们将考察黎曼几何中对称空间的具体例子，例如流形上的等距变换群。通过利用李群的结构来研究这些空间的曲率性质（如常曲率空间），我们可以揭示群作用如何编码了底层的几何信息。 此外，本书还将探讨李群在微分方程和规范场理论中的作用，特别是其在保持某些物理定律不变性方面的角色。 目标读者与要求： 本书适合于具备扎实的一元微积分、线性代数和基础拓扑学知识的研究生和高年级本科生。对抽象代数和微分几何有初步了解的读者将能更深入地理解材料。全书侧重于理论的严谨性与应用的广阔性，力求在清晰的推导过程中展现拓扑群这一数学工具的深刻美感与强大力量。 总结： 《拓扑群的几何与代数》提供了一部全面且深入的著作，系统地覆盖了李群、李代数、表示论以及结构理论的核心内容，并将其置于现代数学的宏大图景之中。本书旨在使读者不仅掌握计算技巧，更能理解这些代数结构背后的深层几何直觉。

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这本厚重的典籍，初翻时便被那种扑面而来的古典气息所震撼。它仿佛是一扇通往遥远时代的拱门，带领我们穿越时空的迷雾，去窥探那些早已尘封于历史长河中的恢弘叙事。书中的文字，犹如精雕细琢的浮雕，每一个词汇都承载着厚重的分量和精妙的结构。它不是那种快餐式的读物，更像是一坛需要时间去慢慢品味的陈年佳酿，每一次深入的阅读，都会在心底激荡起新的波澜。尤其赞叹作者对细节的把握，那些看似不起眼的背景描述，实则暗藏着对时代精神的深刻洞察，让人在不知不觉中沉浸于那个特定时代的氛围之中，仿佛能嗅到空气中弥漫的古老气息。阅读过程是一种持续的探索与发现，总有新的角度和更深的层次等待着被挖掘，这无疑是对读者心智极大的锻炼与提升。

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说实话，这本书的某些篇章，初读时确实会让人感到挑战性十足，那些复杂的概念和层层递进的论证，仿佛是为专业人士量身打造的迷宫。但正是这种难度，激发了我不断查阅参考资料、反复琢磨的欲望。它迫使我走出自己的舒适区，去接触和理解那些原本觉得遥不可及的理论框架。这种“被推动”去学习和成长的过程，才是阅读此书最大的收获之一。它不是提供唾手可得的答案，而是铺设通往更高认知层级的阶梯。最终，当那些晦涩的句子变得清晰可解，那些复杂的结构在你脑海中重组起来时，那种智力上的满足感是无与伦比的，它证明了付出绝不会白费。

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我必须指出，这本书的装帧设计和排版风格，本身就是一种对阅读体验的精心雕琢。它散发着一种低调而持久的魅力，没有花哨的图文来分散注意力，而是将所有的焦点都集中于文字本身。那种墨香与纸张的触感，构成了阅读仪式感的重要组成部分。阅读它，更像是一种与作者进行跨越时空的对话，每一次的翻动，都伴随着一种对先贤智慧的致敬。书中那些引用的典籍和文献，仿佛都带着历史的尘埃和光芒，引导着读者去追溯更深层的源头。它要求读者放下浮躁，用心去感受那些经过时间检验的智慧结晶，它不仅仅是知识的传递者，更是一种文化精神的载体，值得被郑重对待。

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这本书的叙事节奏，初看之下或许会让人感到有些滞涩，它更像是攀登一座巍峨的山峰，前期的攀爬需要耗费极大的体力与毅力，步履维艰。然而，一旦适应了这种独特的节奏，并逐渐跟上了作者的思绪脉络，那种豁然开朗的体验是其他许多书籍难以比拟的。每一次跨越一个章节，都像是征服了一个小小的山头，视野随之开阔，先前所有的努力和困惑都得到了回报。作者巧妙地将宏大的历史图景与微观的人性刻画交织在一起，使得即便是最为抽象的议题，也因此获得了血肉与温度，不再是冰冷的符号堆砌。这种张弛有度的叙述策略，体现了作者高超的驾驭能力，让读者在接受知识洗礼的同时，也享受了一场精神上的探险。

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翻开此书的某一页，那种强烈的学术气息便直扑面来，仿佛置身于一座知识的殿堂中央，周围环绕着无数学者的低语与思辨。我欣赏作者那种近乎偏执的严谨性，每一个论断的提出，都伴随着扎实的考据和逻辑链条的缜密铺陈，绝无半点含糊其辞或轻率断言。这种对真理近乎虔诚的追求，使得整本书的骨架异常坚实，任何试图挑战其核心观点的尝试，都会首先被其自身构建的严密体系所阻挡。对于热衷于深入钻研、不满足于表面描摹的读者来说，这无疑是一份难得的馈赠。它不是为了迎合大众的口味而存在的，它的价值在于其内在的深度和无可动摇的学术地位，需要读者付出与之相匹配的专注与耐心去细细品味其间的精妙绝伦。

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太难读了, 但是貌似逃不掉~~

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只能说相见恨晚。

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