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出版时间:2005-10

价格:22.00元

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isbn号码:9787308045278

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• 数学竞赛
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思维的沃土，智慧的阶梯——一本助力少年学子数学探险的读物 对于渴望在数学领域深入探索、挑战自我的初高中生而言，一本能够引领他们跨越知识的藩篱，点燃思维火花的读物是至关重要的。本书旨在为广大青少年提供一个高质量的学习平台，帮助他们构建扎实的数学基础，培养敏锐的数学直觉，更重要的是，激发他们独立思考、勇于创新的科学精神。我们深知，数学不仅仅是枯燥的符号和公式，更是理解世界、解决问题的强大工具，是逻辑思维的艺术，是抽象思维的殿堂。因此，本书的设计初衷便是将数学的魅力以一种生动、深刻、富于启发性的方式呈现给读者。 本书并非一本简单的应试手册，它更像是一本为数学爱好者量身打造的“思想指南”。我们并非将课本上的知识简单罗列，而是从更深层次的角度，剖析数学概念的形成与发展，揭示数学思想的精髓与力量。本书的编写团队汇聚了在数学教育和竞赛领域经验丰富的专家学者，他们深谙青少年学习数学的难点与兴趣点，因此，书中的内容力求做到既有高度又不失温度，既严谨又具趣味性。 内容精要： 本书的体系设计遵循循序渐进、由浅入深的原则，覆盖了高中数学的核心领域，并在此基础上进一步拓展和深化，为读者提供更广阔的数学视野。 第一部分：基础概念的重塑与升华 在这一部分，我们并非简单地重复初中和高中课本上的定义和定理，而是力求以一种全新的视角去解读这些基础概念。例如，在讲解“函数”时，我们不会仅仅停留在“自变量与因变量的关系”这一层面，而是会深入探讨函数的“映射”本质，其在现实世界中的广泛应用，以及不同类型函数（如指数函数、对数函数、三角函数）的内在联系和性质。我们将通过一系列精心设计的例题和变式，让读者理解函数是如何描述变化、揭示规律的。 对于“集合”这一概念，我们不仅会梳理其基本运算，还会引导读者思考集合的“结构性”意义，以及它如何在数学的各个分支中扮演基石的角色。例如，如何用集合的语言描述数域、向量空间等，这将为读者后续学习更高级的数学概念打下坚实基础。 “数”的概念，我们将从数的起源讲起，回顾自然数、整数、有理数、实数、复数的扩充过程，理解每一步扩充所解决的数学问题及其哲学意义。我们会强调数的运算性质，并探索一些特殊的数（如π、e）及其在数学中的独特地位。 第二部分：思维工具的锻造与运用 这一部分是本书的核心亮点之一，我们致力于为读者提供一套强大的数学思维工具，并教会他们如何灵活运用。 逻辑推理的艺术： 数学是逻辑的语言。我们将系统地介绍命题逻辑、谓词逻辑的基本概念，并结合大量数学证明题，展示演绎推理、归纳推理、反证法、数学归纳法等常用逻辑推理方法。我们会强调逻辑严谨性的重要性，并鼓励读者在解题过程中清晰地表达自己的思考过程，锻炼思维的条理性。 化归与构造的思想： 许多复杂的数学问题可以通过“化归”的思想转化为相对简单的问题来解决。我们将展示如何将高维问题降维，将复杂图形转化为基本图形，或者将未知问题转化为已知问题。同时，“构造”也是数学家解决问题的常用技巧，我们会介绍构造辅助线、构造函数、构造方程等方法，展示如何通过创造性的手段来克服解题障碍。 特殊化与一般化的辩证法： 在面对一个新问题时，尝试从特殊情况入手，观察规律，往往能获得重要的解题启示。本书将引导读者掌握“特殊化”的技巧，例如，当遇到一个关于任意四边形的命题时，可以先考虑特殊的四边形，如正方形、矩形、菱形等，从中寻找线索。反之，从特殊结论推广到一般情况，形成普适性的数学思想，则是“一般化”的价值所在。本书将穿插大量例子，阐述这两种思维方式的转换与应用。 数形结合的魅力： 数形结合是数学中最强大、最直观的思维方式之一。我们将深入探讨如何将代数问题转化为几何问题，以及如何利用几何直观来指导代数运算。例如，函数图像与方程根的关系，向量的几何意义，复数的几何表示等。我们将通过丰富的图示和精巧的例题，让读者体会数形结合带来的解题“灵感”。 模型构建与应用： 数学模型是将现实世界的问题抽象成数学语言的过程。本书将引导读者了解如何构建数学模型来解决实际问题，例如，涉及增长、衰减、优化等问题的数学模型。我们将展示如何选择合适的数学工具（如方程、不等式、函数等）来描述和分析这些模型，从而得出有价值的结论。 第三部分：核心知识模块的深度拓展 在坚实的基础和强大的思维工具之上，本书将对高中数学的核心知识模块进行深度挖掘和拓展，超越课本的深度和广度。 代数： 方程与不等式的奥秘： 除了基本的一元二次方程和不等式，我们将深入探讨高次方程的求解思想（如韦达定理、因式分解法、根与系数的关系），以及超越方程的数值解法和存在性讨论。对于不等式，我们将重点讲解均值不等式、柯西不等式等重要不等式的证明与应用，以及它们在最优化问题中的作用。 数列的动态分析： 我们将超越等差、等比数列的范畴，探讨递推数列的通项公式求解技巧，如特征方程法、累积法、构造法等。我们将深入分析数列的收敛性问题，以及数列在概率统计、组合数学中的应用。 多项式的探秘： 除了基本的多项式性质，我们将介绍多项式的根的分布、多项式插值等内容，以及它们在数值分析和科学计算中的作用。 几何： 解析几何的广度与深度： 在对直线、圆、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）进行深入解析的基础上，我们将引入更广泛的解析几何内容，如向量法在几何中的应用，空间解析几何的初步介绍，以及点、线、面之间的位置关系。我们将强调解析几何在解决复杂几何问题时的强大威力。 平面向量与空间向量： 我们将详细讲解向量的线性运算、数量积、向量积等，并展示向量如何成为描述几何关系、解决几何问题的利器。通过向量，我们将重新审视几何中的平行、垂直、夹角等概念，并拓展到三维空间。 立体几何的结构与变换： 在掌握基本的多面体和旋转体知识后，我们将深入探讨空间中的线面关系、面面关系，以及求解体积、表面积等问题的多种方法。我们将介绍空间向量在立体几何中的应用，以及通过对称性、相似性等几何变换来简化问题。 概率与统计： 概率的精妙计算： 在介绍古典概型、几何概型、独立事件等基本概念之后，我们将深入学习条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等，并应用于更复杂的概率模型。我们将探讨随机变量及其分布（如二项分布、泊松分布、正态分布），以及期望、方差等统计量的计算与意义。 统计推断的逻辑： 我们将引导读者理解抽样调查的基本原理，如何进行参数估计（点估计、区间估计），以及假设检验的基本思想和方法。我们将通过实际案例，展示统计学在数据分析和决策中的重要作用。 函数与方程： 函数性质的深层挖掘： 除了单调性、奇偶性、周期性，我们将深入探讨函数的单调性、凹凸性、极限、连续性，以及它们之间的内在联系。我们将通过导数工具，系统地分析函数的单调区间、极值、最值，以及函数的图像形状。 导数与积分的初步探索： 导数作为描述变化率的工具，我们将详细讲解其在函数分析、优化问题、物理学等领域的应用。我们将初步介绍积分的概念，以及它在求解面积、体积、曲线长度等问题中的作用，为后续更深入的学习打下基础。 指数函数、对数函数、幂函数： 我们将深入剖析这些基本函数系的性质、图像及其在指数增长、衰减模型中的应用。 特色与亮点： 1. 思维导向，方法先行： 本书并非简单堆砌知识点，而是将重点放在培养学生的数学思维能力和解题方法上。我们强调“授人以鱼不如授人以渔”，教会学生如何思考，如何选择合适的方法，而不是仅仅记住解题步骤。 2. 例题精选，解析详尽： 书中的例题均是精心挑选的、具有代表性的题目，涵盖了各种题型和解题技巧。每一道例题都附有详尽的解析，不仅给出答案，更重要的是分析解题思路、关键步骤以及容易出错的地方，帮助读者透彻理解。 3. 变式拓展，举一反三： 在例题之后，我们常常会提供一些变式题目，鼓励读者举一反三，将所学方法应用到新的情境中，加深对知识的理解和方法的掌握。 4. 专题突破，攻克难点： 本书设置了一些专题章节，如“特殊函数的性质分析”、“不定方程的整数解法”、“几何证明的构造技巧”等，旨在帮助读者系统地突破某些数学难点。 5. 引导探索，激发兴趣： 我们鼓励读者在阅读过程中主动思考，提出疑问，甚至尝试自己去探索和发现。书中有一些“思考题”和“探索性问题”，旨在激发读者的好奇心和求知欲。 6. 语言风格，贴近读者： 我们力求使用清晰、简洁、生动的语言来阐述数学概念和解题方法，避免过于晦涩难懂的专业术语，让数学变得更加易于理解和亲近。 目标读者： 本书适合所有对数学有浓厚兴趣、希望在数学学科上取得更大突破的初高中在校学生。无论是希望在课堂学习上游刃有余，还是有志于参加各类数学竞赛（如全国中学生数学联赛、国际数学奥林匹克竞赛等），本书都将是您宝贵的学习伙伴。同时，本书也适合对数学有深入学习需求的广大数学爱好者。 结语： 掌握数学，不仅仅是掌握一门学科，更是掌握一种思维方式，一种理解世界、改造世界的力量。本书希望成为您数学学习旅途中的一座灯塔，照亮您前行的道路，激发您探索未知的勇气。我们相信，通过本书的学习，您将能够真正领略到数学的博大精深与无穷魅力，在思维的沃土上播下智慧的种子，并最终收获丰硕的成果。翻开本书，让我们一同踏上这段精彩的数学探索之旅吧！

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这本书的习题编排简直是教科书级别的范例，体现了出题者对数学能力培养的深刻理解。它不是简单地将知识点拆分成大量的重复练习，而是采用了“螺旋上升”的结构。初级部分巩固基本运算和概念理解，那里的题目难度适中，主要目的是确保读者对基础公式和定理的熟练运用。但真正让我眼前一亮的是中高级部分的习题设计。这些题目往往不是一个知识点的简单叠加，而是巧妙地将几个看似不相关的模块——比如几何变换与数论的某些性质，或者微积分中的极限思想与概率统计的应用——融合在一起。解题过程中，你需要不断地在不同的数学分支间切换思维模式，这极大地锻炼了大脑的灵活性和跨域联想的能力。更重要的是，很多压轴题的设置，其设计思路并非追求怪异或偏门，而是力图还原真实竞赛中那些需要“灵光一闪”的关键步骤。作者在提供参考答案时，也展现出了极高的专业素养，他们不仅仅给出了最终解，更重要的是，详细标注了多种可能的解题路径，并对每种路径的优劣进行了简短的点评，这对于学习者反思自己的解题策略，优化思维习惯，具有无可替代的价值。

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这本书的封面设计确实很吸引眼球，那种深邃的蓝色调配上亮眼的金色字体，立刻让人联想到知识的深度与价值。我手里捧着它的时候，首先感受到的是那种扎实的纸张质感，翻页的手感很舒服，这对于长时间阅读和钻研的读者来说，是个不小的加分项。内容上，我最欣赏的是它在基础概念讲解上的那种“庖丁解牛”式的细致。很多市面上其他的资料，在引入一些比较抽象的定理时，往往直接跳到结论，让初学者摸不着头脑，但这本教材却花费了大量的篇幅，用非常形象的比喻和循序渐进的逻辑推导，把那些看似高不可攀的数学思想硬生生地拉到了我们能够触及的高度。尤其是对于代数结构中的一些群论初步概念的阐述，作者显然是下了苦功的，他们没有直接堆砌定义，而是通过一系列有趣的、与生活场景略微沾边的例子，让读者先建立起直观的认识，然后再逐步过渡到严谨的数学语言。这种处理方式，极大地降低了阅读的心理门槛，让我在阅读第一章时就感觉自己不是在啃一块坚硬的数学“硬骨头”，而是在参加一场由经验丰富的导师引导的探索之旅。这种循序渐进，注重“为什么”而非仅仅“是什么”的教学理念，是它区别于其他同类教材的显著标志。

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我发现这本书在排版和视觉呈现上，也做得非常人性化，这对于长时间面对密密麻麻公式的数学学习者来说，至关重要。纸张的选择，既保证了油墨不会洇开，也使得书本的整体重量控制在一个比较合理的范围内，便于携带。但最核心的改进在于公式的呈现方式。许多数学书籍为了节省空间，将公式和文字挤在一起，或者使用过于细小的字体，导致阅读时眼睛很容易疲劳。这本教材则采用了大开本的清晰布局，每一个重要的公式块都被单独提取出来，用稍粗的字体居中显示，四周留有足够的空白，使得公式的结构和逻辑关系一目了然。此外，作者在引入复杂公式推导时，常常使用彩色高亮或图标来标记关键的代换步骤或核心的逻辑跳跃点。比如，当一个复杂的根式运算需要用到共轭项时，那个共轭项的数字就会被标记成某种特定的颜色，这在视觉上形成了一种记忆锚点，帮助读者在大段的推演中快速定位到核心操作，极大地提升了阅读的效率和准确性。

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这本书的配套资源和辅助材料的理念也十分超前。我指的是它在处理“错题回顾与知识点查漏补缺”这一环节上的设计哲学。教材本身内嵌了一个非常巧妙的“自我诊断”系统——并非指电子应用，而是指其结构设计。在每章的末尾，都设置了一个“易错点警示区”，这个区域的内容并非来自于书本其他地方的重复，而是基于大量教学实践中发现的最容易被学生混淆、或是在解题过程中最常犯低级错误的陷阱点进行总结。例如，在学习三角函数反函数时，作者会特别强调定义域和值域的限制性条件，并用一个简短的对比表格清晰地展示了当一个函数被反演后，其核心性质如何发生颠倒。这种预判式的指导，让我能提前意识到自己可能存在的思维盲区，从而在后续练习中更有针对性地去检验自己是否真正理解了概念的边界条件。这比我自己在做完题后，通过错误率来反推知识点薄弱环节要高效得多，它相当于是一位经验丰富的老教师，提前在你面前指出了可能埋藏的“雷区”。

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从整体的结构来看，这套教材的编写逻辑充分体现了对“数学思维构建”的重视，而不是单纯的“应试技巧灌输”。我注意到，在涉及到高等数学中的微积分思想萌芽时，作者花了很大篇幅去追溯这些概念是如何从古代的几何问题中一步步演化而来的，这种历史的溯源，让人在学习过程中多了一层对数学发展脉络的宏观理解。它让我们明白，那些看似枯燥的公式背后，是人类智慧不断探索和迭代的结果。比如，在介绍一些数列的求和公式时，它没有急于给出“裂项相消”或“错位相减”的公式，而是先用图形化的方式模拟了分割区域的过程，让读者直观感受到“无限趋近”的物理意义。这种深层次的讲解，使得我对知识的掌握不再是机械记忆，而是内化为一种可以灵活调用的思维工具。它教会的不是“如何做一道题”，而是“如何像一个数学家一样去思考如何解决一个问题”，这对于培养长远的学术兴趣和解决复杂问题的能力，无疑是更为宝贵的财富。

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