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出版者:南京大学出版社

作者:陈仲

出品人:

页数:323

译者:

出版时间:2006-6

价格:15.80元

装帧:简裝本

isbn号码:9787305047350

丛书系列:

图书标签:

• 大学数学
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《高等数学精粹：概念、方法与应用》 内容概要 本书旨在为高等数学的学习者提供一套全面、深入且富有启发性的学习资源。不同于市面上充斥的纯粹题海战术或过于简化的概括，本书更侧重于在深刻理解高等数学基本概念的基础上，系统地梳理解决各类典型问题的核心方法论，并引导读者体会数学工具在解决实际问题中的强大力量。全书围绕高等数学的几个核心分支展开，层层递进，力求构建一套完整而融会贯通的知识体系。 第一部分：函数与极限 函数的概念与性质的深层解析： 本部分将超越初高中阶段对函数的简单认识，深入探讨函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等基本性质，并引入复合函数、反函数、分段函数等更复杂的函数模型。我们将详细分析如何通过函数图像、代数表达式以及实际情境来理解函数的内在规律，重点讲解判定和证明函数性质的严谨方法，例如使用ε-δ语言理解极限的定义，以及如何借助图像直观理解函数行为。 极限的精妙之美与计算技巧： 极限是微积分的基石。本部分将从直观理解出发，逐步深入到极限的严格定义，并系统地介绍求解各种类型极限的方法。这包括但不限于：基本极限公式的推导与应用，利用洛必达法则解决不定式极限，无穷小与无穷大的比较，夹逼定理的应用，以及涉及数列极限和函数极限的各种复杂情况。我们将特别强调极限在描述事物变化趋势、判断函数行为（如渐近线）方面的重要作用，并通过大量的实例展示如何将抽象的极限概念转化为具体的计算过程。 连续性与间断点： 在理解极限的基础上，本书将重点探讨函数的连续性。我们将精确定义连续函数的概念，分析在哪些点上函数会表现出不连续性（间断点），并对不同类型的间断点（可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点）进行详细分类与辨析。同时，我们将深入研究介值定理和极值定理等重要的连续性定理，揭示它们在解决方程根的存在性、函数最值求解等问题中的关键作用。 第二部分：导数及其应用 导数的定义、几何意义与物理意义： 导数是刻画函数变化率的有力工具。本部分将从导数的定义出发，深入剖析其几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速度、加速度等）。我们将详细讲解求导的基本法则和常用函数的导数公式，并重点介绍复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导等复杂技巧。 导数在函数性质研究中的应用： 导数是分析函数行为的金钥匙。我们将系统地讲解如何利用一阶导数判断函数的单调性、求函数的极值，以及如何利用二阶导数判断函数的凹凸性、求函数的拐点。这些工具将帮助我们绘制出精确的函数图像，从而深刻理解函数的整体走势。 洛必达法则的深入探讨： 洛必达法则在求解不定式极限时表现出强大的威力。本部分将对洛必达法则进行更深入的探讨，不仅讲解其基本形式，还将涵盖更复杂的不定式类型（如1的无穷次方、0的0次方、无穷大减无穷大等）及其转化为洛必达法则适用的形式。我们将通过大量精选例题，展示洛必达法则的应用技巧和注意事项。 导数的应用：泰勒公式与方程求解： 导数在近似计算和方程求解方面同样扮演着重要角色。我们将详细介绍泰勒公式及其在函数近似逼近中的应用，以及如何利用牛顿迭代法等方法，借助导数高效地求解非线性方程的近似根。 第三部分：积分学 不定积分的原理与计算： 不定积分是导数的逆运算。本部分将系统地介绍不定积分的概念、性质和计算方法。我们将讲解基本积分公式，以及凑微分法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法等常用的积分技巧。通过丰富的例题，帮助读者熟练掌握各种复杂函数的积分运算。 定积分的定义、性质与几何意义： 定积分是计算曲线下面积、体积等几何量的关键工具。本部分将深入阐述定积分的黎曼和定义，并分析其几何意义（如曲边梯形的面积）。我们将详细讲解定积分的各种性质，以及微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）在定积分计算中的核心作用。 定积分在几何与物理中的应用： 定积分的应用广泛而深刻。我们将通过具体的实例，展示如何利用定积分计算平面图形的面积、体积（旋转体体积、不规则立体体积）、曲线的弧长，以及解决物理学中的一些经典问题，例如功的计算、质心的求解、压力对平面图形的作用等。 反常积分： 对于积分区间或被积函数在区间内无界的情况，我们将引入反常积分的概念。本部分将详细讲解反常积分的定义、收敛性判别方法，以及如何进行相关的计算。 第四部分：多元函数微积分 多元函数的概念与偏导数： 随着问题的复杂度增加，我们需要引入多元函数。本部分将介绍多元函数的定义、几何表示（曲面），以及偏导数、全微分的概念。我们将详细讲解偏导数的计算方法，并深入理解全微分在描述多元函数变化时的作用。 方向导数与梯度： 方向导数描述了函数在特定方向上的变化率，而梯度则指向函数增长最快的方向。本部分将详细介绍方向导数和梯度的定义、计算方法，并阐述它们在优化问题、图像处理等领域的重要应用。 多元函数积分：重积分与曲线积分： 本部分将扩展积分的概念至多维空间。我们将详细讲解二重积分和三重积分的概念、计算方法（如利用坐标变换），以及它们在计算体积、质量、平均值等方面的应用。同时，我们将介绍曲线积分的概念，并分析其在物理学（如功的计算）等领域的实际用途。 第五部分：无穷级数 数列极限与级数收敛性判别： 本部分将回顾数列极限的概念，并在此基础上引入无穷级数。我们将详细介绍级数的收敛与发散的概念，并系统地讲解各种判别级数收敛性的方法，包括正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，以及任意项级数的莱布尼茨判别法和绝对收敛与条件收敛的概念。 幂级数及其应用： 幂级数是数学分析中一种重要的函数表示工具。本部分将详细介绍幂级数的概念、收敛域的求解，以及幂级数在函数展开（泰勒级数、麦克劳林级数）、求解微分方程、近似计算等方面的广泛应用。 学习方法与指导 本书强调“知其然，更知其所以然”的学习理念。在每个章节的讲解中，我们不仅会给出严谨的定义和定理证明，更会注重对数学概念的直观理解和背后的逻辑推理。本书的典型例题并非简单罗列，而是经过精心挑选，覆盖了从基础到综合的各个层次，力求通过对例题的深入剖析，引导读者掌握解决各类问题的通用思路和技巧。本书还提倡读者主动思考，鼓励将所学知识融会贯通，联系实际，从而真正掌握高等数学这门强大的思维工具。 目标读者 本书适合所有对高等数学有系统学习需求的学生，包括但不限于： 高等数学（微积分）课程的学生，需要巩固课堂知识，加深对概念的理解，提升解题能力。 准备考研（数学科目）的学生，需要系统性地复习和梳理高等数学知识体系。 对数学有浓厚兴趣，希望深入理解高等数学理论与应用的读者。 在工程、科学、经济等领域需要运用高等数学解决实际问题的专业人士。 总结 《高等数学精粹：概念、方法与应用》力求成为一本集理论深度、方法指导和应用启发于一体的学习宝典。通过对高等数学核心概念的深入解析，对典型问题的解题思路的系统梳理，以及对数学在各领域应用的生动展现，本书将帮助读者建立起牢固的高等数学知识基础，培养严谨的数学思维，并最终能够自信地运用数学工具解决复杂问题。

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作为一名工程专业的学生，我深知数学基础对于后续专业课学习的重要性，但过去我总是在大量的习题中迷失方向，找不到重点。这本书的出现，极大地改变了我的学习策略。它的结构安排非常有条理，从基础概念的复习到复杂综合题的攻克，层层递进，循序渐进。我发现，很多其他辅导资料都只是机械地重复课本内容，而这本书的解析部分，真正做到了“解析”二字——它不仅仅是把步骤写出来，更是深入剖析了为什么这么做，背后的数学原理是什么。例如，在处理涉及多元函数极值的问题时，书中对海塞矩阵的判定和几何意义的解释，让我对“鞍点”有了更深刻的理解，不再是死记硬背公式。这种注重理解、强调逻辑链条的讲解方式，极大地提升了我的数学思维的严谨性。我现在做题的效率和准确率都有了显著的提高，感觉自己对大学数学的恐惧感正在逐步消退，取而代之的是一种掌控感。

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老实说，我平时对数学学习的热情不是特别高，很多参考书要么内容过于简略，要么就是解答过于跳跃，导致我跟不上作者的思路。但是这本《大学数学典型题解析》给我的感觉完全不同。它的叙述风格非常贴近一个正在努力学习的学生的需求，语言亲切又不失专业性。我尤其欣赏它在例题选择上的独到眼光，涵盖了考试中经常出现的各种题型，而且每种题型都配有不止一种解法，这极大地拓宽了我的视野。比如，在讲解微分方程的通解求法时，书中不仅详细演示了标准的求解步骤，还对比了不同方法的优劣和适用范围，这种深度的剖析，让我在理解概念的同时，也学会了如何根据具体情况选择最合适的工具。更重要的是，这本书对于解题过程中的“陷阱”和易错点进行了特别的标注和警示，让我能有针对性地避免在未来的练习中犯同样的错误。阅读这本书的过程，与其说是学习，不如说是一种与高手的对话，从中汲取了很多实战经验。

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这本书的装帧和纸张质量也值得称赞。在长时间的阅读和演算过程中，纸张的触感和油墨的清晰度都保证了视觉的舒适性，这对于需要高度集中注意力的数学学习来说非常重要。我注意到，书中的图表绘制得非常规范和精确，无论是几何图形的表示，还是函数图像的描绘，都准确无误，这对于空间想象力相对薄弱的学习者来说，是极大的帮助。更不用提，本书在处理一些需要用到编程或计算工具辅助的题目时，给出了非常实用的建议和示例，这体现了作者紧跟时代发展的教学理念，将理论与现代计算手段有效结合。这本书的体量适中，既保证了内容的深度和广度，又不会让人产生望而生畏的心理负担。它似乎精心地筛选和提炼了那些最能体现数学思想、最具有代表性的题目，避免了冗余信息的干扰，让我的复习过程变得高效而精准。

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我非常赞赏作者在处理证明题和理论题时所展现出的耐心与洞察力。在很多数学教材和辅导书中，证明题往往是一笔带过，或者只是给出了一个看似完美却难以重现的推理过程。然而，这本书不同，它不仅提供了规范的证明步骤，还会穿插讲解在构建证明思路时可能出现的思维误区，比如偷换概念、逻辑跳跃等。特别是对一些经典定理的证明，作者会从最基本的公理和定义出发，逐步构建起完整的证明体系，确保读者能够理解每一步的合理性。这种由浅入深、步步为营的讲解，极大地增强了我对数学严谨性的敬畏感和对逻辑推理能力的自信心。通过研读这些证明题的解析，我感觉自己不仅仅是在准备考试，更是在学习一种严谨的科学思维方式。这本书已经成为了我书架上“常备”的工具书，无论何时遇到难题，翻开它总能获得启发和力量。

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这本书的排版真是让人眼前一亮，字体清晰，重点突出，逻辑结构也非常清晰。读起来一点都不觉得枯燥，作者在讲解每一个知识点时，都力求深入浅出，把复杂的概念用生动的语言和直观的例子展现出来。特别是对于那些我平时觉得晦涩难懂的部分，比如高等代数的矩阵运算和微积分中的极限求解，书中的解析步骤详尽而严谨，每一步的推导都像是手把手地在教你如何思考和解决问题。我记得有一次我在做一道关于重积分的题目时卡住了很久，尝试了各种方法都不奏效，翻开这本书的解析，发现作者提供了一种非常巧妙的视角转换，瞬间茅塞顿开。这种不仅仅是给出答案，更是传授解题思维和技巧的教学方式，对于我们这种需要扎实基础的学生来说，简直是雪中送炭。它不像那种冷冰冰的公式堆砌，而是充满了对读者学习过程的关怀和引导，让人在学习数学的海洋中找到了一个可靠的灯塔。这本书的价值远超一本普通的习题解析，它更像是一位耐心的、经验丰富的数学导师，时刻在你身边提供指引。

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