Discrete Projection Methods for Integral Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Michael A. Golberg

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isbn号码:9781853124402

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• 经典书
• Integral Equations
• Numerical Analysis
• Discrete Projection
• Mathematical Methods
• Approximation Theory
• Boundary Element Method
• Functional Analysis
• Scientific Computing
• Applied Mathematics
• Engineering Mathematics

《数值分析基础：理论与计算》 本书是为数学、工程及相关领域的本科生和研究生量身打造的数值分析入门教材。它旨在系统地介绍数值分析的核心概念、基本方法以及在解决实际计算问题中的应用，并侧重于理论的严谨性与计算实践的紧密结合。 核心内容概览： 全书围绕数值分析的两大主题展开：误差分析与数值算法。 第一部分：误差分析与数值稳定性 引言：计算的精度与误差 介绍数学模型与计算模型之间的差异。 阐述近似计算的必要性。 定义并区分截断误差、舍入误差、绝对误差和相对误差。 讨论误差的传播与累积，强调在数值计算中理解和控制误差的重要性。 数值计算中的基本概念 浮点数表示与机器精度。 病态问题与良态问题，解释它们对计算结果稳定性的影响。 数值算法的稳定性概念，例如绝对稳定性与相对稳定性。 第二部分：代数方程组的数值解 线性方程组的直接解法 高斯消元法：详细介绍其原理、步骤、计算量以及消元过程中的主元选择策略（部分主元法、全主元法）以提高数值稳定性。 LU分解：阐述LU分解的原理，包括Doolittle方法和Crout方法，及其在求解多个同型线性方程组时的效率优势。 追赶法：针对带状矩阵（尤其是三对角矩阵）的特殊结构，介绍高效的追赶法。 Cholesky分解：适用于对称正定矩阵，介绍其计算效率和数值稳定性。 线性方程组的迭代解法 雅可比迭代法：详细推导其迭代公式，分析收敛条件（如对角占优性），并讨论其局限性。 高斯-赛德尔迭代法：阐述其迭代公式，并与雅可比迭代法进行比较，讨论其收敛速度。 超松弛迭代法 (SOR)：介绍松弛因子及其对收敛速度的影响，提供最优松弛因子的确定方法。 共轭梯度法 (CG)：作为一种高效的求解对称正定线性方程组的迭代方法，本书将介绍其基本原理和算法步骤。 非线性方程的求根 二分法：基于介值定理，介绍其简单性、可靠性及收敛速度。 牛顿-拉夫逊法：推导其迭代公式，分析其二次收敛性，并讨论其在迭代次数和收敛范围方面的优缺点，以及切线斜率为零的病态情况。 割线法：作为牛顿法的近似，介绍其迭代公式，以及其与牛顿法的比较。 不动点迭代法：分析其迭代公式和收敛条件。 第三部分：插值与逼近 多项式插值 拉格朗日插值：介绍拉格朗日插值多项式的构造，分析插值误差。 牛顿插值：介绍差商的概念，以及牛顿插值多项式的递推性质，分析其在增加数据点时的灵活性。 Hermite插值：介绍插值时同时考虑函数值和导数值的插值形式。 样条插值 三次样条插值：详细介绍三次样条函数的定义、性质以及构建方法，强调其在插值过程中产生的连续性和光滑性，以及其在计算机图形学和数据平滑中的应用。 函数逼近 最小二乘逼近：介绍如何在给定函数空间内找到最“接近”目标函数的多项式或三角多项式，重点分析其在数据拟合中的应用。 第四部分：数值积分与微分 数值积分（Quadrature Formulas） 梯形法则：介绍其基本思想和复合梯形法则。 辛普森法则：介绍其原理、计算公式以及复合辛普森法则，分析其精度。 牛顿-科特斯公式：介绍开型和闭型牛顿-科特斯公式，并讨论高阶公式的误差特性。 高斯积分（Gaussian Quadrature）：介绍高斯积分的基本原理，及其如何通过选择合适的节点和权重来达到更高的积分精度，并讨论其在工程计算中的重要性。 数值微分 有限差分法：介绍前向差分、后向差分和中心差分公式，分析其精度，并讨论它们在近似导数时的应用。 第五部分：常微分方程的数值解 单步法 欧拉法：介绍前向欧拉法和后向欧拉法，分析其一阶精度和收敛性。 改进欧拉法：介绍其原理和二阶精度。 龙格-库塔法 (Runge-Kutta methods)：详细介绍经典的四阶龙格-库塔法 (RK4)，分析其高精度和广泛应用，并概述其他阶数的RK方法。 多步法 Adams-Bashforth法：介绍显式多步法。 Adams-Moulton法：介绍隐式多步法。 预测-校正法：介绍如何结合显式和隐式方法来提高精度。 稳定性与收敛性：讨论常微分方程数值解法的稳定性和收敛性判据。 学习目标： 理解数值分析的基本原理： 掌握误差分析、数值稳定性等核心概念。 掌握常用数值算法： 能够理解、推导和实现求解线性方程组、非线性方程、插值、数值积分、数值微分和常微分方程的经典算法。 培养计算思维： 能够分析算法的优缺点，选择合适的算法解决实际计算问题。 提升编程实践能力： 通过配合编程练习，将理论知识转化为实际的计算工具。 本书特色： 理论与实践并重： 在介绍算法原理的同时，辅以大量的实例和分析，展示算法在实际问题中的应用。 严谨的数学表述： 采用规范的数学语言和证明方法，保证理论的准确性。 循序渐进的难度： 从基础概念到高级算法，内容组织合理，适合不同水平的学习者。 丰富的例题与习题： 每章都配有精心设计的例题，帮助理解概念，以及不同难度的习题，巩固所学知识。 鼓励编程实现： 强烈建议读者通过编程语言（如Python, MATLAB, C++等）实现书中的算法，加深理解并掌握计算工具。 通过对本书的学习，读者将能够建立起坚实的数值分析理论基础，并掌握一套解决计算科学中各类问题的强大工具集。

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这本书的排版和符号系统处理得极为专业，这对于任何依赖精确数学表达的读者来说都是一种享受。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的对比手法。例如，在介绍不同投影策略的收敛性差异时，作者并未急于下结论，而是先详细铺陈了每种方法的假设前提和潜在弱点，随后再给出数学上的严格证明。这种“先质疑，后论证”的叙事风格，极大地激发了我深入探究的兴趣。有一处关于加权残量法的讨论，特别巧妙地联系到了经典插值理论中的误差估计，这使得原本抽象的数值分析概念瞬间具象化，变得更容易理解和记忆。对于研究生或青年学者而言，这本书提供了一个绝佳的参考视角——即如何从理论的制高点审视和优化数值算法。它不仅仅是告诉你“怎么做”，更重要的是解释了“为什么这样做会比其他方法更优越”。

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总体而言，这是一部具有里程碑意义的专著。它对离散投影方法的阐述达到了一个令人敬佩的高度，尤其是它将理论的抽象性与数值计算的实用性融合得如此天衣无缝。我注意到，书中对不同离散化方案的计算复杂度和内存需求的讨论非常实在，这对于大型问题的求解者来说至关重要。作者似乎深谙科研工作者的痛点，总能在关键时刻提供洞察性的见解。例如，在处理积分方程的自由边界问题时，书中给出的一种混合方法，巧妙地规避了传统方法的收敛性陷阱。这本书的价值在于，它不仅仅是知识的传递，更是一种研究方法的示范。它教会了我们如何以一种系统、批判性的眼光去看待数值求解过程中的每一步决策，从而推动整个领域向前发展。读完此书，我感到自己的研究视野被极大地拓宽了。

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阅读这本书的过程中，我体验到了一种智力上的酣畅淋漓。作者对细节的关注达到了近乎苛刻的程度，每一个定理的证明都包含了必要的预备知识回顾，确保读者不会因为背景知识的缺失而卡壳。例如，关于特征值问题的离散化误差分析部分，涉及了大量的泛函分析工具，但作者的讲解流畅自然，没有丝毫的晦涩感。我注意到，书中大量引用了近期的研究成果，这表明作者的视野非常开阔，紧跟学科前沿。这使得这本书不仅仅是知识的总结，更像是对当前研究热点的一次深度巡礼。它成功地架设起了一座桥梁，连接了经典分析理论与现代高性能计算的需求。对于那些渴望将前沿理论应用于解决实际工程难题的工程师来说，这本书提供的理论基石无疑是极其宝贵的财富，它给予的不是现成的答案，而是解决问题的底层逻辑。

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这本书的阅读体验是沉静而内敛的，它不像某些教材那样试图用生动的例子来“讨好”读者，而是专注于内容的深度和严密性。我发现自己不得不放慢阅读速度，因为许多关键段落需要反复咀嚼才能完全吸收其精髓。作者的写作语言非常克制，极少使用口语化的表达，使得整本书散发出一种严谨的学术气息。在涉及复杂迭代过程的章节中，作者采用了一种非常清晰的流程图式描述，尽管文字量很大，但结构感极强，有效避免了信息过载。我特别欣赏它对“鲁棒性”问题的探讨，很多数值方法在理想情况下表现完美，但在面对病态问题时便会崩溃。这本书似乎在这方面投入了大量篇幅，力求提供一套在各种边界条件下都能保持稳定性的理论框架，这一点对于实际工程应用来说，其价值是无可估量的。

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初次翻开这本书时，我被其严谨的数学框架和清晰的逻辑结构深深吸引。作者似乎花费了大量心血来构建一个既具有理论深度又不失实践指导意义的理论体系。尽管我并非专攻积分方程的专家，但从前几章的内容来看，对离散投影方法的介绍非常详尽，从基础的函数空间理论到具体的数值实现步骤，都给出了细致的阐述。特别是对于如何处理非光滑解或高维问题时的挑战，书中给出的分析视角颇为独特，它没有简单地停留在公式推导，而是深入探讨了背后的物理或工程意义。阅读过程中，我能感受到作者在选择论证方法上的深思熟虑，无论是经典的变分法还是更现代的谱方法，都被置于一个统一的框架下进行比较和评价。那种层层递进的叙述方式，仿佛引导着读者亲手搭建起这座复杂的数学大厦，每一步都坚实可靠，令人信服。这本书更像是一份精心绘制的地图，指引着研究者在积分方程的广阔领域中探索前行，而非仅仅是提供一堆孤立的公式。

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