Duality and Perturbation Methods in Critical Point Theory (Cambridge Tracts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:N. Ghoussoub

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:1993-08-19

价格:USD 95.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521440257

丛书系列:

图书标签:

• Critical Point Theory
• Duality
• Perturbation Methods
• Mathematical Analysis
• Topology
• Variational Methods
• Nonlinear Analysis
• Cambridge Tracts in Mathematics
• Optimization
• Differential Equations

《对偶与摄动方法在临界点理论中的应用》 这本书深入探讨了临界点理论的两个核心工具：对偶方法和摄动方法。在数学分析的广阔领域中，寻找函数的临界点，即其梯度为零的点，是解决许多科学和工程问题的关键。这些临界点往往对应着物理系统中的平衡态、能量极值或奇异行为。本书旨在为读者提供一套严谨而实用的数学框架，以应对临界点理论中普遍存在的复杂性和非线性挑战。 第一部分：对偶方法 对偶方法在数学分析，尤其是优化理论和变分法中扮演着至关重要的角色。它的核心思想是通过构建一个“对偶问题”，与原始问题相互映照，从而获得对原始问题解的深刻洞察。对于临界点问题而言，对偶方法提供了一种强大的视角，能够将复杂的非线性方程转化为一系列更容易分析的结构。 本书将从对偶理论的基础概念入手，详细阐述拉格朗日对偶以及Fenchel对偶在临界点分析中的应用。读者将学习如何构建目标函数的对偶函数，并理解对偶问题的解与原始问题解之间的关系，特别是强对偶性何时成立。我们将重点关注凸优化理论中的对偶方法，介绍其在寻找凸函数临界点上的有效性。 随后，本书将转向非凸情形下的对偶方法。即使目标函数非凸，对偶技术依然能提供有价值的界限和近似解。我们将探讨 Moreau-Rockafellar 定理等关键结果，这些结果允许我们将非凸函数的临界点问题转化为对凸函数的对偶分析。 此外，本书还将介绍对偶方法在具体问题中的应用，例如： 凸集上的优化问题： 如何利用对偶方法来求解约束优化问题，并找到其对应的KKT条件。 非光滑函数的临界点分析： 许多实际问题涉及非光滑目标函数，本书将介绍如何通过次梯度理论和对偶方法来处理这类问题。 最优传输问题： 对偶方法在最优传输问题的求解中表现出色，本书将展示如何利用其来理解和计算最优传输映射。 第二部分：摄动方法 摄动方法是一类强大的数值和分析技术，用于处理具有小参数的方程或模型。在临界点理论中，摄动方法能够帮助我们理解复杂非线性方程的行为，特别是当这些方程的精确解难以获得时。通过引入一个小的“摄动”参数，我们可以将原问题“推向”一个更容易分析的简单问题，然后通过分析摄动参数变化时解的变化，来逼近原问题的解。 本书将系统地介绍各种摄动方法，并阐明它们在临界点理论中的应用。我们将从以下几个方面展开： 线性摄动： 讨论如何通过对线性算子进行微小扰动来分析非线性方程的解。 参数摄动： 重点介绍如何分析方程中某个参数的小变化对临界点位置和性质的影响。这将涉及到平衡点 Bifurcation 理论的初步介绍。 迭代摄动方法： 介绍一些基于摄动思想的迭代算法，如牛顿法及其变种，它们通过一系列的线性化和逼近来寻找临界点。 正则化与平滑技术： 对于 ill-posed 的临界点问题，正则化和各种平滑技术可以被视为一种摄动，它们有助于稳定计算过程并找到有意义的临界点。 本书还将深入探讨摄动方法在以下领域的应用： 非线性边界值问题： 如何利用参数摄动来求解偏微分方程的非线性边界值问题，并找到其临界解。 奇点分析： 摄动方法可以帮助我们理解函数在某些点上行为的“奇点”，例如临界点处的局部展开。 数值稳定性与收敛性分析： 摄动思想在分析数值算法的稳定性和收敛性方面也发挥着关键作用。 贯穿全书的主题 在对偶方法和摄动方法各自的详细介绍之外，本书还将强调这两个工具之间的联系和协同作用。很多时候，将两者结合起来使用能够产生更强大的分析能力。例如，摄动方法可以用来分析对偶函数的性质，或者对偶方法可以用来找到摄动参数的有效范围。 本书的目标读者是具有扎实数学分析和泛函分析基础的研究生和研究人员。通过对本书的学习，读者将能够： 深刻理解对偶方法和摄动方法在临界点理论中的基本原理和技术。 掌握运用这些方法来分析和解决各种复杂的临界点问题。 能够将这些理论工具应用到自己的研究领域，无论是数学、物理、工程还是其他依赖于最优化和临界点分析的学科。 本书的编写力求严谨而清晰，包含大量的例子和练习，以帮助读者巩固所学知识，并激发进一步的探索。我们相信，通过掌握对偶与摄动方法，读者将能够更有效地驾驭临界点理论的挑战，并为解决实际问题提供有力的数学支持。

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这本书在概念的引入和逻辑的推导上，展现出一种非常独特而深刻的洞察力。它似乎不仅仅是在陈述既有的理论框架，更是在引导读者去体会那些理论构建背后的哲学思考和数学直觉。对于初次接触这一领域的读者，开篇的铺垫显得尤为关键，作者没有急于抛出复杂的公式，而是耐心地构建了一个坚实的认知基础，循序渐进，步步为营。我体会到一种被精心引导的感觉，就好像有人在我脑海中搭建了一座通往高深殿堂的阶梯，每一步都踏实有力。这种叙事节奏的把握，是区分优秀教材和普通参考书的关键点。它要求读者投入时间和精力，但同时，它也慷慨地回报了耐心，让你在关键的转折点上豁然开朗，那种智力上的满足感是难以言喻的。

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本书的数学语言严谨到几乎不容置疑，每一个符号、每一个论断都经过了近乎苛刻的检验。对于那些习惯了日常交流和非纯数学领域表达方式的读者来说，初次接触可能会感到一种强烈的“翻译”需求。这固然意味着学习曲线相对陡峭，但同时也保证了理论推导的绝对精确性与无可辩驳性。我发现，只有当你的思维完全适应了这种高强度的逻辑密度时，才能真正领略到其中蕴含的美感。它迫使你摒弃模糊性，直面问题的本质。那些精妙的证明细节，仿佛是数学家留下的艺术品，需要细细品味才能发现其内在的和谐与力量。这种对精确性的执着，是这本书价值的核心所在，它拒绝任何形式的妥协或简化，是真正为追求真理的人准备的。

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这本书的最终价值，在于它提供了一个看待问题的全新视角，尤其是在处理那些系统处于不稳定边缘时的动态行为。它不仅仅是一本工具书，更像是一份思维训练手册。通过阅读和实践书中的方法，我明显感觉到自己解决复杂非线性问题的能力得到了质的提升。作者不仅告诉我们“如何做”，更重要的是解释了“为什么这样做是有效的”，深入剖析了背后隐藏的数学结构和物理意义。这种深层次的理解，远比仅仅学会套用公式要宝贵得多。它激发了更多深入探索的欲望，让人忍不住想要将这些方法应用到自己正在研究的其他领域，去探寻那些尚未被完全理解的临界现象。这本书无疑为研究者提供了一把开启新发现大门的钥匙。

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从内容组织来看，作者似乎非常擅长将看似不相关的分支领域巧妙地编织在一起，形成一个有机的整体。特别是在处理那些关键的临界点问题时，对各种近似方法和摄动技巧的交叉应用，展现了极高的学术视野。不同章节之间的过渡并非简单的堆砌，而是存在着清晰的、内在的联系，如同同一条河流在不同地貌上的展现。这种宏观的结构设计，使得读者在掌握局部细节的同时，不会迷失于庞杂的公式和定理之中，始终能把握住核心的研究脉络。我发现自己经常需要回顾前一章的内容，不是因为遗忘，而是为了更好地理解当前章节是如何建立在前文基础之上的，这种内在的关联性极大地增强了知识的系统性。

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这本书的装帧设计非常吸引人，纸质厚实，封面设计简洁却又不失专业感，一看就知道是学术界的精品。拿到手里沉甸甸的感觉，让人对其中蕴含的知识密度充满了期待。内页的排版也十分考究，字体清晰易读，图表清晰明了，阅读体验非常好。作为一本深入探讨复杂数学理论的著作，作者显然在细节上花费了大量心血，确保读者在面对抽象概念时，视觉上的辅助能够尽可能地降低理解门槛。我特别欣赏这种对实体书质感的坚持，在充斥着电子阅读的今天，一本实体书的精良制作本身就是一种对知识的尊重。尤其对于这种需要反复查阅和做笔记的专业书籍，良好的纸张质量和装订工艺是保证长期使用的关键。每次翻开它，都能感受到那种沉静而严肃的学术氛围，仿佛置身于一个严谨的数学研究室中，这种物理上的体验对于进入心流状态至关重要。

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