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出版者:北京大学出版社

作者:耿素云 方新

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1998-01-01

价格:12.5

装帧:

isbn号码:9787301006481

丛书系列:

图书标签:

• 离散数学
• 数学
• 计算机科学
• 集合论
• 图论
• 逻辑
• 组合数学
• 代数结构
• 算法
• 离散结构

离散数学（上）：基础理论与结构探秘 适用对象： 本科生、研究生，以及所有对计算机科学、工程技术、逻辑学和数学基础感兴趣的自学者。 全书概览： 《离散数学（上）》旨在为读者构建一个坚实的数学基础，特别侧重于那些在现代计算机科学、信息论、算法设计与分析中扮演核心角色的离散结构和逻辑推理方法。本书避免了纯理论的枯燥叙述，而是通过大量精心挑选的实例、应用背景和思考题，引导读者深入理解离散数学的内在美感与实用价值。全书内容围绕“集合论基础”、“逻辑与证明”、“关系与函数”、“计数方法”以及“图论初步”五大核心模块展开。 --- 第一部分：逻辑与证明——思维的基石 本部分是全书的逻辑起点，它不仅是数学研究的基本工具，更是严谨思维模式的培养皿。 第一章：命题逻辑 本章首先引入了命题的基本概念，包括真值、联结词（如合取、析取、否定、蕴含和双条件）。我们详细探讨了如何使用真值表来判定复合命题的等价性和重言式。核心在于教授读者如何将自然语言中的陈述准确地翻译成符号逻辑表达式。此外，本章还会深入讲解范式（合取范式CNF和析取范式DNF）的构造，这是许多自动化推理和逻辑电路设计的基础。 第二章：谓词逻辑（一阶逻辑） 在命题逻辑的基础上，本章引入了量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$），从而使逻辑表达能力得到了极大的扩展。我们将探讨如何处理具有个体、性质和关系的复杂陈述。推理规则得到进一步强化，重点讲解了如何利用自然演绎法和语义方法来验证复杂论证的有效性。本章也会讨论量词的否定规则和在不同域上的应用，为后续的集合论操作奠定基础。 第三章：数学证明的基本方法 这是全书方法论的核心。我们系统梳理了数学证明的五种主要范式： 1. 直接证明： 基于定义和已知定理的线性推导。 2. 间接证明（反证法）： 假设结论不成立，导出矛盾。 3. 逆否命题证明： 证明 $P ightarrow Q$ 等价于证明 $ eg Q ightarrow eg P$。 4. 数学归纳法： 详细区分了弱归纳法和强归纳法，并通过斐波那契数列、递归定义等经典案例展示其强大威力。 5. 构造性证明： 直接给出一个符合要求的构造实例。 本章特别强调了“寻找反例”作为推翻一个猜想的有效手段，并区分了“证明存在性”和“构造性证明存在性”的差异。 --- 第二部分：集合、关系与函数——离散结构的载体 本部分将逻辑工具应用于构建离散世界的结构。 第四章：集合论基础 本章从公理化集合论的朴素观点出发，定义了集合、子集、幂集、交集、并集和差集等基本操作。我们详细讲解了集合代数定律（如德摩根定律在集合运算中的体现）。为了处理无限集合，本章引入了有限集、可数集和不可数集的概念，并以自然数集 $mathbb{N}$ 和实数集 $mathbb{R}$ 为例，阐述了康托尔对角线论证的精妙之处。 第五章：关系与等价关系 关系是描述对象间联系的桥梁。本章首先定义了笛卡尔积与二元关系。重点研究了关系的自反性、对称性、反对称性和传递性。随后，我们深入探讨了等价关系（Equivalence Relations）及其将集合划分成互不相交的等价类的过程。例如，在整数模运算中，模 $m$ 的同余关系是如何构成整数集上的一个分区体系。 第六章：偏序关系与函数 偏序关系（Partial Order Relations）引入了“可比”与“不可比”的概念。本章将偏序关系的可视化工具——哈斯图（Hasse Diagram）——作为核心讲解内容，帮助读者直观理解最小元、最大元、极大元和极小元。 函数部分回顾了映射的基本概念（单射、满射、双射），并着重分析了在有限集上双射的逆运算的唯一性，以及函数在集合基数上的作用。 --- 第三部分：计数原理——精确的量化艺术 计数是离散数学中最具应用价值的部分之一，它直接关系到概率论和算法复杂度分析。 第七章：基础计数技术 本章从最基本的乘法原理和加法原理开始，逐步过渡到排列（Permutations）和组合（Combinations）。 1. 排列： 区分了有顺序的排列（$P(n, k)$）和不可区分元素的排列。 2. 组合： 重点讲解了组合数 $inom{n}{k}$ 的性质，特别是二项式定理的应用及其恒等式。 第八章：更高级的计数方法 本章拓展了计数技术的深度和广度： 1. 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）： 解释了简单形式和推广形式，并展示了其在证明至少存在性问题上的简洁高效。 2. 容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）： 详细阐述了如何通过加减交集来精确计算并集的大小，这是处理具有重叠性质的计数问题的关键工具。 3. 递推关系（Recurrence Relations）： 引入了用递推关系描述序列的建立方法，并详细讲解了如何使用特征方程法求解线性齐次递推关系（如应用到斐波那契数列）。 --- 第四部分：图论初步——连接世界的数学模型 图论是现代网络、数据结构和优化问题的基础语言。本卷的图论部分主要侧重于基本概念的建立。 第九章：图的基本概念 本章引入了图（Graph）的严格定义，包括无向图和有向图。我们学习了图的表示方法，包括邻接矩阵和邻接表。核心概念包括：顶点的度、路径、回路、连通性。特别强调了欧拉路径/回路和哈密顿路径/回路存在的必要条件，并展示了这些概念在网络连通性分析中的实际意义。 第十章：特殊类型的图 本章聚焦于几种重要的图结构： 1. 树（Trees）： 定义了树的性质（如边数与顶点数的关系），并初步探讨了生成树的概念。 2. 二分图（Bipartite Graphs）： 阐述了如何判定一个图是否为二分图，及其在匹配问题中的应用背景。 --- 学习成果： 完成《离散数学（上）》的学习后，读者将能够： 熟练运用逻辑工具对复杂陈述进行形式化分析和论证。 掌握集合、关系和函数在抽象结构建模中的作用。 精确应用各种计数原理解决实际中的排列组合问题。 使用图论的基本语言描述和分析网络结构。 本书为后续学习《离散数学（下）》（主要涉及代数结构、生成函数和更深入的图论算法）打下了坚实且灵活的理论基础。

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这本书的理论深度和广度都让我非常满意。它并没有仅仅停留在对基础知识的罗列，而是深入地探讨了许多核心概念的内在联系和相互作用。在阅读过程中，我能感受到作者对整个学科体系有着深刻的理解，并且能够将这些复杂的理论有机地组织起来，形成一个逻辑严谨的整体。一些章节的论述非常有启发性，让我对某些问题的看法有了全新的视角。同时，我也发现这本书涵盖的内容非常广泛，涉及到了离散数学的多个重要分支，这对于想要系统学习这个领域的读者来说，无疑是一份宝贵的财富。我感觉自己不仅仅是在学习知识，更是在学习一种解决问题的思维方式。

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这本书的包装和纸张质量都给我留下了深刻的第一印象。封面设计简洁大方，色彩搭配也很舒适，不是那种一看就让人眼花缭乱的风格，而是带着一种沉静的学术气息。翻开书页，纸张的手感非常细腻，厚度也适中，在光线下不会反光得让人不适，写笔记的时候也不会轻易洇墨。装订也很牢固，我试着稍微用力翻动了一下，书脊也没有出现任何松动或者异响，感觉可以经受住长时间的翻阅和存放。我特别喜欢这种用心的细节，一本好书不光在于内容，好的载体同样能提升阅读体验。物流也比我预期的要快，包装也很严实，收到的时候没有任何破损。总而言之，从拿到书的那一刻起，就觉得这是一次非常愉快的购物体验，让我对接下来阅读其中的内容充满了期待。

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坦白说，这本书的语言风格让我有点意外。我原本以为一本关于离散数学的书，语言会比较枯燥、公式化，但这本书的叙述方式却带有一种独特的魅力。作者在阐述概念时，并没有生硬地堆砌定义和定理，而是尽可能地用生活化的例子或者形象的比喻来解释，让原本晦涩难懂的概念变得生动有趣。虽然是“下册”，但我感觉即便是之前对相关领域接触不多的读者，也能在一定程度上理解作者的思路。这种“润物细无声”的讲解方式，不像是在“教”书，更像是在“引导”读者一步步地探索和发现。我尤其喜欢作者在某些地方加入的一些思考题，这些问题并不是简单地考察知识点，而是引导读者去进行更深入的联想和应用，非常锻炼思维。

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这本书的习题设计非常用心，既有基础巩固型的题目，也有拓展思维的难题，能够满足不同水平读者的需求。我尝试做了几道练习，发现题目类型非常多样，能够全面地考察对知识点的掌握程度。而且，一些题目并非简单的计算或证明，而是需要结合实际情境去分析和解决，这让我真切地感受到了离散数学在实际应用中的价值。更值得一提的是，虽然书中没有提供详细的答案解析，但题目本身的设计就很有引导性，通过思考题目，也能促使读者主动回顾和理解相关知识点。对于我来说，这种“引导式”的习题练习，比直接给出答案更能加深我的理解和记忆。

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这本书的排版和图示给我留下了非常深刻的印象。文字的大小和行间距都非常合适，长时间阅读也不会感到疲劳。段落划分清晰，重点内容用粗体或斜体标注得恰到好处，不会过于突兀，但又能有效地引导读者的注意力。更让我惊喜的是书中的图示，线条流畅，结构清晰，对于理解一些抽象的概念非常有帮助。我之前看过一些数学书籍，图示要么过于简略，要么过于复杂，难以理解，但这本书的图示可以说是恰到好处，既能准确地表达概念，又不至于让人望而却步。而且图示的印刷质量也很好，色彩鲜艳而不失真，细节也清晰可见。我发现很多概念的阐释，结合图示来看，就豁然开朗了，这对于我这种比较偏向视觉学习的人来说，简直是福音。

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