MATHEMATICS第一册(上) 数学

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出版者:人民教育出版社
作者:
出品人:
页数:163 页
译者:颜基义
出版时间:2002年06月
价格:11.6
装帧:平装
isbn号码:9787107155161
丛书系列:
图书标签:
  • 数学
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  • 小学数学
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具体描述

《代数几何基础与解析方法》 内容简介: 本书旨在为读者构建一套坚实且深入的数学理论框架,重点聚焦于代数几何的基本概念、核心方法论及其在现代数学分支中的应用。全书分为四大核心模块,循序渐进地引导读者从基础的集合论和拓扑结构出发,最终深入到抽象代数几何的前沿领域。 第一模块:基础代数与数域扩张 (Foundations in Algebra and Field Extensions) 本模块首先对抽象代数的基础进行严谨的回顾和深化。我们不再停留于群、环、域的简单介绍,而是深入探讨范畴论在代数结构间的关系描述中的作用。重点章节包括: Noetherian 和 Artinian 环的性质:详细分析了这些环在理想链上的限制,以及它们与交换环上的模 (Modules over Commutative Rings) 结构之间的内在联系。对极大理想与素理想的结构进行了细致的分解,为后续定义代数簇奠定基础。 域扩张与伽罗瓦理论的精要:不仅复习了有限域扩张和代数闭包的概念,更着重于无限伽罗瓦扩张的理论框架。我们引入了德利涅-拉马尔(Deligne-Lefschetz)定理的初步思想,探讨了在特定拓扑空间上定义的函数域的代数性质。此外,Descent Theory(下降理论)的初步引入,为理解局部化过程的必要性提供了代数上的依据。 第二模块:经典代数簇与几何化 (Classical Algebraic Varieties and Geometric Realization) 本模块是将抽象的代数对象转化为具体几何实体的关键桥梁。我们采用的是扎里斯基拓扑 (Zariski Topology) 作为主要的几何框架,并将其与代数结构紧密结合。 仿射空间与理想的关系:深入分析希尔伯特零点定理 (Hilbert’s Nullstellensatz) 的两个版本(强弱),揭示了多项式环上的理想与其在某个代数闭域上的零点集之间的对偶性。我们详细讨论了主理想域 (PID) 上的代数簇与一般域上的簇之间的区别与联系。 射影空间与齐次坐标:引入射影空间 $mathbb{P}^n$ 的概念,探讨齐次多项式与射影簇的关系。重点阐述了笛卡尔积的射影嵌入问题,以及如何通过Segre 嵌入实现对两个射影空间乘积的代数描述。 局部性质的引入——奇点理论的萌芽:在讨论代数曲面时,我们首次引入了正则局部环 (Regular Local Rings) 的概念,并使用微分形式(基于导数的概念)来识别和分类奇点 (Singularities),如尖点(cusp)和自交点(node)。 第三模块:概形论与范畴方法的引入 (Scheme Theory and Categorical Approaches) 为了克服经典代数几何中对“点”的定义过于依赖于代数闭域的局限性,本模块全面引入了概形理论 (Scheme Theory),这是现代代数几何的基石。 环谱 (Spec A) 的构造与基础:详细构建了任意交换环 $A$ 的谱 $ ext{Spec}(A)$,并定义了其上的结构层 (Structure Sheaf) $mathcal{O}_{ ext{Spec}(A)}$。重点在于理解素理想 $P$ 对应于 $ ext{Spec}(A)$ 上的“点”,以及结构层如何编码了局部信息。 概形的定义与局部的特性:通过对局部环的理解,推广到概形的定义。深入探讨了初等概形(如 $ ext{Spec}(mathbb{Z})$,素数谱)的几何意义,展示了如何用代数方法研究数论问题。 层论与同调方法的预备:初步介绍层 (Sheaves) 的定义,特别是相干层 (Coherent Sheaves) 的重要性。简要提及上同调 (Cohomology) 的概念,说明它如何用于衡量“全局截面”与“局部数据”之间的不一致性,为高阶几何不变量的计算做铺垫。 第四模块:代数空间与莫里-魏斯对偶 (Algebraic Spaces and Duality) 本模块是本书的深入与拓展部分,旨在介绍超越传统概形定义的更广阔的几何空间。 代数空间 (Algebraic Spaces):探讨了在某些情况下,需要通过模空间 (Morphisms of Schemes) 的Étalé Coverings (素拓扑覆盖) 来构造更精细的几何对象。详细讨论了对角线拓扑的可逆性,解释了为什么需要引入代数空间来处理某些非分离(Non-Separated)的几何结构。 莫里-魏斯对偶性 (Mori-Weiss Duality):本节涉及了更高级的主题,讨论了在Fano 簇和K3 曲面的分类中,如何使用线性系统的对偶性来简化高维对象的分析。重点放在线性等价类的代数结构上,而不是仅仅停留在几何直观。 向量丛与陈类 (Vector Bundles and Chern Classes):在概形上定义凝聚向量丛,并介绍Serre-Swan 定理的推广形式。最后,我们引入陈类 (Chern Classes) 作为衡量向量丛拓扑性质的代数不变量,并展示它们在黎曼-罗赫定理 (Riemann-Roch Theorem) 中的基础应用。 本书的难度定位为高年级本科生或研究生入门课程,要求读者具备扎实的微积分、线性代数和初步的抽象代数知识。全书旨在培养读者将几何直觉与严格的代数论证相结合的能力。

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这本书的另一个亮点在于,它非常注重培养读者的自主学习能力。书中的讲解深入浅出,很多地方留有让读者思考的空间。它不会把所有东西都讲透,而是鼓励读者自己去探索、去发现。我发现,当我主动去思考、去解决问题时,我学习到的知识会更加牢固,也更有成就感。

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在学习这本书的过程中,我最大的体会就是,数学学习并非是死记硬背,而是理解和应用的过程。这本书很好地体现了这一点。它鼓励我去思考“为什么”,而不是仅仅记住“是什么”。当我遇到难题时,我不会立刻去翻答案,而是会先尝试自己去分析、去推导。很多时候,经过一番思考,即使不能立刻得出正确答案,我也能理解问题的症结所在,这比直接看到答案更能加深我的印象。

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总而言之,这本书不仅仅是一本数学教材,更像是一位循循善诱的老师,一位激发我学习热情的伙伴。它让我对数学产生了浓厚的兴趣,也让我看到了自己在这门学科上的潜力。我非常期待能继续深入学习,去探索数学更广阔的世界。

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更令人称赞的是,这本书在理论阐述的同时,并没有忽略练习题的重要性。每一章后面都附有大量不同难度和类型的练习题,从基础巩固到能力拓展,应有尽有。我坚持每天做一部分练习,不仅巩固了当天学到的知识,也逐渐培养了解决数学问题的能力。我发现,很多练习题的设计非常巧妙,它们往往能引导我去思考问题的不同解法,而不仅仅是套用公式。有时一道题看似简单,但深入挖掘下去,却能发现其中蕴含的数学思想,这让我对数学的理解又上了一个台阶。

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这本书的质量也让我印象深刻。纸张的质感很好,不易折损。印刷清晰,没有出现模糊或错别字的情况。整体而言,是一本非常用心制作的书籍,无论是内容还是形式,都达到了我个人的高标准。这让我觉得,拥有这样一本高质量的书籍,本身就是一种享受。

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我特别欣赏书中在介绍新概念时,会先回顾之前学过的相关知识,建立起知识之间的联系。这种“温故而知新”的学习方式,让我在学习新内容时,感到更加得心应手,也避免了知识点之间的断裂。例如,在学习到代数表达式时,书中会先回顾数字的概念和运算,然后自然地过渡到用字母表示数,这种连接非常流畅。

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这本书就像一把万能钥匙,打开了探索数学世界的神秘大门。从我翻开它的第一页开始,就被书中严谨的逻辑和清晰的思路所吸引。作者似乎深谙初学者的困惑,将原本可能令人望而生畏的数学概念,用一种循序渐进、由浅入深的方式呈现出来。我尤其喜欢书中那些精心设计的例题,它们不仅仅是枯燥的数字和符号的堆砌,更是将抽象的数学原理巧妙地融入到实际生活中,让我能够直观地感受到数学的魅力和实用性。比如,在讲解函数概念时,书中用一个简单的“投入硬币,获得糖果”的例子,就生动地解释了输入、输出以及它们之间的对应关系,这比任何复杂的定义都来得更为深刻。

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这本书给我的感觉是,它在传授知识的同时,也在培养一种数学思维方式。我开始学会用数学的逻辑去分析生活中的问题,比如如何更有效地规划时间,如何理解概率,如何评估风险。这种能力的提升,让我觉得这本书的价值远远超出了课本的范畴,它正在潜移默化地改变我的思维模式。

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我必须提到这本书的语言风格。它不像某些教材那样冰冷、说教,而是充满了温度和启发性。作者在讲解过程中,时常会插入一些有趣的数学史故事或者科学家的轶事,让原本枯燥的学习过程变得生动有趣。这些小插曲不仅为我提供了一些课外知识,更重要的是,它们让我看到了数学家们是如何思考、如何探索的,也让我感受到了人类智慧的伟大。这让我觉得,数学不仅仅是一门学科,更是一种探索未知、挑战自我的精神。

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这本书的排版和设计也十分人性化。字体大小适中,阅读起来眼睛不容易疲劳。关键符号和公式的突出显示,以及关键概念的加粗强调,都让我在阅读过程中能够抓住重点,提高学习效率。书中的插图虽然不多,但都恰到好处,能够帮助理解一些比较抽象的概念。比如,在解释集合概念时,书中配有的韦恩图就直观地展示了集合之间的包含、交集、并集关系,大大减少了我对这些概念的理解难度。

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