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出版者:经济科学出版社

作者:颜心力

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-10-01

价格:11.8

装帧:

isbn号码:9787505844575

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• 非线性方程
• 精确解
• 数值分析
• 数学建模
• 科学计算
• 微分方程
• 迭代方法
• 近似解
• 工程数学
• 应用数学

数学物理中的热点前沿：高维积分与黎曼几何的深入探讨 图书简介 本书聚焦于现代数学物理中两个至关重要且相互关联的领域：高维积分的精确计算方法及其在复杂系统建模中的应用，以及黎曼几何在描述时空曲率和物质分布中的核心地位。全书以严谨的数学推导和丰富的物理实例相结合的方式，旨在为高等院校的研究生、博士后以及相关领域的科研人员提供一本深入理解和掌握前沿理论的参考读物。 第一部分：多重积分的理论深化与计算技巧 第一章：勒贝格积分理论的重构与应用 本章首先回顾了经典黎曼积分的局限性，随后系统地引入勒贝格测度理论的基础。重点在于测度的构造、可测集的性质以及积分的定义与收敛定理（如法图定理、支配收敛定理）。我们深入探讨了在无限维空间中定义泛函积分的挑战，并展示了如何利用Banach空间上的有界线性算子来逼近复杂的积分算子。 随后，章节转向高维空间中特定几何形状上的积分。详细阐述了多重积分的坐标变换定理，不仅限于常见的笛卡尔、柱面和球坐标系，还引入了椭球坐标系和抛物柱面坐标系在处理特定势场问题中的优势。特别地，本章提供了一套系统的方法来处理非光滑边界上的积分，这在材料科学和非均匀介质的电磁场分析中尤为关键。 第二章：特殊函数与积分变换在物理中的集成 本章将重点放在解决那些无法通过初等函数表达的积分问题上。详细分析了Gamma函数、Beta函数及其在概率论和统计物理中的应用。接着，引入了修正的贝塞尔函数（Modified Bessel Functions），并展示了它们是如何自然地出现在圆柱对称系统（如圆柱波导或径向扩散问题）的偏微分方程解中的。 积分变换是处理偏微分方程的强大工具。本章详尽讨论了傅里叶变换、拉普拉斯变换在处理非周期性、瞬态问题时的适用范围。更进一步，我们引入了Mellin变换，并阐述了它在处理具有幂律衰减的系统，如量子场论中的费曼图积分和统计力学中的临界现象时的核心作用。针对那些具有奇异性的积分，我们提供了留数定理（Residue Theorem）的推广形式，并展示了如何在复平面上构造合适的积分路径来获得物理上合理的解。 第三章：随机过程中的高维路径积分 虽然本书并非专注于随机分析，但理解随机系统中的积分至关重要。本章探讨了随机微分方程（SDEs）的背景，特别是伊藤积分的数学构造。我们着重分析了路径积分（Path Integrals）在量子力学中的应用基础，但关注点集中于其统计力学极限，即如何通过高维高斯积分来处理配分函数（Partition Function）的计算。本章详细讨论了蒙特卡洛方法（Monte Carlo Methods）在高维积分中的局限性，并介绍了一种基于准随机序列（Quasi-Random Sequences）的低差异性采样方法，用以提高在维度灾难背景下的积分精度。 第二部分：黎曼几何：弯曲空间中的物理描述 第四章：微分几何基础与张量分析 本部分内容转向描述弯曲时空和物质的几何语言。本章首先建立流形（Manifolds）的拓扑和微分结构，重点介绍切空间、向量场和张量场的定义。张量分析是核心，详细阐述了协变导数（Covariant Derivative）的定义，以及其如何反映空间本身的弯曲性，而不是仅仅是坐标系的变化。通过对里奇张量（Ricci Tensor）和黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的细致分解，我们清晰地揭示了时空曲率的内在几何含义。 第五章：测地线、度规张量与时空动力学 本章的核心是度规张量（Metric Tensor） $g_{mu u}$，它是描述弯曲空间中距离和角度的关键。我们详细分析了测地线方程（Geodesic Equation）的推导，并说明了测地线如何代表自由落体运动的路径。 随后，我们深入探讨爱因斯坦场方程的几何解释。这不是对场方程本身的求解，而是聚焦于方程中几何项的物理意义：时空如何被物质和能量（通过能量-动量张量 $T_{mu u}$ 描述）所塑造。我们通过分析黎曼流形上的标量曲率（Scalar Curvature），探讨了在不同维度下，几何结构如何影响场的传播和演化。此外，本章还引入了共形变换（Conformal Transformations），展示了在保持角度不变的情况下，如何改变度规和曲率信息，这在处理引力理论的重整化问题中具有重要意义。 第六章：拓扑不变量与物理系统的分类 本章将几何概念提升到拓扑层面。我们介绍了霍金-特纳尔理论（Hawking-Penrose Singularity Theorems）的几何基础，重点在于理解奇点的拓扑结构。讨论了Chern-Simons 形式在描述拓扑场论中的作用，并展示了如何利用陈示性（Chern Class）来分类具有非平凡拓扑的向量丛，这与规范场论中的磁单极子的拓扑性质紧密相关。 最后，本章探讨了魏尔张量（Weyl Tensor）——黎曼曲率张量中与物质无关的部分，它描述了时空的“自由曲率”。我们分析了爱因斯坦空间（即里奇平直空间）的特性，并讨论了在爱因斯坦-嘉当理论（Einstein-Cartan Theory）中引入的扭率（Torsion）的概念，以此来探讨时空几何如何能够描述物质的自旋效应，从而超越纯粹的黎曼几何框架。 本书力求在理论的深度和应用的广度之间找到平衡，为读者提供一套扎实的工具箱，用于攻克当前数学物理研究中最具挑战性的计算和理论难题。

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这本《非线性方程的精确解》简直是为我这种常年在处理复杂数学模型的工程师量身定制的宝典！我最近在优化一个涉及高维耦合的流体力学模拟时，遇到了一个棘手的非线性系统，传统的数值迭代方法不仅收敛慢，而且精度总是在关键点上出岔子。拿到这本书后，我立马被它扎实的理论基础和详尽的求解实例所吸引。书中对于解析延拓技术在特定边界条件下的应用，描述得极为透彻，它不像许多教材那样只停留在公式推导的层面，而是真正深入到了如何将理论转化为可操作的算法。特别是关于李氏对称性在约化微分方程中的应用那一章节，简直是茅塞顿开，让我找到了一个全新的角度去简化我的问题。我尝试着用书里介绍的某种守恒律方法重构了我的控制方程，发现计算效率一下子提升了两个数量级，而且结果的稳定性也得到了极大的改善。这本书的图示和文字配合得非常巧妙，即便是面对那些看起来高不可攀的偏微分方程，作者也能用清晰的逻辑链条，一步步引导读者领略其内在的结构美。我必须说，对于任何从事前沿科学计算，并且对“精确”二字有着执着追求的人来说，这本书的价值是无法用金钱衡量的。它不仅仅是一本参考书，更像是一位经验丰富的大师，在你身旁耐心地指导你攻克每一个技术难关。

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这本书的装帧和排版让人感到非常专业，纸张质量上乘，印刷字体清晰，这对于一本需要反复查阅的工具书来说至关重要。我是一名退休的大学数学教授，在学术生涯中见过无数教材和专著，但像这样对特定领域进行如此深度挖掘的著作并不多见。我对非线性动力学一直有着浓厚的兴趣，特别是那些能用几何方法解释的现象。这本书中关于Willis波和孤波解的讨论，结合了微分几何的观点，让我感到非常惊喜。作者在引入Ricci流方法时，没有回避其复杂性，而是通过一系列精心挑选的例子，逐步展示了如何利用黎曼度量来控制方程的演化，从而导向稳定的定常解。虽然书中的一些引文和参考文献非常前沿，有些甚至我都需要去图书馆翻阅原始论文，但这正说明了其内容的深度和广度。唯一的“不足”或许是，这本书的深度意味着它对读者的背景知识有相当高的要求，初学者可能会感到吃力，但对于有志于在这一领域深耕的后学者而言，它无疑是一份值得珍藏的财富。

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初次接触《非线性方程的精确解》，我主要的感受是其逻辑架构的严密性。它不像许多科普读物那样追求易懂和浅显，而是毫不妥协地维护了数学的严谨性。书中对于如何利用代数方法，特别是Gröbner基理论，来求解多项式方程组的系统性描述，简直是教科书级别的范例。我之前尝试用各种数值方法硬解一个三变量的耦合代数方程组，结果陷入了复杂的实根判断和多重解的识别困境中。这本书提供了一种完全不同的路径：通过将原问题转化为更具结构化的环论问题，最终用精确的算法确定了解的存在性和性质。这种从“猜解”到“证明”的思维转变，是这本书给我带来的最大启示。它让我意识到，在面对复杂非线性时，有时候抛弃计算的惰性，回归到更本质的代数结构，反而能以更少的计算量获得更可靠的结论。这种对基础理论的深刻回归，使得这本书超越了一般的应用手册，成为了一部具有方法论指导意义的经典之作。

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作为一名资深的软件开发人员，我的工作是把理论模型转化为高效稳定的代码。我购买《非线性方程的精确解》的初衷，是想看看有没有能简化我们工业级仿真软件中核心求解模块的“捷径”。坦白说，这本书的前半部分对于我来说，有些过于偏向理论推导，那些关于李群、李代数的论述，对我日常的编程工作似乎有点“高射炮打蚊子”的感觉。但当我翻到关于结构保持算法（Structure-Preserving Algorithms）那一章时，一切都豁然开朗了。书中详细论述了如何基于哈密顿量或辛结构来设计时间积分器，以确保数值解在长时间演化后仍能保持物理意义上的不变性。这比我之前盲目追求高阶龙格-库塔方法的效率要重要得多。书中给出的一个基于辛几何思想的二维反应扩散方程的离散化方案，简洁而强大，它极大地减少了长期积分中能量的漂移。虽然这本书没有直接给出某特定商业软件的API调用方法，但它提供的底层数学洞察力，是任何商业库都无法替代的。它让我明白了，要写出真正可靠的科学计算代码，必须深谙其背后的数学骨架。

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说实话，我一开始对这本书抱有很高的期望，毕竟“精确解”这三个字在当今计算科学领域听起来多少有点像神话。我是一个数学系的研究生，主要研究方向是动力系统。我们这行的常态就是和各种龙伯-牛顿法、有限元分析打交道，哪有什么“精确解”？所以，当我翻开这本书时，我的心态是怀疑与好奇并存的。然而，作者在引入如巴赫曼变换（Bäcklund transformations）和自作用（auto-Bäcklund）等概念时，那种娓娓道来的叙事方式，竟然让我这个习惯了冷硬公式的读者感到一丝阅读的乐趣。书中对于一些著名的可积系统，比如KdV方程、Sine-Gordon方程的构造性解法，讲解得非常细致，甚至连早期数学家们尝试失败的路径都被提及，这使得整个学习过程充满了历史的厚重感。我特别欣赏它对“精确性”的定义——它并非要求解必须是初等函数的组合，而是强调了特定代数结构下解的完整性和唯一性。通过学习，我意识到很多我们习惯于数值逼近的问题，在更深层次的代数框架下，其实是完全可解的。这本书强迫你跳出数值的舒适区，去重新审视“解”的本质。对于拓宽理论视野，这本书绝对是功不可没的。

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