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出版者:上海大学出版社

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页数:0

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出版时间:2002-07-01

价格:38.0

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isbn号码:9787810584258

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《数学分析概论：理论、方法与应用》 内容简介 本书旨在为读者构建一个坚实的数学分析基础，深入剖析其核心概念、严谨的理论体系以及在各个学科领域中的广泛应用。我们将带领读者一步步探索数学分析的奥秘，从最基础的实数系统出发，逐步深入到极限、连续性、微分、积分等核心概念，并着重展现这些抽象理论的内在逻辑与精妙之处。本书并非简单地罗列公式和定理，而是致力于揭示数学分析的思想方法，培养读者严谨的逻辑思维能力和解决复杂问题的分析能力。 第一部分：函数与极限——数学分析的基石 我们将从实数集合的性质入手，建立起对数轴的直观认识，并介绍序列收敛的概念。通过引入“ε-δ语言”，我们将严谨地定义函数的极限，这是理解后续所有概念的关键。我们会详细讲解极限的四则运算法则，以及当函数在某点处不存在极限的各种情况。接着，我们将探讨函数的连续性，理解连续函数在不同类型区间上的性质，如介值定理和极值定理。本部分还将涉及单调有界定理，它为序列收敛提供了重要的判断依据。 第二部分：微分——变化率的刻画 本部分将聚焦于导数的概念。我们将从实际问题的出发，如瞬时速度和斜率，来引入导数的定义。通过细致讲解导数的几何意义和物理意义，让读者深刻理解导数所代表的变化率。我们将系统介绍微分的计算方法，包括基本函数的导数，以及大量的求导法则，如链式法则、乘积法则和商法则。本书还将深入探讨高阶导数的概念，以及它们在曲线的凹凸性、拐点判断以及泰勒公式等高级应用中的作用。我们将通过实例分析，展示导数在函数单调性、极值、最值等问题上的应用，帮助读者掌握如何利用导数分析函数的性态。 第三部分：积分——累积与面积的计算 积分作为数学分析的另一核心支柱，在本部分得到深入的阐述。我们将从定积分的几何意义——曲线下面积的计算入手，引入黎曼积分的概念。我们将详细讲解积分的性质，以及定积分与不定积分之间的联系（牛顿-莱布尼茨公式）。本书将系统介绍各种积分技巧，包括直接积分法、换元积分法和分部积分法。我们还会探讨特殊函数的积分，以及一些常见的积分技巧。此外，我们还将引入反常积分（广义积分）的概念，并讨论其收敛性判定。本部分还将初步涉及积分在几何中的应用，如曲线的弧长计算和旋转体体积的求解。 第四部分：级数——无限求和的艺术 级数是数学分析中处理无限项求和的重要工具。我们将从数项级数入手，介绍级数的收敛与发散的判定方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法等。我们将详细讲解几何级数和p-级数的收敛性。接着，我们将转向函数项级数，重点介绍逐点收敛和一致收敛的概念，并阐述它们在极限运算和求导、积分运算中的相互关系。幂级数作为函数项级数的重要分支，我们将深入研究其收敛域、收敛半径，以及它在函数展开（泰勒级数和麦克劳林级数）和求解微分方程等方面的应用。 第五部分：多元函数微积分——空间中的分析 本书将逐步将数学分析的概念推广到多元函数。我们将首先介绍多元函数的概念，以及它们的极限和连续性。然后，我们将深入讲解偏导数和方向导数，以及它们在刻画多元函数在不同方向上的变化率的作用。梯度、散度和旋度等向量微分算子也将得到详细介绍，并展示它们在物理学和工程学中的实际意义。对于多元函数的积分，我们将重点讲解重积分（二重积分和三重积分）的计算方法，以及积分变量的替换（雅可比行列式）。线积分和面积分的概念及其应用也将得到初步介绍。 第六部分：数学分析的理论精髓与思想方法 除了具体的概念和计算技巧，本书还将着重提炼数学分析的精髓思想。我们将强调数学证明的严谨性，引导读者理解数学归纳法、反证法等证明技巧。极限的思想贯穿于数学分析的始终，我们将反复强调其重要性，并展示如何利用极限来定义和刻画各种数学对象。微积分的“微分-积分对偶”思想是数学分析的核心之一，我们将通过大量的实例来阐释这一深刻的联系。本书还会探讨数学分析的抽象化与一般化思想，展示如何从具体问题中提炼出普适性的数学理论。 第七部分：数学分析在各领域的应用 我们将通过多个跨学科的实例，生动展示数学分析的强大应用能力。在物理学中，我们将看到微分方程如何描述运动规律，积分如何计算功和能量。在工程学中，我们将了解微积分在信号处理、控制理论和结构分析中的作用。在经济学中，我们将看到导数如何用于分析成本、收益和利润的最大化或最小化。在计算机科学中，我们将初步了解微积分在算法分析和数值计算中的应用。这些应用案例将帮助读者将抽象的数学理论与现实世界建立起联系，激发学习的兴趣和动力。 学习方法与建议 本书在编写过程中，充分考虑了不同层次读者的学习需求。我们建议读者在阅读时，能够： 理解概念的本质： 不要仅仅记住公式，而是要深入理解每个概念背后的思想和几何直观。 注重推导过程： 尝试自己动手推导重要的定理和公式，加深对数学逻辑的理解。 练习典型例题： 通过大量的练习题来巩固所学知识，掌握计算技巧。 反思与总结： 定期对所学内容进行回顾和总结，构建完整的知识体系。 联系实际应用： 思考数学分析在现实世界中的应用，将理论知识与实践相结合。 目标读者 本书适合于高等院校的数学、物理、工程、经济、计算机等相关专业的本科生，以及需要巩固和深化数学分析知识的研究生。对于对数学分析感兴趣的自学者，本书也将是一份极具价值的学习指南。 通过《数学分析概论：理论、方法与应用》，我们希望读者能够不仅掌握数学分析的工具，更能领略数学分析的严谨、优美和力量，为后续更深入的学科学习打下坚实的基础。

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说实话，刚拿到这本《高等数学学习指导》的时候，我有点不以为然，觉得市面上辅导书多如牛毛，能有多少新意？结果，我错了。这本书最让我眼前一亮的，是它对“为什么”的强调，而不是单纯的“怎么做”。在讲解导数的几何意义时，它没有仅仅停留在斜率这个层面，而是深入探讨了瞬时变化率在物理学、经济学中模型的构建作用。这种深入挖掘根源的叙述方式，极大地提升了我学习的内在驱动力，让我从“死记硬背”的模式中解脱出来，开始思考数学工具的适用边界。书中的章节组织也很有逻辑，从基础的函数与极限过渡到微分学，再到积分学，最后是级数。这种循序渐进的结构，非常适合那些基础薄弱，但又渴望系统性理解这门学科的读者。我特别欣赏它在介绍泰勒公式时，没有急于给出复杂的推导，而是先展示了用多项式逼近复杂函数的强大能力，成功激发了我的好奇心，让我愿意沉下心去啃后面的理论证明。

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这本书的装帧设计虽然朴实无华，但其内容组织却透露出一种老派的严谨和深思熟虑。我尤其欣赏它在介绍概念时的“历史脉络”铺陈。例如，在讲解无穷级数收敛性时，它没有跳过早期的经验性判断方法，而是将其作为引入现代柯西判别法的铺垫。这种做法的好处是，它让你明白数学知识是如何在漫长的发展过程中，通过不断的修正和完善才达到今天的严密性，而不是凭空出现的真理。读起来，有一种“与智者对话”的感觉。此外，书中的图示质量非常高，不是那种简单的线条图，而是清晰、精确，并且标注清晰的图形，这对理解偏导数、梯度等涉及到多变量函数的概念至关重要。总的来说，这本指导书的价值远超其标价，它不仅是一本解题工具书，更像是一部带领读者重新认识高等数学核心思想的“思想地图”。

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这本《高等数学学习指导》真是让人又爱又恨，它就像一位严厉的导师，不留情面地把你拉回到现实，让你直面那些曾经让你望而生畏的微积分概念。我第一次翻开它的时候，心脏是有点悬着的，生怕它又是一本堆砌着晦涩公式的“天书”。然而，出乎意料的是，开篇对于极限和连续性的阐述，竟然用了不少生活中的实例来类比，比如水龙头滴水、汽车速度的变化，这些接地气的描述瞬间拉近了数学与我之间的距离。它不像其他教材那样直接抛出定义，而是先带着你走一圈，让你在实践中感受到“为什么需要这个工具”。书中的例题设计也颇有匠心，从基础的代数变形到复杂的定积分应用，每一步的推导都详略得当，关键的“陷阱”部分还特意加粗并附上了简短的警告语，这点深得我心。尤其是关于中值定理的几何意义解释，作者仿佛化身为一位耐心的高中老师，用画图的方式把抽象的理论变得清晰可见。当然，习题的难度梯度也设置得很有层次，前面的夯实基础，后面的挑战思维，完全可以作为考前冲刺的有效辅助材料。

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这本书简直是为那些“数学恐惧症”患者量身定制的解药，我这句话可不是随便说的。我之前对线性代数和空间几何那块总是感觉云里雾里，立体感极差。但这本书在处理三维空间中的向量、平面和直线时，引入了非常巧妙的视角转换技巧。它不是一味地展示公式，而是鼓励读者想象自己在三维坐标系中移动、旋转，用更直观的“运动”来理解“位置”和“方向”。特别是对于二重积分和三重积分的介绍，作者竟然用到了类似“切片累积”和“沙堆堆积”的比喻，让原本抽象的体积计算有了一个具象的锚点。这种“手把手”的教学态度，极大地缓解了我的焦虑感。更贴心的是，书的后半部分附赠了一份“常见错误汇总”的清单，里面列举了我们学生在解题时最常犯的十大类错误，比如积分限用错、换元不彻底等，这些都是血泪教训的结晶，对我后续的自查和纠错起到了决定性的作用。

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我是一个习惯于通过大量习题来巩固知识点的学习者，市面上很多辅导书的习题要么太简单，要么太偏怪。但《高等数学学习指导》的习题分布非常均衡且贴合现代教学大纲的要求。基础题部分，讲解非常细致，每道题都有清晰的步骤划分，让你能清楚地看到知识点的应用流程。中等难度的题目则开始考察综合能力，需要将不同的定理和公式串联起来。而那些被标记为“挑战”的部分，说实话，做起来确实有点费脑筋，但真正攻克下来后，那种成就感是无与伦比的，它让你感觉自己对整个知识体系的掌控力都增强了。我记得有一道关于微分方程的题目，需要结合物理背景才能完全理解其物理意义，书中的解析部分不仅给出了数学解法，还额外附带了对模型背景的简要说明，这种跨学科的视角拓展，是很多纯粹的数学辅导书所欠缺的宝贵财富。

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