具体描述
本书是为适应21世纪的教学模式及现代科技对线性代数的需求，按照2004年教育部非数学类专业数学基础课程教学指导委员会重新制订的“线性代数”的基本要求编写的。
全书分为八章，包括行列式、矩阵及其运算、空间解析几何与向量代数、n维向量、线性方程组、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换、基本代数结构简介。每一章均有基本内容、习题、实验与提高三个部分，以适应不同层次学生分级教学的需要。书中把空间解析几何与线性代数融合在一起，并增加了数学实验内容，在内容中注重体现现代科技的内涵。
本书可作为高等院校理、工、经济、管理等专业的教材或教学结局，也可供科技人员和自学者参考。
探索宇宙的尺度：从微观到宏观的几何与代数交织 图书名称： 《张量分析与微分几何基础》 内容简介： 本书旨在为读者构建一个从基础概念出发，逐步深入到现代物理学和工程学核心工具的知识体系。我们聚焦于对多维空间结构、场论以及非欧几何的严谨数学描述，强调代数工具（如张量）在描述物理实在中的不可替代性。全书结构清晰，从向量空间和线性代数的延伸概念入手，稳步过渡到更高维度的几何构造。 第一部分：多线性代数与张量空间 本部分奠定了理解高维空间结构的基础。我们首先回顾经典线性代数的概念，如基、线性变换，并迅速扩展到双线性形式和二次型的分析。重点章节将详细探讨张量的概念——不仅仅是数组，而是满足特定变换律的几何对象。 张量的定义与运算： 我们详细区分了协变张量、反变张量和混合张量，通过拉普拉斯-德朗斯算子（在特定坐标系下）展示其在物理场描述中的重要性。张量的缩并、张量积和外积被系统介绍，特别是外积在构造微分形式时的关键作用。我们引入了指标记号，包括爱因斯坦求和约定，以此简化复杂的多重求和表达，这是后续微分几何描述的基石。 张量场的应用： 书中通过电磁学中的洛伦兹张量（$F_{mu
u}$）实例，展示了张量如何优雅地将物理定律从特定参考系中解放出来，体现其坐标无关性。此外，我们还深入探讨了惯性张量在经典力学中描述刚体转动的影响。 第二部分：微分流形与切空间理论 离开了欧几里得空间，描述弯曲空间（如广义相对论中时空）需要更强大的数学框架。本部分引入了微分流形这一核心概念，它是现代几何学的基石。 流形的构造与拓扑基础： 我们从局部坐标系、图册（Atlas）和坐标变换的光滑性要求开始，构建起微分流形的数学模型。拓扑概念如开集、紧致性在流形背景下的特殊含义被阐述。 切空间与向量场： 流形上的切空间被定义为所有通过流形上一点的曲线的切向量构成的向量空间。这是理解流形上“运动”和“变化率”的关键。我们详细分析了向量场，并通过流（Flow）的概念，将切向量场转化为微分方程的解，从而描述粒子在弯曲空间中的轨迹。李导数（Lie Derivative）被引入，用于衡量向量场如何沿着另一个向量场方向变化，这是考察对称性和守恒律的代数工具。 张量场在流形上： 在流形上，张量场是切空间张量（由度规张量诱导）的全局推广。我们讨论了如何使用协变导数（Covariant Derivative）来定义流形上张量的微分，解决了在弯曲空间中直接使用偏导数带来的坐标依赖性问题。 第三部分：度规、连接与测地线 几何学的核心在于“距离”和“最短路径”。本部分聚焦于黎曼几何，这是描述弯曲空间中度量性质的理论。 黎曼流形与度规张量： 黎曼度规张量（Metric Tensor, $g_{ij}$）被定义为流形上的一个二次型，它允许我们在切空间内计算长度和角度。度规张量的性质（正定性等）决定了空间的几何特征。我们探讨了等距变换（Isometry）和黎曼流形上的对称性。 联络（Connection）与平行移动： 为了在流形的不同点之间比较向量，我们需要一个联络机制。我们详细分析了列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），它由度规张量唯一确定，并且是无挠（Torsion-free）的。平行移动的概念被引入，描述了向量沿着曲线保持“方向不变”的方式。 测地线与曲率： 测地线被定义为黎曼流形上“最直”的曲线，其加速度向量平行于自身（即测地线方程的解）。这是对欧几里得空间中直线概念的推广。 最后，我们构建了衡量空间弯曲程度的最终工具：黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor, $R^i_{jkl}$）。曲率张量被分解为里奇张量（Ricci Tensor）和里奇标量（Ricci Scalar），它们直接反映了空间在局部偏离平坦性的程度。书中将展示曲率张量如何通过布安雅克-法诺方程（Bianchi Identity）体现其深刻的代数约束。 第四部分：微分形式与外微分 本部分将几何直观转化为更纯粹的代数分析工具，主要服务于积分和拓扑的联系。 微分形式的代数结构： 基于张量分析中的外积，我们定义了微分形式（$k$-forms），它们是流形上光滑函数的反变向量场上的交替（反对称）线性泛函。我们详细解释了如何通过楔积（Wedge Product, $wedge$）构造高阶形式。 外微分算子： 外微分 ($d$) 算子被定义，它是一个从 $k$ 形式到 $(k+1)$ 形式的线性映射。我们证明了外微分的基本性质，特别是$d^2 = 0$（即连续两次外微分结果必为零），这是深刻的代数结果，与路径无关性紧密相关。 德拉姆上同调与基本定理： 最后，本书引入了德拉姆上同调群 ($H^k_d$)，它们是“闭形式”模“恰当形式”的空间，用于衡量流形上拓扑“洞”的存在性。我们将严格证明斯托克斯定理（Stokes' Theorem），这是格林定理、高斯散度定理和安培定理的终极推广，它将微分形式的积分与边界上的积分联系起来，是物理场论中散度和环流概念的几何基础。 本书面向具有扎实线性代数背景的高年级本科生、研究生以及需要深入理解现代几何物理工具的科研人员。它拒绝简化复杂的几何构造，致力于提供一个严谨且自洽的数学框架，以应对前沿科学中遇到的多维空间挑战。
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