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出版者:第1版 (2005年6月1日)

作者:汪志宏

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:2005-6-1

价格:21.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787302110842

丛书系列:

图书标签:

• 123
• 高等数学
• 知识点
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《微积分启迪：从零开始的函数世界》 本书是一本面向初学者，旨在揭开微积分神秘面纱的入门读物。它并非一本枯燥的理论堆砌，而是希望通过生动形象的语言、贴近生活的实例，引导读者一步步走进微积分的世界，感受数学的魅力。 第一章：函数的奇妙之旅 在旅程的开端，我们将一同探索“函数”这个核心概念。它不仅仅是数学符号的组合，更是描述事物之间相互联系、变化规律的强大工具。我们会从最简单的关系开始，比如“路程与时间的关系”、“温度与时间的对应”，通过生活中的点滴，理解自变量与因变量的概念。我们将学习如何表示函数，无论是用表格、图形还是代数表达式，每一种方式都有其独特的语言和视角。 生活中的函数： 了解为什么商店的促销折扣可以看作一个函数，如何用函数描述植物的生长速度，以及手机信号的强度与距离的关系。 图形的语言： 学会读取和绘制函数图像，理解图像上的每一个点都蕴含着信息，图像的走向预示着变化的趋势。 代数的表达： 掌握用数学公式来精确描述函数关系，理解符号背后的逻辑。 第二章：极限——无限的边界 在函数的世界里，我们时常会遇到一些“趋近”的概念。当自变量无限接近某个值时，函数值会发生怎样的变化？这就是极限的奥秘所在。我们将抛开过于严谨的数学定义，而是通过一些直观的例子来理解极限的思想。想象一下，你不断地将一个圆的边数增加，它会越来越接近一个圆形；或者，当你不断地缩小一个误差范围，你离精确值就越来越近。极限让我们能够研究那些“无穷”和“无限小”的概念，为后续的学习打下基础。 “无限接近”的感觉： 通过趋近于一个整数，但永远无法到达的数列，来体会极限的“无限”。 切线的初步认识： 想象一条直线如何“无限接近”一条曲线的某一点，为导数的概念埋下伏笔。 无穷小与无穷大： 了解这些看似矛盾的概念是如何在数学中发挥作用的。 第三章：导数——变化的瞬息 如果说函数描述了事物之间的关系，那么导数则捕捉了这种关系变化的“速度”。想象一下，汽车在行驶过程中，速度是不断变化的。导数就像一个“瞬间速度计”，能够告诉我们在任何一个精确的时间点，汽车的速度是多少。我们将学习如何计算导数，并理解导数在几何上的意义——它代表了函数图像在某一点的“斜率”，也就是曲线的瞬时变化率。 瞬时变化率的直观理解： 用汽车的速度、水流的速度来类比导数的概念。 切线斜率的几何解释： 理解导数如何帮助我们找到曲线在任意一点的切线，并描述切线的倾斜程度。 导数的应用初探： 简要介绍导数在判断函数增减、求极值等方面的初步作用。 第四章：积分——累积的力量 在导数帮助我们分析“变化”的同时，积分则致力于“累积”。想象一下，你想要计算一段不规则曲线下方的面积，或者计算一个不均匀物体的总质量。积分就像一个“累加器”，它能够将无数个微小的部分累积起来，得到一个整体的结果。我们将学习积分的符号和基本思想，理解它与导数之间的“互逆”关系，这被称为微积分的基本定理，是整个微积分体系的核心。 面积累加的思路： 通过将曲线下的区域分割成无数个小矩形，然后将它们的面积相加，来理解积分的思想。 “累积”的应用： 了解积分如何计算不规则形状的面积、体积，甚至解决物理学中的功、质量分布等问题。 积分与导数的联系： 理解积分是如何“撤销”导数的作用，以及这种联系的深远意义。 第五章：微积分的应用——数学的力量 微积分并非仅仅是抽象的数学理论，它渗透在我们生活的方方面面，是现代科学技术和社会发展的重要驱动力。在本章，我们将通过一些生动有趣的例子，展示微积分的强大应用。无论是物理学中对运动规律的精确描述，经济学中对市场变化的预测，还是工程学中对复杂结构的优化设计，微积分都扮演着不可或缺的角色。 物理世界中的微积分： 了解牛顿如何用微积分来描述万有引力定律和运动定律。 经济学中的微积分： 探索如何用微积分来分析成本、收益和利润的最大化问题。 工程设计中的微积分： 简要介绍微积分在桥梁建造、飞机设计等领域的应用。 数据分析与机器学习的萌芽： 提及微积分在处理大量数据、建立预测模型中的基础作用。 《微积分启迪：从零开始的函数世界》旨在为读者建立一个扎实而直观的微积分初步认知。本书强调理解而非死记硬背，鼓励读者在实践中探索，在应用中体会数学的美妙。希望通过这本书，你能点燃对数学的兴趣，发现微积分在认识和改造世界中的无穷力量。

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坦白说，我过去尝试过好几本高数辅导书，大多逃不过“虎头蛇尾”的命运，开头部分讲得头头是道，等到进入核心的微分方程或者多元微积分时，就变得敷衍起来，很多关键的技巧点一带而过。然而，这本书的处理方式简直是教科书级别的细致。我印象最深的是它对拉格朗日乘数法的讲解。它不仅给出了标准的公式推导，还特别增加了一个“误区警示”栏目，指出了初学者在处理约束条件边界时容易忽略的细节。这种对细节的执着，体现了作者深厚的教学功底和对学生学习痛点的精准把握。而且，书中精选的例题区分度极高，从基础巩固型到竞赛拔高型，难度跨度非常合理。每道例题的解析都详尽到令人发指的地步，连每一步运算符号的选取，甚至括号的使用习惯，都有明确的提示，这对于追求严谨的理工科学生来说，简直是福音。这本书与其说是复习资料，不如说是一本“防错指南”，能有效避免我在考试中因为粗心而丢分。

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这本书的阅读体验非常流畅，这在数学专业书籍中是相当难得的。作者的叙事风格非常口语化，但绝不失学术的严谨性。它不像某些著作那样，充满了晦涩难懂的术语和绕口的从句结构，读起来常常需要反复查阅，耗费大量的精力在理解句子本身上。相反，它更像是一位循循善诱的导师，用清晰、富有逻辑的语言，将复杂的数学原理层层剥开。特别是书中对证明方法的分类介绍，我从未在其他地方见过如此清晰的框架。它把“反证法”、“构造法”、“数学归纳法”等几种主要的证明思路，单独拎出来进行对比分析，并且针对每种方法，都配上了至少两个不同领域的应用实例。这极大地拓宽了我的解题思路，让我意识到，数学的不同分支之间其实存在着共通的思维模式。读完这一部分，我感觉自己的“数学肌肉”得到了有效锻炼，对解决全新问题时，不再感到无从下手。

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这本书给我最大的感受是它的“整体性”和“系统性”。很多辅导材料都是零散地介绍各个章节的知识点，学完一个就忘了另一个，知识点之间缺乏联系。但这本书显然是从宏观上构建了一张知识网络。它在每一章的开头，都会有一个简短的“承上启下”部分，明确指出本章内容将如何建立在前期学过的内容之上，以及它将为后续章节做哪些铺垫。这种结构设计，极大地帮助我建立了高数知识体系的全景图。例如，在讲解多元函数微分学时，作者特意回顾了单变量函数链式法则的本质，然后自然地推广到更高维度，这种前后呼应，使得知识不再是孤立的珍珠，而是被串联起来的精美项链。它让我不再死记硬背公式，而是理解了它们之间的内在逻辑联系，从而在面对复杂的综合题时，能够自信地提取所需工具并灵活运用，这对于提高我的综合解题能力具有不可估量的价值。

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这本号称“深度解析”的数学教材，从拿到手的那一刻起，我就感到它和市面上那些千篇一律的习题集有着本质的区别。首先，它的排版设计就非常用心，不是那种冷冰冰的公式堆砌，而是通过巧妙的图示和分栏布局，引导读者的视线自然地流向重点。比如，在讲解向量空间时，作者并没有直接抛出定义，而是先用一个非常生动的几何模型作为引子，让我这个原本对抽象概念感到头疼的人，瞬间抓住了问题的核心。更让我惊喜的是，它对“为什么”的阐述远超“是什么”。很多经典定理的证明过程，都被拆解成了若干个小步骤，每一步的逻辑衔接都清晰可见，仿佛一位经验丰富的大师在我耳边娓娓道来，而不是冷漠地呈现一个既定事实。特别是那些容易混淆的概念，比如“收敛”与“一致收敛”，书中不仅给出了严格的数学区分，还配上了直观的对比图，让我彻底明白了两者在函数族上的本质差异。这本书的价值，绝不仅仅在于提供了一堆解题技巧，它更像是为你打开了一扇通往数学思维大门的窗户，让你学会如何去“想”数学问题，而不是仅仅“做”数学题。

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我特别关注这本书在处理“历史背景和思想演变”上的处理方式，因为我总觉得，脱离了历史背景的知识是枯燥的。这本书在这方面做得非常出色，它并没有将这些内容变成冗余的“花边新闻”，而是巧妙地将它们融入到知识点的讲解之中。比如，在介绍微积分的“极限”概念时，书中简要回顾了牛顿和莱布尼茨在发展微积分初期遇到的困惑，以及后人如何通过$epsilon-delta$语言来规范这一概念。这种“追本溯源”的方式，不仅让我对极限的定义有了更深刻的理解，也让我对数学的求真精神产生了由衷的敬佩。更妙的是，书中为那些对理论深度有更高要求的读者，设置了“进阶探究”的板块，用更现代的理论视角重新审视基础概念。这使得这本书可以满足不同层次读者的需求，无论是准备应付期末考试的基础学生，还是希望为后续研究打下坚实基础的佼佼者，都能从中受益良多，而不是被单一的难度束缚。

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