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出版者:东方出版中心

作者:文竹

出品人:

页数:224 页

译者:

出版时间:2003年8月1日

价格:12.0

装帧:平装

isbn号码:9787801860774

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跨越边界：高中代数以外的数学探秘之旅 图书名称：高中代数常用解题方法（此简介不涉及该书内容） --- 书籍导读：数学思维的广阔疆域 本书并非聚焦于高中代数中那些已臻成熟的解题技巧和公式应用，而是旨在拓宽读者对数学学科更深层次理解的视野。我们深信，数学的魅力远超课本的范畴，它是一门关于逻辑、结构与抽象的艺术。本书将带领读者跳出代数框架的舒适区，进入一个由数论的奇妙世界、几何的直观美感、概率论的随机性与统计学的应用价值共同构筑的全新领域。 第一部分：数论的古老回响与现代应用 在高中代数中，我们主要关注实数和复数的运算和函数性质。然而，当我们转向数论，探讨的则是整数集合本身蕴含的深刻结构。本书将深入剖析模运算（Modular Arithmetic）——这是一种在代数中常被视为工具，但在数论中却是核心研究对象的运算体系。我们将探究欧几里得算法在寻找最大公约数中的精妙之处，并进一步引申至扩展欧几里得算法，理解它在求解线性同余方程中的关键作用。 更进一步，我们将揭示中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）的强大威力，展示如何利用这一看似古老的定理，高效地解决涉及多个模数的复杂系统问题，这种思想在现代密码学，尤其是RSA加密算法的底层逻辑中占据着核心地位。我们不会停留在计算层面，而是会探讨素数（Prime Numbers）的分布规律，例如梅尔森猜想（Mersenne Conjecture）和孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture）所代表的，数学家们对自然界最基本构件的永恒追问。通过这些探讨，读者将体会到，整数世界充满了尚未被完全破解的谜团，这与代数中许多已定论的知识点形成了鲜明的对比。 第二部分：几何学的重生：从欧几里得到非欧空间 高中数学通常侧重于平面直角坐标系下的解析几何，用代数语言来描述曲线。本书将把焦点转向纯粹的几何结构，并引导读者体验从平面到空间，乃至更高维度的思维转变。 我们将从欧几里得几何的基础公理出发，但重点将放在理解这些公理体系的完备性与局限性上。随后，我们将大胆地跨越传统边界，介绍非欧几何（Non-Euclidean Geometry）。读者将学习双曲几何和椭圆几何的基本概念，理解为什么在某些空间中，经过一点有一条且仅有一条直线与已知直线平行（双曲几何），或者根本没有平行线（椭圆几何）。这种对空间认知的颠覆，是培养几何直觉和抽象思维的绝佳途径。 此外，本书会触及拓扑学（Topology）的入门概念。拓扑学，有时被称为“橡皮泥几何学”，它关注的是在连续变形下保持不变的性质。我们将通过著名的莫比乌斯带（Möbius Strip）、克莱因瓶（Klein Bottle）等经典案例，探讨连通性、可定向性等概念，展示如何用几何的语言来描述物质的内在属性，而这些概念在代数工具中是难以直接捕捉的。 第三部分：概率与统计：量化不确定性 代数课程对随机现象的处理往往非常基础。本书将深入概率论的核心，探讨如何严谨地量化“不确定性”。我们将从概率的公理化定义入手，确保读者对随机事件的描述建立在坚实的理论基础之上。 重点内容将包括随机变量的类型划分（离散型与连续型），以及它们对应的概率分布函数。我们将详细解析高中阶段很少触及的关键分布：二项分布（Binomial Distribution）的严格推导、泊松分布（Poisson Distribution）在描述稀有事件发生频率时的适用性，以及正态分布（Normal Distribution）作为自然界中最常见分布的深远意义。 在统计学部分，我们将超越简单的平均数和中位数，探讨统计推断（Statistical Inference）的基本框架。这包括大数定律（Law of Large Numbers）和中心极限定理（Central Limit Theorem），它们是连接有限样本与无限群体的桥梁，也是现代科学研究中进行预测和决策的理论基石。读者将学会如何批判性地看待数据，理解置信区间和假设检验背后的数学原理，而非仅仅套用公式。 第四部分：离散数学的结构之美 不同于代数处理连续变化量，离散数学关注的是可数、分离的结构。这是现代计算机科学和逻辑学的基石。本书将介绍图论（Graph Theory），这是一种研究对象之间关系的强大工具。我们将分析欧拉路径和哈密顿回路问题，这些问题不仅是经典的智力挑战，更是优化路线规划、网络设计的基础。 此外，我们还将触及组合学的基本原理，超越简单的排列组合公式，探讨鸽笼原理（Pigeonhole Principle）的巧妙应用，展示如何用极少的计算来证明某些结构必然存在。 结语：走向更广阔的数学视野 本书旨在激发读者对数学各个分支的探索热情。代数是工具，但数论、几何、概率和离散结构才是数学学科的广袤领土。通过对这些领域的初步涉猎，读者将培养出更强的抽象思维能力、更灵活的问题解决策略，以及对世界运行规律更深刻的数学洞察力。这是一次从“如何解题”到“如何思考”的转变之旅。

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这本《高中代数常用解题方法》的封面设计得相当朴实，甚至有点过时，但内容绝对是实打实的干货。我拿到书后立刻翻阅，发现它对于一些经典难题的处理思路讲解得极为透彻。特别是关于二次函数图像的平移和翻转那一块，作者没有仅仅停留在公式的罗列，而是结合了大量的几何直观去解释，这对于我这种比较依赖图像理解的学生来说，简直是福音。书中不仅包含了高中阶段所有核心的代数知识点，比如函数、数列、三角函数，还深入到了一些竞赛级别的技巧，比如韦达定理的灵活运用、均值不等式的变形使用等等。我特别欣赏它章节之间的逻辑衔接，不是孤立地讲解每个知识点，而是通过解题步骤的串联，展示出知识是如何融会贯通的。读完第一章，我立刻感觉自己在面对选择题时，那种“无从下手”的感觉少了很多，取而代之的是一种清晰的路径规划感。如果说有什么可以改进的地方，可能就是印刷的字体可以再大一些，毕竟长时间看公式还是有点费眼神的。总体而言，这是一本值得反复研读的工具书，它教给我的不只是“怎么做”，更是“为什么要这么做”的底层逻辑。

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我本来以为这本书会是一本枯燥乏味的公式大全，毕竟“常用解题方法”这个书名听起来就比较教科书化。然而，实际阅读体验却出乎意料的流畅。作者的叙事风格非常幽默且富有人情味，读起来完全没有压力。比如，在讲解排列组合的“插空法”时，他没有用那些晦涩的数学语言，而是用了一个非常生活化的比喻，让我瞬间就理解了“空位”在组合数学中的关键作用。这本书最让我震撼的是它对“换元法”的专题剖析。它细致地分析了在不同情况下应该选择哪种类型的换元，比如三角换元、对数换元，甚至还涉及到了涉及到复数的隐性换元。这些内容远远超出了我们学校课堂上教授的深度，但讲解的难度却控制得恰到好处，让人感觉高深莫测的知识点也变得触手可及。我用了这本书的几套例题来针对性训练，发现以前总是卡壳的解析几何大题，现在居然能顺畅地写出第一步和第二步的转化。它更像是一位经验丰富的老教师在你耳边耐心指导，而不是一本冷冰冰的参考资料，这种代入感极强。

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我对市面上大多数代数辅导书的共同不满是，它们往往只关注“怎么在考试中得分”，而这本书却更注重数学思维的培养。它在每一章的开头都设置了一个“思想导入”部分，这部分内容通常与代数计算无关，而是探讨一种更高层次的数学哲学，比如“化归与转化”思想在代数问题中的体现。这种引入方式，使得原本枯燥的公式学习变得富有启发性。我尤其喜欢它对“构造函数法”的处理。作者没有将构造函数视为一个孤立的技巧，而是将其置于函数和不等式理论的宏大背景下进行阐述，解释了为什么“构造”是解决数学问题的核心手段之一。书中提供的范例选材非常精妙，很多都是历年高考中那些看似需要高深技巧，实则可以通过巧妙构造来简化的题目。读完这些章节，我不再害怕看到需要“构造”的题目，反而会主动去寻找可以构造的切入点。这本书让我体会到，代数不仅是计算，更是一种优雅的思维艺术。

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这本书的结构安排，简直是为我这种偏科生量身定做的。我数学中最薄弱的环节一直是解析几何，尤其是涉及圆锥曲线的综合问题，总感觉像是在云里雾里摸索。但《高中代数常用解题方法》在解析几何这一部分，用了大约三分之一的篇幅专门讲解了“点差法”和“弦长公式”的推导及其在求定点、定值问题中的应用。它不是直接给出结论，而是从基础的直线方程和距离公式出发，一步步推导出复杂的结论，让读者清晰地看到每一步数学推导背后的几何意义。更重要的是，书中提供的那些“陷阱提醒”非常精准。它会明确指出哪些常见的代数运算错误会导致最终结果偏离，比如在进行平方运算时忽略了正负号的讨论，或者在对方程进行约分时误删了特定范围的解。这种对细节的关注，让我养成了更为严谨的解题习惯。我用了这本书一个月，感觉我的解题准确率提升了至少百分之十五，特别是那些需要复杂代数变形的题目，我现在有信心去处理它们了。

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坦率地说，这本书的排版和封面设计确实不符合当代审美，拿到手的时候我差点把它放回去。但是，内容上的扎实程度，让我必须承认这是一本被外表耽误的绝世好书。我最欣赏的是它对“数列求和”的系统梳理。传统的教材往往只介绍了等差、等比数列的求和公式，顶多再加上错位相减法。而这本书则完整地梳理了“裂项相消法”的各种变体，比如利用对数性质构造的裂项，以及利用三角函数公式转换的裂项。作者还贴心地制作了一个“求和方法速查表”，将不同的数列类型和对应的最佳求和策略并列展示，方便考前快速复习和查漏补缺。它对于初学者不太友好，因为它假定读者已经掌握了最基础的代数知识，所以开篇略显跳跃。但对于那些已经学完一遍教材，希望冲击高分的学生来说，这本书无疑是锦上添花的存在。它提供的不仅仅是方法，更是一种对代数知识体系的深度重构，让我对高中代数有了前所未有的全面理解。

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