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出版者:北京航空航天大学出版社

作者:周家胜

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2000-9-1

价格:14.00元

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787810127608

丛书系列:

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《数学的基石：探寻抽象与结构的严谨之美》 本书旨在为广大数学爱好者、相关专业学生以及希望提升抽象思维能力的读者，构建一座通往数学世界深邃之美的桥梁。我们不聚焦于特定分支的庞杂理论，而是力求展现数学这门学科最核心、最普遍的思考方式与逻辑框架，揭示其作为一切科学基石的独特魅力。 开篇：数学思维的启蒙——从具体到抽象的飞跃 学习任何一门学科，首要的都是理解其独特的认知模式。数学，作为一种高度抽象化的语言和工具，其精髓在于如何从纷繁复杂的现象中提炼出本质的规律，并用精确的符号和逻辑进行表达。本书的第一部分，将引导读者穿越由具体概念组成的迷雾，逐步攀登至抽象思维的高地。 我们将从一些直观易懂的例子入手，例如集合的概念。集合并非仅仅是“东西的堆砌”，它本身蕴含着“归属”这一核心关系，以及“同等”与“包含”等一系列逻辑判断。我们会探讨如何用最简洁的语言定义集合，如何描述集合之间的关系，以及集合运算如何反映现实世界中事物组合与分离的规律。接着，我们将引入关系的范畴。关系，是连接不同对象之间的纽带，从简单的“大于”、“小于”到更为复杂的函数定义，关系构成了数学结构的基本骨架。我们会深入分析关系的性质，如自反性、对称性、传递性等，理解这些性质如何决定了关系的类型，以及它们在构建更复杂数学体系中的重要作用。 在此基础上，我们将进一步探讨函数的概念。函数，是将一个集合的元素映射到另一个集合元素的规则，它是描述变量之间依存关系最强有力的工具。我们不仅会解析函数的定义，还会关注函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，这些性质如同函数的“身份证”，揭示了其内在的行为模式。通过对函数深入的理解，读者将能更好地把握变化与量之间的微妙联系，为后续更高级的数学学习打下坚实的基础。 第二章：结构的力量——构建逻辑的殿堂 一旦掌握了抽象化的思维工具，我们就需要学习如何用这些工具构建有序、严谨的数学体系。本书的第二部分，将聚焦于“结构”这一概念。数学的许多分支，无论是代数、几何还是拓扑，其核心都在于研究不同数学对象的结构。 我们将从最基础的代数结构——群开始。群，是具有特定运算规则的集合，它体现了“封闭性”、“结合律”、“单位元”和“逆元”等简洁而强大的性质。通过理解群的定义和基本性质，读者将能体会到，即使是最简单的运算，在不同的约束下也能展现出惊人的多样性和深刻的规律。我们将举例说明，从整数加法群到置换群，不同的群结构如何反映了不同领域的对称性和变换的本质。 紧接着，我们将目光转向环和域。环，是在群的基础上，引入了另一种运算，并且这两种运算之间存在着分配律等关系。环的引入，使得我们能够处理更丰富的数学对象，例如多项式环、整数环等，它们是代数研究的基石。而域，则是在环的基础上，进一步要求非零元素的乘法也构成一个群，这使得我们能够进行除法运算，极大地扩展了数学的表达能力，例如实数域、复数域等。对环和域的深入理解，将为读者理解线性代数、抽象代数等更高级的数学理论铺平道路。 此外，我们还将触及序结构。序结构，是描述元素之间“大小”或“先后”关系的集合。全序集、偏序集等概念，揭示了事物排序的多种可能性，以及如何在不完全确定的情况下进行比较和推理。例如，字典序、包含序等，都体现了不同场景下的序结构。通过对序结构的探索，读者将能更深刻地理解数学中“比较”这一基本操作的内在逻辑。 第三章：变换的艺术——探索空间的动态之美 数学不仅仅是静态的结构描述，更包含了对运动、变化和转化的深刻洞察。本书的第三部分，将带领读者领略“变换”的艺术，感受数学中的动态之美。 线性变换，作为变换中最基础也最重要的一种，将是我们的重点。我们将解析线性变换的定义，理解它如何保持向量空间中的“直线”和“原点”。通过对矩阵的初步介绍，读者将能初步理解线性变换在几何上的意义，例如旋转、伸缩、剪切等。我们将探讨线性变换的性质，如叠加性、齐次性，以及如何通过复合变换来描述更复杂的运动。 在此基础上，我们将引入向量空间的概念。向量空间，是所有满足特定规则的向量的集合，它为线性变换提供了发生的舞台。我们将介绍向量空间的基、维度等重要概念，理解它们如何描述空间的“大小”和“自由度”。通过对向量空间的深入理解，读者将能更好地理解物理学中的运动学、力学，以及计算机图形学中的几何变换。 我们还将初步探讨非线性变换。虽然非线性变换的数学描述更为复杂，但它们在描述现实世界中许多现象时必不可少。通过一些直观的例子，例如混沌系统的吸引子，我们将初步感受非线性变换所带来的丰富性和不可预测性。 第四章：度量的智慧——量化与近似的精妙 在抽象的数学世界中，如何“衡量”事物的“大小”和“距离”是至关重要的一环。本书的第四部分，将聚焦于“度量”这一概念，揭示数学如何通过量化和近似来把握世界的精妙之处。 我们将从距离的概念入手。距离，是连接两个点之间的“长度”，它满足非负性、对称性、三角不等式等性质。我们将介绍不同的距离度量，例如欧几里得距离、曼哈顿距离等，理解不同的度量方式如何反映了不同的空间特性。 在此基础上，我们将引出度量空间的概念。度量空间，是具有距离定义的集合，它为我们在集合中进行“测量”提供了可能。度量空间中的收敛、极限等概念，是微积分和分析学的基础，我们将对其进行初步的介绍。 我们还将探讨范数。范数，是对向量“大小”的一种度量，它与距离有着密切的联系。我们将介绍不同的向量范数，例如L1范数、L2范数、无穷范数，理解它们在量化向量“长度”或“能量”时的不同意义。范数在机器学习、信号处理等领域有着广泛的应用。 最后，我们将初步接触“测度”的概念。测度，是对集合“大小”的一种更普适的度量，它能够处理更广泛的集合，例如可测集合。测度理论是概率论、积分理论的基础，我们将通过一些简单的例子，来体会测度在量化“可能性”或“范围”时的强大威力。 结语：开启探索之旅 本书并非要将读者训练成某个特定领域的专家，而是希望通过展现数学思维的核心理念、结构的力量、变换的艺术以及度量的智慧，点燃读者对数学的探索热情。我们相信，一旦读者理解了数学的思考方式，便能以一种全新的视角去审视世界，发现隐藏在现象背后的深刻规律。 《数学的基石》将陪伴您在抽象的海洋中扬帆起航，在逻辑的星空中辨认方向。无论您未来的学习方向如何，本书都将为您打下坚实的思维基础，让您在面对任何数学问题时，都能游刃有余，发现数学之美的无穷魅力。这是一次关于抽象、结构、变换与度量的深度对话，一次对人类理性思维的致敬，也是一次为您开启更广阔数学世界的大门。

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我之前为了准备一个信号处理相关的课程，不得不恶补线性代数知识，手里同时摊着好几本参考书，结果越看越乱，各个版本的表述方式和符号定义都不尽相同，让人抓狂。直到我翻开了《矩阵论引论》，才找到了那种“定海神针”般的感觉。这本书的符号系统异常清晰和一致，从始至终都保持着极高的规范性，这对于跨章节学习和回顾知识点来说至关重要。更值得称赞的是，它对“线性空间”和“线性变换”的讨论，处理得既抽象又具象。它没有止步于向量空间的基和维度的概念，而是着重讲解了变换如何改变空间结构，这种几何直觉的培养，对我理解后续的“相似变换”和“对角化”大有裨益。我尤其喜欢其中穿插的一些历史背景介绍，这让我明白这些数学概念是如何一步步被发展和完善起来的，增加了阅读的趣味性和深度。这本书的厚度足以见得内容的详实，但阅读体验却异常流畅，绝非注水之作。

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作为一名非数学专业的工科生，我曾经认为矩阵论与我的日常工作关系不大，无非是些解方程组的工具。但在阅读了《矩阵论引论》的后半部分，特别是关于矩阵函数和幂级数展开的那一章后，我的看法彻底改变了。作者巧妙地将微积分中的极限和级数概念引入到矩阵运算中，使得像矩阵指数这样的复杂运算有了一个清晰的、可操作的解释。这种跨学科的融合做得非常自然，丝毫没有生硬拼凑的感觉。我发现，理解了矩阵指数后，很多控制理论和微分方程的求解思路都变得清晰可见了。这本书的价值在于，它没有把理论孤立起来，而是不断地在提醒读者：数学工具是相互关联的，它们共同构建了一个描述世界的强大框架。我过去常常跳过那些看起来“太理论”的部分，但现在回过头看，正是那些看似基础的理论，支撑起了整个宏伟的建筑。强烈推荐给所有想把数学知识真正应用到复杂系统建模中的人。

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这不仅仅是一本关于矩阵运算的书，它更像是一本关于“结构”和“关系”的哲学思考入门读物。对于那些习惯于死记硬背公式的学生来说，这本书无疑是一个挑战，因为它强烈要求读者去思考背后的逻辑和联系。我特别注意到它对“正交性”概念的反复强调和多角度阐述。在不同的章节里，正交性以投影、内积、特征向量等不同面貌出现，作者通过精妙的例子，将这些看似分散的概念统一在了“最大程度的独立性”这一核心思想之下。这种深层次的理解，远比记住一堆公式来得有价值。当我开始用“正交”的视角去看待数据分析和优化问题时，眼界一下子就被打开了。我甚至觉得，这本书对培养严谨的数学思维习惯的帮助，超过了其本身教授的具体知识点。它教会我的不是“如何计算”，而是“如何思考矩阵系统中的内在秩序”。

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说实话，我拿到这本书的时候，本来没抱太大期望，毕竟市面上关于这方面的教材太多了，大多都充斥着枯燥的符号和冷冰冰的定义。然而，这本书的叙事风格却出乎意料地引人入胜。它更像是一位经验丰富的导师在耐心为你梳理知识脉络，而不是一本冰冷的教科书。我对它对“矩阵分解”部分的阐述印象特别深刻。传统的教材往往只是罗列SVD、QR分解的算法步骤，但这本书却深入探讨了这些分解在实际应用中的意义，比如数据压缩和最小二乘问题。它没有回避数学的严谨性，但同时又巧妙地将理论与工程实践的“为什么”结合起来。我特别欣赏它在引入高级概念前所做的铺垫工作，每一个定理的引入都像是水到渠成，让人感觉这个结论必然是这样。阅读过程中，我甚至产生了一种错觉，仿佛这些复杂的矩阵操作不再是高不可攀的数学艺术，而是解决现实世界问题的强大工具箱里的必备利器。如果你是那种需要“知其所以然”的学习者，这本书绝对能满足你的求知欲。

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天呐，这本《矩阵论引论》简直是数学学习道路上的指路明灯！我记得我刚开始接触线性代数那会儿，感觉那些向量、矩阵的运算就像是天书一样，抽象得让人头疼。特别是涉及到特征值和特征向量的时候，我常常陷在那些复杂的推导和几何意义的理解中无法自拔。这本书最棒的地方在于，它没有直接把我扔进那些艰深的理论深渊里，而是用一种非常亲切、循序渐进的方式，把基础概念掰开了揉碎了讲。作者似乎非常理解初学者会遇到的困惑点，总能在关键时刻提供非常直观的例子或者类比。比如，讲解行列式的时候，它不仅讲了计算方法，还用非常生动的语言描述了它在几何上代表的“缩放因子”或“定向性”，这一下子就让我明白了为什么我们要费劲去算那个数字。那种豁然开朗的感觉，简直比做对了一道难题还让人兴奋。这本书的排版也非常舒服，公式和文字的穿插恰到好处，不会让人产生阅读疲劳。我强烈推荐给所有还在为线性代数挠头的朋友们，相信我，它能帮你建立起一个坚实可靠的理论基础，让你在后续更深入的学习中如鱼得水。

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还不错~~

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陈祖明老师的认真和仔细，让我很是惭愧啊

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陈祖明老师的认真和仔细，让我很是惭愧啊

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还不错~~

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