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出版者:复旦大学出版社

作者:

出品人:

页数:210

译者:

出版时间:1997-05

价格:7.00

装帧:平装

isbn号码:9787309014419

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 矩阵
• 向量
• 行列式
• 特征值
• 特征向量
• 线性方程组
• 向量空间
• 数学
• 高等数学

《几何的语言：理解万物的结构与关联》 在这本《几何的语言：理解万物的结构与关联》中，我们将一同踏上一段探索宇宙最根本秩序的旅程。本书并非旨在教授枯燥的公式与抽象的定理，而是力图揭示几何学作为一种深刻而普适的“语言”，如何塑造我们周围的世界，以及如何帮助我们理解从微观粒子到宏观星系的万事万物。 我们将从最直观的形状和空间入手，观察点、线、面如何构建起我们感知的现实。从古希腊时期对完美的几何形态的赞颂，到文艺复兴时期艺术家们如何运用透视法来模拟三维空间，我们都能看到几何学在人类文明发展中扮演的关键角色。本书将带您领略不同文化背景下几何学的独特视角：古埃及人如何利用几何学进行土地测量和金字塔建造，中国古代的数学家们如何探索勾股定理的普遍性，以及伊斯兰文明如何将几何图案发展成一种极致的艺术形式。 本书的核心在于展示几何学不仅仅是关于静态图形的描述，更是关于“关系”和“变化”的洞察。我们将深入探讨向量的概念，理解它们如何代表方向和大小，以及它们如何成为描述运动、力场和空间变换的强大工具。您将了解到，在物理学中，向量是解释牛顿定律、电磁学甚至相对论不可或缺的基石。我们还会审视矩阵，它们不仅仅是数字的表格，更是理解线性变换、数据分析和计算机图形学的关键。从图像的缩放、旋转到复杂的模拟，矩阵都在幕后默默工作。 此外，《几何的语言》还将带领您进入更抽象但同样至关重要的领域。我们将探讨空间维度，理解我们所处的三维世界以及更高维度存在的可能性。您会发现，这些抽象概念并非空中楼阁，它们在量子力学、宇宙学等前沿科学研究中有着实际的应用。本书还将触及拓扑学，这门研究物体在连续变形下不变性质的学科，它让我们看到，即使形状千变万化，其内在的“连通性”和“洞”的数量却可能是永恒的。 本书的叙述将紧密结合实际应用，让您看到几何学的力量如何渗透到我们生活的方方面面。您将了解： 建筑与设计： 从古罗马的拱券到现代摩天大楼，几何学是结构稳定性和美学和谐的基础。本书将分析著名的建筑案例，揭示其中蕴含的几何原理。 艺术与创作： 探索黄金分割、斐波那契数列在绘画、雕塑和音乐中的应用，理解它们如何唤起视觉和听觉上的愉悦感。 工程与技术： 了解计算机辅助设计（CAD）软件如何运用几何建模，以及机器人如何利用空间几何学进行导航和操作。 数据科学与机器学习： 探讨如何使用几何学的概念来可视化和理解高维数据，以及在算法优化中的作用。 自然界的规律： 从雪花的对称性到蜂巢的六边形结构，再到行星的轨道，自然界本身就是一部充满几何智慧的史书。 《几何的语言：理解万物的结构与关联》旨在激发您的好奇心，培养您的空间想象力和逻辑思维能力。通过丰富的插图、生动的案例和循序渐进的讲解，我们将一起揭示几何学作为理解世界的一门通用语言的独特魅力。无论您是学生、工程师、艺术家，还是任何对世界运行方式感到好奇的人，本书都将为您提供一个全新的视角，让您以更深刻、更系统的方式去认识和欣赏我们所生活的这个由形状、结构和关联构成的宇宙。准备好，让我们一起用几何学的眼睛，重新发现世界的奥秘。

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这本书的封面设计相当朴实，没有过多的花哨装饰，一本厚实的教科书，散发着一股知识沉淀的厚重感。当我翻开第一页，看到那整齐排列的公式和符号时，一股既熟悉又陌生的感觉涌上心头。熟悉是因为高中数学课上就曾接触过一些概念，陌生则是因为这里的严谨和深度远超我的想象。第一章的向量空间，一开始就给出了抽象的定义，与我习惯的具象化思维有些出入。我花了很长时间去理解“向量”这个概念的广义性，它不仅仅是地理上的箭头，更可以代表一个城市的房价，一支股票的走势，甚至是函数的集合。书中通过大量的例子来解释这些抽象的概念，但即便如此，我还是会时不时地停下来，反复阅读，甚至在脑海中绘制出一些图形来辅助理解。矩阵的概念也是如此，它不仅仅是数字的方阵，更是线性变换的载体。我尝试着去理解矩阵乘法背后的几何意义，每一次乘法都对应着一次旋转、缩放、或者剪切。虽然过程有些烧脑，但当我成功地将一个复杂的几何变换分解为一系列简单的矩阵运算时，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这本书并没有回避复杂的证明，相反，它鼓励读者去追溯每一个结论的来源。有些证明过程冗长而精妙，需要耐心和细致，但也正是在这个过程中，我对数学的逻辑严谨性有了更深刻的认识。我曾因为一个微小的符号错误而不得不重新审视整个证明，这让我明白了数学的精确性是多么重要。这本书就像一位循循善诱的老师，它不会直接告诉你答案，而是引导你去发现问题，去思考，去探索。它教会我的不仅仅是解题技巧，更是数学思维方式，一种严谨、逻辑、抽象的思考模式。

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这本《线性代数》的排版风格我非常喜欢。清晰的字体，合理的段落划分，以及关键公式和定理的醒目标注，都极大地提升了阅读体验。我一直认为，一本好书不仅在于内容，更在于其呈现方式。对于像线性代数这样理论性较强的学科来说，良好的视觉呈现尤为重要。书中对于每个定理的表述都力求简洁而准确，没有丝毫的冗余。而定理的证明部分，则是一环扣一环，逻辑链条清晰可见。我尤其欣赏作者在讲解过程中，会适时地穿插一些历史背景或者现实应用，这使得枯燥的公式和理论变得生动起来。例如，在讲解特征值和特征向量时，作者就提到了它们在图像压缩、主成分分析等领域的广泛应用，这让我瞬间觉得学习线性代数不再是纯粹的理论推导，而是与现实世界紧密相连的工具。书中对线性方程组的讲解也是深入浅出，从高斯消元法到LU分解，每一种方法都配有详尽的步骤和图示，即使是初学者也能按部就班地掌握。我曾经尝试过手工解一些大型的线性方程组，过程确实繁琐，但通过学习这些高效的算法，我明白了计算机求解线性方程组的原理，也体会到了算法的魅力。而且，书中并没有止步于基本的解法，还进一步探讨了方程组解的性质，如唯一解、无穷多解、无解等情况，这让我的理解更加全面和深入。在学习过程中，我发现一些概念之间存在着微妙的联系，作者巧妙地将这些联系一一揭示出来，让我感觉像是解开了一个个谜题，充满了成就感。

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这本书的深度和广度都让我印象深刻。它不仅仅讲解了基础的向量、矩阵运算，还深入探讨了线性变换的性质、特征值与特征向量的应用、以及内积空间和酉空间等更高级的概念。我特别喜欢书中关于“相似矩阵”的讲解。它让我明白了，即使是不同的矩阵表示，如果它们描述的是同一个线性变换，那么它们之间就存在着相似关系。这个概念在理解矩阵的对角化过程中起到了至关重要的作用。作者还详细讲解了“谱定理”，它揭示了对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质，这在很多工程和物理问题中都非常重要。我尝试着去理解对称矩阵为什么总是可以对角化，并且其特征向量可以构成一组正交基。这种深刻的数学洞察力，让我对数学产生了由衷的敬畏。此外，书中还简要介绍了线性代数在数值计算中的应用，比如QR分解、SVD分解等，这些都是非常强大的工具，能够解决许多实际问题。这本书让我感觉，线性代数是一个非常庞大且精妙的数学体系，它有着深厚的理论基础和广泛的应用前景。

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老实说，一开始拿到这本书的时候，我有些担心，因为我之前的数学基础不算特别扎实，尤其是在高等数学方面。但这本书的开篇部分，作者并没有上来就抛出复杂的定义，而是从一些相对具象的例子入手，比如生活中的商品价格变化，交通流量分析等，来引入向量和向量组的概念。这种循序渐进的方式让我感到很亲切，也更容易建立起初步的理解。我特别喜欢书中那些“思考题”和“练习题”，它们的设计非常巧妙，很多题目都能触及到核心概念，并且难度梯度设置得也比较合理。我常常会在做完例题后，尝试去做几道练习，即使一开始做不对，反复琢磨题目和答案的联系，也能加深对知识点的记忆和理解。书中的图形和插图也起到了很大的辅助作用，尤其是在解释线性变换和子空间的时候，直观的图形能够帮助我摆脱抽象概念的束缚，形成更清晰的图像化思维。我记得在学习“基”和“维度”的概念时，书中就用了三维空间的坐标系作为类比，让我很快就理解了抽象空间的“大小”和“方向”的意义。虽然我还没有完全掌握所有内容，但这本书已经成功地激发了我对线性代数这门学科的兴趣。它让我意识到，数学并非只有冷冰冰的公式，也可以充满着逻辑的美感和实际的应用价值。我开始期待，继续深入学习下去，去探索更多未知的领域。

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这本书的逻辑严谨性是我最看重的一点。在学习过程中，我很少遇到前后矛盾或者推导不严谨的地方。作者对于每一个概念的引入，都力求做到前有铺垫，后有呼应。我尤其喜欢书中对“行列式”的讲解。行列式的几何意义，即它表示了线性变换对空间体积的缩放比例，这一点让我印象深刻。通过行列式，我能够直观地理解矩阵的性质，例如，当行列式为零时，表示线性变换会把空间“压扁”，从而导致方程组的解不唯一或者无解。书中还讲解了如何利用行列式来求解线性方程组（克莱姆法则），虽然在实际计算中效率不高，但它提供了一个理解解的来源的视角。我花了很多时间去理解“矩阵的逆”，它代表了与原线性变换“相反”的变换，能够将变换后的向量“还原”回去。理解了逆矩阵的存在条件和计算方法，也让我对线性方程组有了更深的理解。这本书让我明白，数学的学习是一个不断深入和精炼的过程，只有掌握了严谨的逻辑推理，才能真正理解数学的本质。

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这本书给我的最大感受就是“条理清晰”。从第一章的向量空间，到后面的线性变换、特征值与特征向量，整个知识体系的构建非常完整，前后呼应，层层递进。我非常喜欢书中每个章节末尾的“小结”，它们能够帮助我快速回顾本章的关键内容，巩固所学。而且，作者在讲解新概念时，往往会先给出直观的解释，再引入抽象的数学定义，这种方式非常适合我这种需要先理解“是什么”再理解“为什么”的学习者。我尤其对书中关于“对角化”的部分印象深刻。它将一个复杂的矩阵运算，通过寻找合适的基，转化为简单的对角矩阵运算，极大地简化了问题的解决。我尝试着去理解为什么对角化能够实现这样的简化，它背后的数学原理是什么。书中通过特征值和特征向量的讲解，让我明白了对角化与矩阵本身的性质是紧密相关的。而且，作者还给出了对角化的应用，比如求解高阶线性递推关系，这让我看到了理论知识转化为实际解决问题的力量。这本书并没有因为追求严谨而牺牲可读性，相反，它用一种非常友好的方式，将复杂的线性代数知识呈现出来。

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这本书的内容非常扎实，每个知识点都讲解得细致入微，尤其是对于一些容易出错或者容易混淆的概念，作者都会给出特别的提示和详细的解释。我发现，很多时候，我们学习数学遇到的困难，并不是因为题目本身有多么难，而是因为对基础概念的理解不够透彻。这本书恰好解决了这个问题。例如，在讲解“矩阵的秩”时，作者不仅给出了定义，还详细阐述了秩的几种不同计算方法，并且分析了每种方法的优缺点。同时，它还解释了为什么秩会影响线性方程组的解的存在性和唯一性。我曾花了好几个小时去理解“基”的概念，它不仅仅是向量的集合，更是描述整个空间“骨架”的关键。理解了基，就等于理解了这个空间的基本“语言”。书中对“核空间”和“像空间”的讲解也让我受益匪浅。我理解了线性变换是如何将一个向量空间“映射”到另一个空间的，而核空间和像空间则是这个映射过程中的两个重要“留痕”。这些概念虽然抽象，但在作者的笔下，逐渐变得清晰起来。我开始意识到，线性代数不仅仅是关于数字和公式，更是关于空间、变换和映射的本质。

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这本书在讲解一些抽象概念时，非常善于利用类比和几何直观。我记得在学习“内积空间”的时候，作者并没有直接给出复杂的定义，而是先从熟悉的欧几里得空间中的点积入手，然后逐渐推广到更一般的内积空间。通过对向量“长度”和“夹角”的推广，我逐渐理解了内积所蕴含的几何意义。书中还用大量的图形来辅助讲解“正交”的概念，让我明白，正交向量就像是空间中互相独立的“轴”，它们构成了空间的基本“坐标系”。而“正交基”的存在，更是大大简化了许多计算。我花了很多时间去理解“最小二乘法”，它在解决超定方程组时非常有用，尤其是在拟合数据的时候。书中通过几何的视角，解释了为什么最小二乘法能够找到“最接近”的解，它是在“像空间”中寻找距离最近的向量。这种几何化的解释，比单纯的代数推导更容易被我接受。我也体会到，线性代数在数据科学、机器学习等领域有着广泛的应用，很多复杂的算法底层都依赖于线性代数的原理。这本书让我看到了数学理论与实际应用的桥梁。

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这本书在理论的严谨性上做得非常到位，对于每一个定义、每一个定理，都给出了清晰的描述和严格的证明。我以前学习数学的时候，有时会觉得很多结论是“已知”的，但这本书让我能够追溯到这些结论的根源。它让我明白了，数学的每一个分支，每一个概念，都是建立在前人的智慧和严密的逻辑推理之上的。我特别欣赏书中对于“线性无关”和“线性组合”的讲解。一开始，我对这两个概念总是混淆不清，但作者通过反复的推导和不同角度的阐释，让我最终理解了它们的核心区别和联系。我花了很多时间去理解“张成”这个概念，它不仅仅是几个向量的简单叠加，而是描述了一个向量空间中所有可能的线性组合所能达到的“范围”。这让我对向量空间有了更深刻的认识，它不仅仅是点的集合，更是一个由基向量“张成”的“区域”。书中还详细讲解了“秩”的概念，并将其与线性方程组的解的情况联系起来，让我理解了方程组有多少“自由度”。这些看似抽象的概念，在作者的引导下，逐渐变得清晰而有意义。这本书让我体会到，学习数学不仅仅是记忆公式，更是理解公式背后的逻辑和思想。我开始尝试自己去证明一些简单的定理，虽然过程有些笨拙，但每一次成功都让我充满了自信。

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这本书的另一个亮点是其“接地气”的例子。作者没有回避一些在实际应用中非常常见的场景，比如图像处理中的像素矩阵、物理学中的应力张量、经济学中的投入产出模型等等。我特别喜欢书中关于“主成分分析（PCA）”的讲解。它通过对高维数据的降维，来提取数据中最主要的“特征”。我理解了PCA的核心思想就是利用特征值和特征向量来找到数据方差最大的方向，从而实现数据的压缩和可视化。这让我看到了线性代数在数据科学领域的巨大威力。书中还提到了“马尔可夫链”，它利用转移矩阵来描述状态之间的转移概率，这在很多随机过程的建模中非常有用。我尝试着去理解马尔可夫链的稳态分布是如何通过求解一个特殊的线性方程组得到的。这些实际应用的例子，极大地激发了我学习的积极性，让我看到了线性代数不仅仅是抽象的数学理论，更是解决现实世界问题的强大工具。这本书让我觉得，学习线性代数是一件既有挑战性又充满乐趣的事情。

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