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页数:148

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出版时间:2002-7

价格:9.00元

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isbn号码:9787304022495

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• 微积分
• 多元函数
• 数学分析
• 高等数学
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 梯度
• 方向导数

《多元函数微积分》是一本旨在为学习者深入剖析和掌握多变量函数及其微积分概念的著作。本书内容丰富，覆盖了从基础的向量代数到复杂的向量微积分，为读者构建了一个扎实而全面的数学框架。 核心内容概览： 本书的起点是向量与几何。在进入多变量函数的具体分析之前，读者将被引导理解向量在二维和三维空间中的基本运算，包括向量的加减、标量乘法、点积和叉积。这些运算不仅是后续章节的基础，也为理解物理学中的力、速度等概念提供了数学工具。此外，本书还将探讨直线、平面等几何对象在向量表示下的性质，以及它们之间的关系，例如点到直线/平面的距离计算等。 接着，本书将深入多元函数的领域。读者将学习如何定义、描述和可视化多变量函数，包括定义域、值域、等值面等概念。函数的极限与连续性是理解导数的基础，本书会详细阐述多变量函数的极限的定义、计算方法以及与单变量函数在此方面的异同。连续性也同样重要，它保证了函数行为的“平滑性”，是可微性以及后续积分运算的先决条件。 偏导数与方向导数是本书的核心内容之一。读者将学会计算多元函数的偏导数，理解偏导数在几何上代表的切线斜率，以及在实际问题中代表的特定方向上的变化率。方向导数则将这一概念推广到任意方向，使我们能够量化函数在任意方向上的变化速度，并求解函数的最大和最小变化率方向。 梯度、散度和旋度是描述向量场性质的重要工具。本书将详细讲解梯度向量，它指向函数值增长最快的方向，并在优化问题中扮演关键角色。散度则描述了向量场在某一点的“源”或“汇”的强度，揭示了向量场是否具有扩张或收缩的趋势。旋度则衡量了向量场在某一点的旋转趋势，与流体动力学等领域息息相关。 多元函数微分学的另一重要分支是链式法则。对于复合函数，链式法则提供了一种计算导数的方法，使其在解决复杂的函数关系问题时极为有效。高阶偏导数也是本书的重要内容，它们提供了关于函数曲率和形状的更深层次信息，并对泰勒展开等高级概念有所贡献。 隐函数定理与反函数定理是现代数学分析中极为重要的两个定理。本书将以清晰的逻辑和具体的例子解释它们，揭示了在特定条件下，如何将隐函数表示为显函数，以及何时一个函数存在反函数，它们是求解复杂方程组和理解函数局部性质的基石。 多元函数积分学是本书的另一大重点。二重积分和三重积分是将单变量的定积分概念推广到多维空间。读者将学习如何计算二重和三重积分，理解其在计算体积、质量、质心等物理量中的应用。积分区域的变换，特别是雅可比式的应用，是解决复杂积分问题的关键技术，它允许我们将复杂的积分区域转化为更易处理的形式。 线积分与面积分是向量微积分的另一重要组成部分。线积分沿着曲线对函数进行积分，常用于计算功、环量等。面积分则沿着曲面进行积分，常用于计算流量、曲面积分等。 格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理是向量微积分中最具影响力的三大定理。本书将详细阐述这些定理，它们将不同类型的积分（线积分、面积分、体积分）以及导数算子（梯度、散度、旋度）联系起来，揭示了深刻的数学联系，是解决物理学和工程学中各种问题（如电磁场、流体力学）的核心工具。 应用部分是本书的亮点之一。本书将穿插各种实际应用，包括优化问题（如拉格朗日乘数法），曲线和曲面的参数化及其在几何和物理中的应用，以及各种涉及物理量的计算，例如质心、转动惯量、电场强度、磁通量等。 《多元函数微积分》力求以严谨的数学推导和丰富的例证，引导学习者深入理解多变量函数的分析方法。书中不仅包含了必要的理论知识，更注重培养读者解决实际问题的能力，使其能够将抽象的数学概念应用于真实的物理和工程场景。本书适合数学、物理、工程、经济以及其他需要量化分析的学科的学生和研究人员。

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一直以来，我对数学这个学科都抱有浓厚的兴趣，尤其是那些能够揭示自然界深层规律的理论。在接触了单变量微积分之后，我迫切地想要深入了解更高维度的世界，而《多元函数微积分》无疑是打开这扇大门的钥匙。拿到这本书的时候，我首先被其扎实的理论体系所吸引。作者并没有像某些教材那样，将概念堆砌，而是循序渐进地引导读者理解。从最初的向量空间、多变量函数的概念，到偏导数、梯度，再到曲线积分、曲面积分，每一步都衔接得天衣无缝。特别是对于梯度这个概念，书中通过生动的几何解释，让我理解了它作为函数增长最快方向的物理意义，这对于后续理解一些物理学中的重要概念，比如电场、磁场中的势能变化，起到了至关重要的作用。

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对于想要深入理解数学理论的读者，这本书绝对是一部值得反复研读的宝典。它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，引导我一步步探索数学的奥秘。我特别欣赏书中对一些证明的详细阐述，例如关于中值定理在多变量函数中的推广，以及对隐函数定理的证明，这些都极大地提升了我对数学证明的理解能力。

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我一直觉得，学习数学最重要的一点是能够将其与现实世界联系起来。在这方面，《多元函数微积分》做得非常到位。书中的例子大多取材于物理学、工程学等领域，从力学的受力分析到流体动力学的研究，都离不开多元函数微积分的工具。我尤其印象深刻的是关于极坐标系下重积分的计算，以及在三维空间中对物体体积和表面积的求解，这些方法在实际的工程设计中有着广泛的应用。

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这本书的编排结构也非常合理，它遵循了由浅入深的原则，确保了读者在学习过程中的顺畅度。从基础的向量运算到复杂的三重积分，再到向量微积分的精髓，每一步都为接下来的学习奠定了基础。书中对函数的泰勒展开式在多变量情况下的推广，以及其在近似计算中的应用，更是让我看到了数学的魅力所在，它能够用简洁的公式来近似描述复杂的现象。

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这本书在概念的深度和广度上都做得相当出色。它涵盖了从基础的多变量函数到高级的向量分析，其中的每一个章节都经过精心设计，力求让读者能够最大程度地掌握相关知识。例如，在讨论曲线积分时，书中详细介绍了参数方程的应用，以及如何通过参数化来简化积分计算，这对于理解一些复杂的运动轨迹非常有帮助。

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我之前在学习其他数学书籍时，有时会觉得某些概念过于抽象，难以理解。但在这本《多元函数微积分》中，作者运用了大量的几何直观解释，将抽象的数学概念具象化。比如，对曲面积分的解释，通过对向量场在曲面上的“流量”这一概念的剖析，让我对这个看似复杂的概念有了深刻的理解。

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总而言之，这本书是一次非常愉快的学习体验。它不仅仅是传授知识，更是在培养一种数学思维。我从中获得的不仅仅是计算能力，更是对数学这门学科的深刻理解和热爱。即使是像斯托克斯公式和高斯散度定理这样经典的定理，书中也提供了多种不同的证明思路，让我能够从更全面的角度去认识它们。

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这本书在概念的阐述上，有着非常独到的见解。它不仅仅是提供公式和定理，更注重对这些数学工具背后思想的挖掘。例如，在讨论重积分时，书中花了大量的篇幅解释了累次积分的意义，以及如何通过改变积分顺序来简化计算。这不仅仅是技巧的传授，更是数学思维的训练。我尤其喜欢书中关于多重积分在物理应用中的案例，比如计算物体的质量、质心、转动惯量等，这些都让我对抽象的数学概念有了更直观的认识，也让我看到了数学在解决实际问题中的强大力量。

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作为一本涵盖多元函数微积分的著作，它在理论的严谨性和方法的实用性之间找到了一个很好的平衡点。书中不仅讲解了各种积分、微分的计算技巧，更重要的是，它让读者理解了这些技巧背后的数学原理。对我而言，最显著的提升是在处理涉及多个变量的优化问题时，梯度下降法和拉格朗日乘数法的使用变得更加得心应手。

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学习《多元函数微积分》的过程中，我发现这本书非常强调理论的严谨性，但又不失其可读性。作者在引入每一个新概念时，都会给出清晰的定义和必要的证明，这对于希望打下坚实数学基础的读者来说，无疑是一大福音。书中对向量分析部分的处理也尤为出色，格林公式、斯托克斯公式、高斯散度定理这些看似复杂的定理，在作者的层层剖析下，变得清晰易懂。特别是对这些定理的几何意义的解释，让我能够从不同的角度去理解它们，不仅仅是记忆公式，更是理解其内在的逻辑联系。

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