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页数:334

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出版时间:1985-10

价格:22.40元

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isbn号码:9787040012552

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• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 大学教材
• 理工科
• 函数
• 极限
• 微分
• 积分
• 数学分析

深入探索微积分的广阔天地：一部面向应用与严谨的数学著作 书名： 费马的遗产：微积分原理与高等应用 作者： [此处可填入一个富有学术气息的虚构作者名，例如：阿历山大·格林伯格 教授] 出版社： [此处可填入一个专业学术出版社的名称，例如：牛顿科学出版社] --- 内容提要 《费马的遗产：微积分原理与高等应用》并非对基础微积分概念的简单复述，而是旨在构建一座坚实的桥梁，连接经典微积分的严谨理论基础与现代科学、工程领域中的复杂应用。本书的核心关注点在于多元函数微积分、向量分析、级数理论的深度剖析，以及这些工具在解决实际问题时的强大效能。我们力求在保持数学推导的精确性的同时，充分展现微积分思想的内在美感及其在物理世界中的映射。 全书共分为六大部分，涵盖了从多变量函数结构到微分几何初步的广阔领域。 --- 第一部分：多变量函数的几何与分析基础（约300字） 本部分首先对读者已有的一元函数知识进行必要的回顾和提升，迅速过渡到多维空间。我们着重探讨空间向量、曲面参数化表示，并引入方向导数与梯度这一核心概念。梯度不仅被视为函数增长最快的方向，更被赋予了深刻的几何意义——它与等值面的垂直关系是后续优化算法的基石。 紧接着，我们深入研究多重积分。不仅详细阐述了直角坐标系下的积分方法，更将大量的篇幅投入到极坐标系、柱坐标系及球坐标系下的变量替换技巧与应用。重点在于理解坐标系选择对积分计算效率的决定性影响，并通过实例展示如何利用这些变换简化复杂的体积和面积计算。对Fubini定理的严谨证明，确保了对累次积分交换顺序的理论基础。 第二部分：极值理论与优化方法（约250字） 在理解了多变量函数的微分后，本部分聚焦于如何利用这些工具寻找函数的极值。这不仅包括传统的多元函数一阶、二阶偏导数检验法，更重要的是对拉格朗日乘数法的系统性讲解。拉格朗日乘数法被提升到约束优化问题的核心地位，通过对拉格朗日函数的构建和对$ abla g = lambda abla f$的几何解释，使读者深刻理解约束条件下最优解的本质。此外，本部分还引入了Hessian矩阵的性质分析，用于判断临界点的性质（局部最大、局部最小、鞍点），为更高级的非线性规划理论奠定基础。 第三部分：线积分与面积分（约350字） 向量场是连接数学与物理的桥梁，本部分致力于精细刻画向量场的性质及其在曲线和曲面上的积分。 线积分（第一类与第二类）的讲解，不仅关注于计算技巧，更侧重于其物理意义：如计算力场所做的功。在引入保守场和势函数概念时，我们将线积分与路径无关性的判断条件——即 $frac{partial Q}{partial x} = frac{partial P}{partial y}$——置于与路径依赖性的对比之中，凸显了保守场在理论分析中的重要性。 面积分（曲面积分）部分，我们详细讨论了曲面的参数化，以及如何计算通过曲面的流量。这是理解流体力学、电磁学中高斯定律的关键。对格林公式（Green's Theorem）的引入，标志着微积分基本定理的第一次扩展，它将平面区域上的二重积分与边界上的线积分联系起来，揭示了“边界与区域”之间的深刻关系。 第四部分：向量分析的升华——三大积分定理（约300字） 本部分是全书的理论高潮，我们将格林公式推广到三维空间，系统阐述斯托克斯公式（Stokes' Theorem）和高斯散度定理（Divergence Theorem, 或称高斯公式）。 斯托克斯公式将曲面上向量场的旋度（Curl）积分与其所围边界曲线上的线积分联系起来，这是理解旋转、环流、涡旋等现象的数学工具。 高斯散度定理则将一个闭合曲面上的通量（Flux）与曲面所包围区域内向量场散度（Divergence）的体积分联系起来，为理解源和汇的概念提供了坚实的数学框架。我们通过对这些定理的几何推导，展示了它们作为微积分基本定理在更高维度上的统一性。 第五部分：无穷级数与收敛性深度探讨（约200字） 本部分超越了基础的泰勒级数，着重于级数的收敛性理论与函数逼近的精度控制。 幂级数的收敛半径与收敛区间确定是基础，但重点在于函数项级数的一致收敛性。我们详细分析了Weierstrass M检验法及其在判断由函数级数定义的函数连续性、可积性和可微性中的作用。这对于构建和分析复杂的物理模型至关重要。傅立叶级数虽然是独立体系，但其收敛性分析与一般的三角级数处理方法在本章得到了初步的引入与衔接。 第六部分：常微分方程的经典解法与稳定性分析（约150字） 虽然本书并非专门的常微分方程教材，但考虑到高等数学工具的直接应用，本部分精选了若干重要的解析解法，特别是针对那些在物理学中频繁出现的方程。我们涵盖了高阶线性常系数非齐次方程的解法，并简要介绍了常数变易法。最后，我们引入了对解的定性分析的概念，探讨了线性系统（如$y'=Ay$）的特征值与解的长期行为（稳定性）之间的关系，作为对后续动力系统分析的预备知识。 --- 本书特色 1. 严谨性与直观性的平衡： 每一项核心定理（如中值定理、积分定理）的证明都力求完整和严谨，但同时配有丰富的几何图解和物理背景，帮助读者建立直观理解。 2. 强调计算工具的适用性： 针对工程和物理背景的读者，书中包含了大量关于如何选择最有效坐标系、如何利用对称性简化计算的“策略性”讨论。 3. 理论的连续性： 本书的章节设计遵循了从一维到多维、从微分到积分、从基础到升华的自然逻辑流，确保读者在学习向量分析时能够清晰地看到它与单变量微积分的内在联系，而非孤立的知识点。 --- 适用对象： 学习微积分第二阶段课程的理工科、数学、经济学等专业本科生，以及需要系统回顾并深入理解微积分高级工具的研究生。

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