常微分方程理论中的几何方法 第2版 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:V.I.ARNOLD

出品人:

页数:351

译者:

出版时间:2004-11-01

价格:52.0

装帧:简裝本

isbn号码:9787506271929

丛书系列:经典数学丛书（影印版）

图书标签:

• 数学
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《常微分方程理论中的几何方法》第二版 《常微分方程理论中的几何方法》第二版，是对该领域经典著作的全新修订与扩充。本书深入探索了如何运用现代微分几何的强大工具来理解和解决常微分方程（ODE）的诸多问题。其核心在于将方程的解空间、奇点、吸引子以及整体动力学性质等概念，转化为几何对象在流形上的行为，从而提供一种更为直观、深刻的视角。 核心内容概览： 本書的核心思想是将常微分方程系统视为一个微分流形上的一个向量场。方程的解曲线，也即相轨线，则被视为该向量场作用下的积分曲线。这种几何视角赋予了我们分析方程性质的新维度。 流形与向量场: 书的开篇部分将系统地介绍必要的微分几何基础，包括流形（Manifolds）、切空间（Tangent Spaces）、向量场（Vector Fields）、微分形式（Differential Forms）以及联络（Connections）等概念。这些工具将成为理解后续几何方法的基石。读者将学习如何将一个给定的常微分方程组，在局部上嵌入到一个光滑流形上，并将其转化为该流形上的一个向量场。 积分曲线与动力系统: 向量场诱导的积分曲线自然构成了系统的相空间轨迹。本书将深入分析这些积分曲线的性质，如存在的唯一性、光滑性以及延拓性。从几何上理解吸引子（Attractors）、不动点（Fixed Points）、极限环（Limit Cycles）等概念，并探讨它们的稳定性。例如，不动点被看作是向量场为零的点，而吸引子的几何结构则与相空间中轨迹的汇聚行为紧密相关。 奇点分析与拓扑: 方程的奇点（Singularities）是理解系统行为的关键。本书将运用几何工具，如流形上的切丛（Tangent Bundle）和法丛（Normal Bundle），来分析奇点的类型和性质。例如，鞍点、中心、焦点等经典奇点，在几何上对应于向量场在这些点周围的特定行为模式，例如向量场在某些方向上将点“拉入”，在另一些方向上则“推离”。 整体性质与全局几何: 区别于局部的线性近似分析，本书着重于常微分方程的全局性质。它将探讨解的全局存在性、有界性、周期性以及可能的混沌行为。例如，通过研究流形上的特定几何结构（如曲率、测地线）与向量场之间的相互作用，可以获得关于解的全局行为的深刻洞察。 庞加莱-霍普夫定理与极限环: 经典的庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）定理在本书中得到几何化的阐释。该定理联系了向量场在紧致流形上的零点（不动点）的数量与流形的拓扑不变量（如欧拉示性数）之间的关系。本书将进一步探讨如何利用这一定理以及其他几何方法来研究极限环的存在性和个数。 李群与李代数在动力系统中的应用: 对于包含对称性的常微分方程系统，本书将引入李群（Lie Groups）和李代数（Lie Algebras）的理论。这些强大的代数工具能够帮助我们理解和简化具有对称性的动力系统，发现守恒量，并构建系统的解。例如，系统的对称性对应于流形上作用的李群，而这些作用的生成元则构成了一个李代数。 耗散系统与几何测度: 对于耗散（Dissipative）的常微分方程系统，其解的相空间体积会随时间收缩。本书将从几何角度探讨这一现象，研究吸引子的测度（Measure）以及其与系统参数的关系。例如，在三维及以上空间中，耗散系统可能产生具有分形结构的奇怪吸引子（Strange Attractors），其几何性质是研究的重点。 方法论与应用: 本书不仅是一本理论著作，也提供了解决实际问题的几何框架。它将展示如何将上述几何方法应用于物理学、工程学、生物学等多个领域中的具体常微分方程模型，例如振动系统、化学反应动力学、生态模型等。读者将学会如何运用几何直觉和工具，为复杂的动力学问题提供新的分析思路。 第二版新增与修订内容： 第二版在保持原有理论框架的基础上，进行了多方面的更新与深化： 更详尽的理论铺垫: 对微分几何基础部分进行了更加细致的阐述，使其更易于初学者理解，并引入了更多现代几何工具，如更高级的联络理论和曲率概念。 丰富的新模型与例子: 增加了更多具有代表性的常微分方程模型，这些模型能够更好地体现几何方法的优势。例如，引入了更多关于混沌动力学、分岔理论（Bifurcation Theory）以及全局分岔的几何分析。 深入的奇点和吸引子研究: 对奇点的分类和稳定性分析进行了更深入的几何化处理，并对吸引子的结构和维度进行了更精细的研究，特别是关于奇怪吸引子的几何特性。 现代数学工具的整合: 更加系统地整合了现代微分几何和拓扑学中的最新发展，以增强几何方法的普适性和有效性。例如，可能涉及了辛几何（Symplectic Geometry）在保积（Preserving Volume）动力系统中的应用。 计算几何方法的初步探讨: 尽管本书以理论分析为主，但第二版可能初步触及了一些与几何分析相关的计算方法，为读者进一步探索提供了方向。 目标读者： 本书适合数学、物理学、工程学、理论生物学等领域的本科高年级学生、研究生以及研究人员。对于希望深入理解常微分方程的内在几何结构，并掌握一套强大的分析工具来处理复杂动力学系统的读者而言，本书是不可或缺的参考。它将引导读者跳出方程的符号形式，以一种全新的几何视角来“看见”方程的本质。

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坦白说，这本书的难度曲线相当陡峭，它更像是一份经过精心筛选和组织的研究文献汇编，而非传统的大学教材。我发现自己必须频繁地在不同章节之间跳转，以建立不同几何概念之间的联系，比如对李群和李代数在对称性分析中的应用，这部分内容的处理非常精炼，对于没有相关背景的读者来说，可能需要额外的预习。然而，一旦你成功地跨越了最初的知识壁垒，你会发现这本书为你打开了一扇通往更宏大数学图景的大门。它提供的不仅仅是解决问题的“方法”，更是一种看待问题的“视角”——一种将动态系统置于一个整体几何框架内审视的全新哲学。这本书的价值在于其启发性，它激发了读者去探索那些尚未被完全解答的问题，远超出了教科书应有的范畴。

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这本书的深度和广度是令人惊叹的，它显然不是一本面向入门的“速成指南”，而是为那些有志于在常微分方程理论前沿进行研究的学者准备的“深度参考”。我特别关注了其中关于辛几何在哈密顿系统中的应用的章节，内容详实且推导严谨到几乎无懈可击。作者似乎有一种魔力，能将那些晦涩难懂的专业术语，通过精妙的数学语言重新组织，使其结构清晰、逻辑自洽。读到某些定理的证明时，我甚至能感受到作者在构建这个理论体系时的那种匠心独运。虽然有些地方确实需要反复咀嚼和查阅参考资料才能完全消化，但这种“需要努力才能企及”的阅读体验，恰恰是真正有价值的学术著作的标志。它迫使我跳出原有的思维定式，以一种全新的、更具结构性的视角去看待原本熟悉的微分方程问题。

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与其他市面上许多侧重于数值解法或定性分析的书籍相比，这本书的侧重点明显更偏向于理论的内在结构和美感。它仿佛在告诉读者，常微分方程的解空间本身就蕴含着深刻的几何信息。我对于其中关于不动点理论的几何化处理印象尤为深刻，作者没有停留在传统的分析论证上，而是引入了流形上的切空间和法向量场的概念来剖析解的稳定性，这种处理方式不仅在数学上更为优雅，而且在概念上提供了更丰富的直觉支撑。这本书的语言风格非常正式和凝练，每一个句子都像是经过千锤百炼的结晶，没有一丝多余的赘述，这对于时间宝贵的专业人士来说，无疑是一种高效的阅读体验。它迫使你精确地思考每一个词语的含义，从而避免了在理解上的模糊地带。

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这本书的封面设计相当沉稳，那种深邃的藏蓝与烫金的字体搭配，立刻就给人一种专业、严谨的感觉，仿佛预示着即将开启一段深入的数学探索之旅。我是在寻找关于经典分析学与现代拓扑学交叉领域的教材时偶然发现它的。初步翻阅后，我最大的感受是它对基本概念的梳理极其到位，不同于很多直接跳到高深理论的著作，它花了大量篇幅来铺陈基础，比如向量场、微分形式的引入，这些都是后续几何化处理的基石。作者在介绍时，总能巧妙地将抽象的代数结构与直观的几何图像联系起来，这一点对于初学者来说简直是救星。尤其是它对黎曼几何初步概念的引入，处理得非常细腻，将曲率的概念融入到对解的稳定性的分析中，逻辑链条清晰可见，让人读起来不觉得晦涩难懂。对于我这种希望打牢基础再进阶的读者来说，这种循序渐进的教学方式，极大地增强了学习的信心和连贯性。

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这本书的排版布局堪称一绝，每一页的留白都恰到好处，使得长篇的公式推导看起来也井井有条，这一点在长时间阅读复杂的数学证明时，极大地减轻了视觉疲劳。我尤其欣赏作者在案例选择上的独到眼光，许多例子并非教科书上常见的陈词滥调，而是选取了更贴近物理和工程实际的场景，比如对经典力学中守恒律的几何诠释，或者在流体力学中对相空间的分析。这种贴合实际的应用导向，使得原本可能显得过于“纯粹”的几何方法焕发出了勃勃生机。我花了相当一段时间来钻研其中关于庞加莱截面的讨论，作者通过清晰的图示和分步的论证，将混沌系统的某些复杂特性直观地展现了出来，这种从具体到抽象再回归具体的叙事结构，极大地提升了阅读的趣味性和深度理解的效率。它不仅仅是一本工具书，更像是一位经验丰富的导师在手把手地引导你领略这个领域的精妙之处。

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这回名字就叫几何方法了

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这回名字就叫几何方法了

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常微分方程组和一阶偏微分方程关联几何本质：曲线族组成曲面。物理本质就是互不作用粒子组成的连续介质既可以用粒子常微分方程组或者用场的偏微分方程表达。一阶线性偏微分方程的特征曲线在M上，而一阶拟线性偏微分方程的特征曲线在MXR上，而一阶非线性的特征曲线在节流形上；线性偏微分方程的特征曲线组成曲面，这个曲面作为函数的图像，这个图像就是拟线性方程的解。

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这回名字就叫几何方法了