激波和反应扩散方程 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:世界图书出版公司北京

作者:J.Smoller

出品人:

页数:632

译者:

出版时间:1999-3

价格:79.00元

装帧:

isbn号码:9787506241007

丛书系列:

图书标签:

偏微分方程
激波
反应扩散
数值分析
非线性
守恒律
有限差分
有限体积
计算流体力学
应用数学

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具体描述

My main purpose in this book is to present a unified treatment of that part of measure theory which in recent years has shown itself to be most useful for its applications in modern analysis. If I have accomplished my purpose, then the book should be found usable both as a text for students and as a source of reference for the more advanced mathematician.

I have tried to keep to a minimum the amount of new and unusual terminology and notation. In the few places where my nomenclature differs from that in the existing literature of measure theory, I was motivated by an attempt to harmonize with the usage of other parts of mathematics. There are, for instance, sound algebraic reasons for using the terms "lattice" and "ring" for certain classes of sets--reasons which are more cogent than the similarities that caused Hausdorff to use "ring" and "field."

　　本书为英文版。

现代数学物理中的核心议题：非线性偏微分方程的精妙结构与前沿应用本书旨在深入探讨当前数学物理与应用数学领域中最具挑战性与活力的研究方向之一：一类重要的非线性偏微分方程组的理论、数值方法及其在复杂系统建模中的应用。聚焦于那些描述能量耗散、物质输运、界面演化和集体行为的动力学模型，本书构建了一个从基础分析到前沿计算的完整知识体系。第一部分：非线性演化方程的分析基础与定性理论本部分首先回顾了经典物理背景下的动力学方程，如流体力学中的对流项、非线性弹性中的应力应变关系，为理解非线性项的物理意义奠定基础。随后，我们将重点解析双曲型方程和抛物型方程在非线性情形下所展现出的独特性质。 1.1 双曲型方程的解的奇性与弱解理论我们详细考察了描述波传播和冲击现象的非线性双曲方程组。不同于线性情况下的光滑传播，非线性项（如 Burgers 方程中的二次非线性项或更复杂的张量非线性项）会导致解的梯度在有限时间内爆炸，形成激波（Shock Waves）或稀疏波（Rarefaction Waves）。黎曼问题与特征线分析：深入研究在初始数据不连续时，解的结构如何由特征线汇聚决定。特别地，我们将剖析如何利用特征分析来确定激波的路径和速度。熵条件与物理选择性：严格区分数学上允许的弱解与物理上可接受的解。本书将详述 Lax 熵条件和 Oleinik 条件的严格数学推导和应用，这些条件是保证解的唯一性和物理合理性的关键。退化椭圆与抛物型性质：讨论在激波前后的速度差异如何导致方程在某些区域表现出退化的特性，这对于数值求解器的稳定性至关重要。 1.2 反应扩散系统的定性行为本部分转向描述物质产生、消耗与空间扩散耦合的系统。这些方程通常具有强烈的非线性源项（反应项）和高阶扩散项（扩散项）。爆破现象（Blow-up）：分析某些非线性反应扩散方程中，解的模如何在有限时间内趋于无穷大。我们将展示如何利用临界指数和不变式（Invariants）来精确预测爆破点和爆破率。稳态解与行波解：深入研究描述相变的定常解，特别是那些描述相界面如何以恒定速度传播的行波解（Traveling Wave Solutions）。本书将利用一维或简化模型，展示如何通过相平面分析和不动点定理来证明这些解的存在性和稳定性。能量泛函与全局适定性：对于某些耗散系统，我们将构造特定的能量泛函，利用 Poincaré 不等式和 Sobolev 嵌入定理来证明解的全局存在性，即使在存在非线性对流项的情况下。第二部分：高维问题的挑战与界面动力学将分析从一维拓展到多维空间是理解真实世界现象的关键一步。高维系统带来了新的拓扑复杂性和分析上的困难。 2.1 自由边界问题与相场模型本部分聚焦于描述系统边界或界面自身随时间演化的模型，如材料凝固、晶体生长或相分离。运动边界的弱解：探讨如何处理随着解的演化而移动的自由边界。我们将介绍 Stefan 问题的广义弱解形式，并讨论接触角依赖性对界面演化的影响。非局部相互作用：分析包含非局部积分核（Non-local kernels）的演化方程，这些核通常描述长程的相互作用力（如梯度驱动力或排斥/吸引力）。我们将着重于这些方程的能量最小化原理和粗糙度估计。曲率驱动的演化：针对描述界面收缩和平均化过程的方程（如曲率流），我们将讨论其粗糙度效应和在存在钉扎点时的捕获现象。 2.2 耗散系统中的结构稳定性讨论系统在长时间演化后，其解趋于一组低维流形（吸引子）的性质。惯性流形与不动点：对于高维但具有强耗散性的系统，我们将介绍有限维惯性流形的概念，旨在说明系统的长期行为可以被有限个模式所描述。渐近行为分析：研究解的 $omega$-极限集，识别系统最终会稳定在哪些稳态或周期性解上。这涉及到对半群理论和不动点迭代的深入应用。第三部分：现代数值方法与计算实现理论分析往往无法提供精确解，因此高效、稳定的数值方法至关重要。本部分侧重于处理非线性方程中困难区域（如激波和界面）的特定技术。 3.1 激波捕获与高分辨率格式处理非线性双曲系统中的不连续性是数值模拟的核心挑战。有限体积法 (FVM) 的核心：详述 FVM 如何通过控制通量来保持守恒律。重点介绍 Godunov 型格式的构建，包括 HLL 格式和考虑波速的 Roe 格式的推导。高分辨率技术：为避免传统 FVM 在梯度剧烈变化区域引入振荡，我们将介绍通量限制器 (Flux Limiters) 的原理，如 MUSCL 方案，及其在保证解单调性方面的作用。完全离散化与时间积分：讨论如何结合高阶空间离散化与适应性时间步长控制（如基于 CFL 条件），以高效处理不同区域的波速差异。 3.2 界面与曲率流的数值处理对于涉及复杂几何演化的方程，需要专门的技术来维持几何精度和计算稳定性。体积平均法 (VOF) 与水平集方法 (Level Set)：对比描述界面追踪的两种主要方法。详细分析水平集方法中处理界面曲率和拓扑变化的挑战，特别是重构过程在保持界面光滑性上的关键作用。隐式与半隐式时间步进：讨论在求解高阶扩散项或曲率驱动项时，由于 CFL 条件的限制，需要采用隐式方法（如 Crank-Nicolson 或 Backward Euler）来提高计算效率和稳定性。 3.3 稀疏矩阵计算与高性能实现鉴于现代三维问题的规模，计算效率是不可或缺的。预处理技术：介绍求解由此产生的非线性方程的线性系统（如牛顿迭代）时，如何使用代数多重网格 (AMG) 或不完全 LU 分解 (ILU) 等预处理器来加速迭代收敛。并行计算架构：讨论域分解技术和消息传递接口 (MPI) 在大规模非线性偏微分方程求解中的应用，以充分利用多核处理器和集群资源。本书通过结合严格的数学分析工具、深刻的物理洞察力以及前沿的计算科学方法，为研究生、研究人员以及工程应用人员提供了一个全面而深入的平台，用以理解和模拟自然界中最具挑战性的非线性演化现象。