具体描述
《工程数学学习指导与习题解析(下)》（下册）是高等学校（主动式教学法教学改革）数学系列教材《概率论与数理统计》的辅导教材，是《高等数学学习指导与习题解析》一书（黄光谷等编，华中科技大学出版社出版，已连续印刷5次）的姊妹篇。内容上以教育部颁布的本科《教学基本要求》和部订2003年考研《数学考试大纲》为依据。各章按讲编写，便于教学与自学。各讲包括内容提要、答疑辅导、典型例题、教与学建议等栏目，各单元安排了习作课，篇末安排了结业总复习（含模拟试题及参考答案与提示等）。书末还附录了“历年全国考研数学一至四的概率统计试题分类精解”。
《工程数学学习指导与习题解析(下)》保持了《高等数学学习指导与习题解析》一书（上、下册）的结构、风格与特长，可独立成书；又与适用面广、最新版的浙江大学盛骤等编《概率论与数理统计》（第三版）教材密切同步。考虑到读者学概率统计解题的困难，对教材中各章习题基本上都作了解答，供读者做题时对照和参考。在《工程数学学习指导与习题解析(下)》例题、习题部分，精选了历年全国考研部分试题并作了解析（或给了答案，其中“（1999，－）”是指1999年全国考研数学一的试题，其余类似），以便读者明确教学、考试要求，使学习有参照系。例题末标有（2003，－）者。是指2003年全国考研数学一的试题，其余类似。
现代控制理论基础与应用：理论框架与前沿探索 本书全面深入地探讨了现代控制理论的核心概念、分析方法与前沿应用，旨在为读者构建坚实的理论基础，并引导其掌握解决复杂工程问题的实践技能。内容涵盖了从经典控制理论向现代控制理论过渡的关键知识点，并重点聚焦于状态空间方法、最优控制、鲁棒控制及非线性系统的分析与设计。 --- 第一部分：线性系统理论的深化与状态空间描述 本部分致力于系统地梳理和深化线性时不变（LTI）系统的理论框架，特别强调状态空间表示法在系统分析中的核心地位。 第一章 线性系统的状态空间表示 系统建模基础： 详细阐述如何将物理系统（如电路、机械臂、热传导过程）转化为标准的微分方程或差分方程组。重点讲解如何选择合适的系统状态变量，确保状态向量能够完全描述系统的内部动态。 标准形式的转换： 深入探讨了状态空间模型的标准形式，包括可控规范形（Controllable Canonical Form）、可观型规范形（Observable Canonical Form）以及约旦标准形（Jordan Canonical Form）。通过这些变换，揭示系统内在的结构特性，为后续的控制律设计奠定基础。 解的分析： 系统推导和分析了线性定常系统的状态转移矩阵 $Phi(t)$ 的计算方法，包括利用矩阵指数函数的定义、拉普拉斯逆变换法以及特征值分解法。详细剖析了自由响应和强制响应的构成，理解系统在不同初始条件和输入激励下的动态行为。 第二章 系统的基本性质分析 可控性与可观性： 首次引入控制工程中至关重要的两个基本概念。详细介绍卡尔曼（Kalman）的可控性矩阵和可观性矩阵的判据，并探讨在复数域下分析这些特性的意义。讨论了如何通过状态反馈或输出反馈来影响系统的可控性和可观性子空间。 能控标准型与能观标准型： 结合可控性与可观性，推导出系统的能控标准型和能观标准型，展示如何通过相似变换将系统简化，从而简化后续的控制器设计过程。 稳定性分析（李雅普诺夫方法）： 区别于经典的代数判据（如劳斯判据），本章侧重于使用李雅普诺夫稳定性理论（Lyapunov Stability Theory）来分析系统的内在稳定性。详细介绍了李雅普诺夫第一法（基于能量函数的直接法）和第二法（间接法），特别是线性系统的李雅普诺夫方程的求解及其在稳定性判别中的应用。 --- 第二部分：状态反馈与观测器设计 本部分将理论分析转化为实际的控制设计，核心是利用系统的全部状态信息来设计高性能的控制器和状态观测器。 第三章 基于状态反馈的极点配置 极点配置原理： 阐述状态反馈控制 $u = -Kx + r$ 的基本原理，证明了当系统完全可控时，可以通过选择合适的反馈增益矩阵 $K$ 来任意配置系统的闭环特征值（极点）。 确定反馈增益 $K$： 详细讲解了如何使用 Ackermann 公式（基于能控规范形）和公式法（基于特征多项式匹配）来计算所需的反馈增益矩阵 $K$。 输出反馈与状态观测器： 针对状态变量无法完全测量的现实问题，引入了状态观测器的概念。重点介绍 Luenberger 观测器的设计，如何利用输出信息来估计未知的状态向量 $hat{x}$，并分析观测误差的动态特性。 第四章 现代估计理论：卡尔曼滤波 随机过程与最小方差估计： 引入随机系统的概念，将控制问题置于不确定性环境中。概述了最小均方误差（MMSE）估计的理论基础。 离散时间卡尔曼滤波（DKF）： 详细推导并阐述了卡尔曼滤波器的递推算法，包括状态预测和状态更新两个核心步骤。重点分析了状态协方差矩阵 $P_k$ 和信息增益矩阵 $K_k$ 的迭代过程，展示了卡尔曼滤波器作为最优线性无偏估计器的优越性。 连续时间卡尔曼滤波： 介绍连续时间系统的卡尔曼滤波器的代数黎卡提方程（Algebraic Riccati Equation, ARE）的求解及其在连续系统状态估计中的应用。 --- 第三部分：最优控制与鲁棒性理论 本部分将控制性能要求提升到“最优”的层面，并引入处理模型不确定性和外部扰动的鲁棒性设计方法。 第五章 LQR（线性二次型调节器）设计 最优控制问题定义： 形式化定义了 LQR 问题，即在满足系统动态约束的条件下，最小化一个二次型性能指标函数 $J$（包含状态误差和控制能量）。 代数黎卡提方程（ARE）： 阐述了求解最优状态反馈增益 $K^$ 的核心工具——代数黎卡提方程。详细讲解了如何求解 ARE 对应的代数方程，并验证了所得到的 $K^$ 可以使闭环系统渐近稳定。 参数敏感性与权衡： 分析了 LQR 设计中权重矩阵 $Q$ 和 $R$ 对控制性能（响应速度与控制努力）的影响，指导读者进行合理的性能权衡。 第六章 鲁棒性基础：H-无穷范控制初步 不确定性建模： 将系统模型中的误差和扰动视为 $H_2$ 或 $H_{infty}$ 范数下的外部信号，建立了广义系统模型。 $H_{infty}$ 控制目标： 明确 $H_{infty}$ 控制的目标是最小化系统输入到输出的增益（即减小扰动对性能指标的“放大”效应），即保证 $|mathrm{T}_{zw}(s)|_{infty} < gamma$。 基于 Riccati 方程的 $H_{infty}$ 设计： 介绍如何通过求解一组相关的线性矩阵不等式（LMI）或代数黎卡提方程，来确定控制器增益，从而保证闭环系统的 $H_{infty}$ 性能指标 $gamma$ 的最小化。 --- 第四部分：非线性系统的分析与控制 本部分针对现实世界中普遍存在的非线性现象，介绍了几种重要的分析和近似线性化方法。 第七章 非线性系统的稳定性分析 平衡点与相平面法： 介绍如何求解非线性系统的平衡点。对于二阶系统，详细展示相平面法（Phase Plane Analysis）的应用，通过绘制轨迹来直观分析系统的极限环、稳定性和多平衡点现象。 李雅普诺夫直接法（非线性）： 扩展李雅普诺夫稳定性理论至非线性系统，强调构造合适的二次型或更高阶的李雅普诺夫函数来证明全局或局部稳定性。 第八章 非线性系统的线性化与反馈线性化 泰勒级数展开与局部线性化： 讲解如何在平衡点附近利用一阶泰勒级数展开，将复杂的非线性系统近似为线性系统，并讨论线性化模型的适用范围和局限性。 反馈线性化技术： 深入探讨微分几何在控制中的应用。介绍输入-输出线性化和状态反馈线性化的概念，通过巧妙的坐标变换和状态反馈，将某些特殊的非线性系统完全转化为线性系统形式，从而可以使用 LQR 等成熟的线性控制方法进行设计。 --- 总结： 本书内容结构严谨，从系统状态描述的建立，到经典现代控制（极点配置、卡尔曼滤波）的实现，再到性能的优化（LQR）和应对不确定性（$H_{infty}$），最后扩展到复杂系统的处理（非线性化）。全书贯穿着理论推导与工程实例的紧密结合，是理工科高年级本科生、研究生以及从事自动控制、航空航天、机器人、电力电子等领域工程师深入学习现代控制理论的理想参考资料。
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