具体描述
《多元分析基础:非数学专业》是高等数学系列教材之一。其内容包括多元函数的微分学和积分学、场论、傅里叶级数、积分变换、偏微分方程等。各节后面配有适量的习题。书末附有习题答案。《多元分析基础:非数学专业》的结构和一些表述方法有别于以往的同类教材，如:以向量、矩阵为工具处理多元微积分;给出了黎曼积分的概念;增加了偏微分方程的内容等。《多元分析基础:非数学专业》结构严谨、内容精炼、条理清楚、重点突出、例题较多。《多元分析基础:非数学专业》可作为各类高等院校“高等数学”课程的教材，也可作为工程技术及有关人员的自学用书或参考用书。
《概率论与数理统计：理论、方法与应用》 本书全面深入地探讨了现代概率论与数理统计学的基本理论框架、核心计算方法以及在工程、科学研究和社会经济领域中的广泛应用。 本书旨在为理工科、经济管理类以及信息科学等专业的高年级本科生和研究生提供一套系统、严谨且具有高度实践指导意义的教材与参考资料。 --- 第一部分：概率论基础——随机性的精确描述 本部分奠定了整个数理统计学所依赖的严格数学基础，从集合论的角度出发，精确定义了随机现象的数学模型。 第一章：概率论的基本概念与公理体系 本章首先回顾了集合论的基本知识，特别是可测集和$sigma$-代数（$sigma$-域）的构造，这是定义概率测度的数学框架。随后，系统阐述了概率的公理化定义（$Omega, mathcal{F}, P$）。深入剖析了事件的代数运算及其概率性质，重点讲解了可列可加性这一核心公理的深远意义。通过Bernoulli试验序列，引入了泊松收敛定理，为后续处理极限问题做铺垫。此外，探讨了在有限样本空间和无限样本空间下，如何构造和计算概率，例如均匀概率、几何概率的严谨定义。 第二章：随机变量与随机向量 本章聚焦于如何将随机现象量化。首先定义了随机变量（Random Variable）的数学概念，并区分了离散型和连续型随机变量。对于离散型，详细阐述了概率质量函数（PMF）的性质；对于连续型，则着重分析了概率密度函数（PDF）的特征。特别关注了分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）作为连接离散与连续的统一工具。 在多维随机性的描述上，本章引入随机向量，详细讨论了联合分布函数、联合概率质量函数和联合概率密度函数，以及边缘分布的计算方法。关键内容包括随机变量的独立性的严格定义，以及条件分布在分析变量间相互依赖关系中的作用。 第三章：随机变量的数字特征 本章侧重于使用少数几个关键数值来概括随机变量的集中趋势、离散程度和分布形状。详细解析了期望（均值）的性质，包括期望的线性、乘积的期望（在独立性下的简化），以及迭代期望定律在复杂系统分析中的应用。深入讨论了方差、标准差和矩（高阶矩）的概念，特别是偏度（Skewness）和峰度（Kurtosis）在描述分布非对称性和尖锐程度上的作用。 本章的重点在于协方差和相关系数，用以量化两个随机变量之间的线性关系强度。对于多维随机向量，则系统介绍了协方差矩阵（或称散度矩阵），这是后续多元统计分析的基石。 第四章：随机变量的矩函数、特征函数与收敛性 本章进入概率论的理论高阶阶段，介绍了用于求解复杂期望和确定分布的有力工具。 特征函数（Characteristic Function）被详细阐述，作为期望的傅里叶变换，它具有唯一确定分布的性质，并为处理独立随机变量的和提供了卷积运算的便捷工具（即特征函数的乘积）。 在收敛性方面，本章区分了四种主要的收敛模式：依概率收敛（Convergence in Probability）、依分布收敛（Convergence in Distribution）、平方平均收敛（Convergence in Mean Square）和几乎必然收敛（Almost Sure Convergence）。详细论证了大数定律（Weak and Strong Laws of Large Numbers），揭示了大量重复试验的平均结果趋于期望值的统计稳定性。最后，对中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）进行了详尽的推导与解释，强调了CLT在近似计算和统计推断中的核心地位。 --- 第二部分：数理统计学——从数据中获取知识 本部分将概率论的理论转化为从实际观测数据中进行客观推断的数学方法论。 第五章：数理统计学基础与统计推断 本章概述了统计推断的两个主要分支：描述性统计和推断性统计。定义了随机样本和样本统计量（如样本均值、样本方差）的概念，强调了它们作为总体参数估计量的地位。 引入了统计量的分布，重点分析了卡方分布 ($chi^2$)、学生t分布和Fisher F分布的性质及其在特定场景（如正态总体的方差估计）中的应用。对大样本统计量的分布，特别是基于CLT推导出的渐近分布进行了讨论。 第六章：参数估计 本章聚焦于如何利用样本信息来估计未知的总体参数。 点估计（Point Estimation）方法被系统介绍，包括： 1. 矩估计法（Method of Moments, MoM）：原理直观，操作简便，但在某些情况下效率不高。 2. 极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：这是最常用且性质优良的方法。详细推导了MLE的构造过程、对数似然函数的使用，并分析了其渐近性质（如渐近无偏性、渐近有效性和渐近正态性）。 估计量的优良性标准被深入探讨，包括无偏性、一致性、有效性（最小方差）和完备充分性。本章引入了费希尔信息量和Cramér-Rao下界，作为衡量估计量有效性的理论标尺。 第七章：区间估计（置信区间） 本章解决了点估计固有的不确定性问题，通过构造一个包含真实参数的概率区间来表达估计的可靠性。详细讲解了基于枢轴量（Pivotal Quantity）原理的区间估计构建方法。针对正态总体（已知/未知方差）和比例参数，推导了具体的置信区间公式，包括t分布置信区间和$chi^2$置信区间。对于大样本情况，阐述了基于正态近似的置信区间构造。 第八章：假设检验 假设检验是数理统计推断的核心，本章系统化了这一过程。明确了原假设（$H_0$）和备择假设（$H_1$）的设定。 深入剖析了检验的两个关键错误概率：第一类错误（$alpha$，显著性水平）和第二类错误（$eta$），以及检验功效（Power）。重点讲解了Neyman-Pearson引理在构造最有力（Most Powerful）检验中的作用。 针对不同参数和分布，本章讲解了主要的检验方法： 1. 均值检验：Z检验和t检验（单样本和双样本）。 2. 方差检验：基于$chi^2$分布的单样本方差检验和基于F分布的双样本方差比检验。 3. 比率检验：基于正态近似的比率比较。 最后，介绍了P值（P-value）的概念及其在实际决策中的解释和应用。 --- 第三部分：回归分析与线性模型（深度扩展） 本部分将统计推断应用于变量间的定量关系建模，是应用统计学的基石。 第九章：简单线性回归 本章以最基础的简单线性回归模型 $Y = alpha + eta x + epsilon$ 为切入点。详细介绍了最小二乘法（Least Squares Method, LSM）的推导过程，用以估计回归系数 $alpha$ 和 $eta$。分析了残差（Residuals）的性质，并讨论了模型拟合优度（$R^2$）。在假设误差项服从正态分布的条件下，推导了系数估计量的分布，并在此基础上进行了系数的区间估计和假设检验。 第十章：多元线性回归与模型诊断 本章将回归扩展到多个预测变量的情况：$Y = eta_0 + eta_1 X_1 + cdots + eta_k X_k + epsilon$。 使用矩阵表示法（$mathbf{Y} = mathbf{X}oldsymbol{eta} + oldsymbol{epsilon}$），系统地推导了多元最小二乘估计的封闭解 $hat{oldsymbol{eta}} = (mathbf{X}^Tmathbf{X})^{-1}mathbf{X}^Tmathbf{Y}$。讨论了模型的整体显著性检验（F检验）以及单个回归系数的t检验。 模型的诊断至关重要：本章详细讨论了多重共线性的识别与处理、异方差性（Heteroscedasticity）的检验（如Breusch-Pagan检验）及其对估计量的影响，并引入了处理异方差的广义最小二乘法（GLS）的概念。最后，探讨了如何进行变量选择（如逐步回归）。 --- 总结： 本书不仅为读者构建了从概率测度到统计推断的严密逻辑链条，还通过对回归分析的深入讲解，提供了处理现实世界复杂数据分析的必备工具集。全书理论推导详实，例题丰富，旨在培养读者运用统计思维解决实际问题的能力。
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