具体描述
《数学建模基础》侧重数学建模知识的了解和数学建模能力及意识的培养，由浅入深，便于学生自学和教师教学。书中的内容主要以初、中等数学建模问题为主，不追求高深全的数学建模内容，以求达到降低数学建模学习起点和通俗易懂的目的。读者只要学过微积分、线性代数和了解简单的概率统计知识就可以学习《数学建模基础》。
《数学建模基础》可作为学校各专业的专科生、本科生、研究生及工程技术人员学习数学建模课程的教材和参考书。
科学探索与计算思维：面向工程实践的数值方法导论 本书旨在为理工科学生及相关领域的研究人员提供一套扎实且实用的数值计算与科学计算基础理论和方法。在信息技术飞速发展的今天，许多复杂的工程问题和科学难题，如流体力学模拟、材料性能预测、金融风险评估等，已无法仅凭解析方法求解。它们高度依赖于计算机的模拟与近似计算，而数值方法正是连接数学理论与工程实践的桥梁。 本书内容涵盖了数值分析的核心领域，从最基础的误差分析到高阶的偏微分方程求解，力求在理论深度与工程应用之间取得平衡。我们不侧重于抽象的数学证明，而是强调算法的构建逻辑、计算效率以及在实际问题中的适用性与局限性。 第一部分：计算基础与误差理论 本部分是构建数值计算知识体系的基石。一个合格的科学计算者必须深刻理解计算机如何表示和处理实数，以及由此带来的固有误差。 第一章 浮点数的表示与精度 本章详细介绍了IEEE 754标准的单精度和双精度浮点数表示法，包括其二进制结构、指数和尾数的处理方式。重点探讨了浮点运算中产生的截断误差和舍入误差。通过大量的例子，阐述了为什么简单的算术运算在计算机上可能产生意想不到的结果，例如 $a + b - b
eq a$ 的现象。此外，引入了机器 $epsilon$ (epsilon) 的概念，并讨论了如何通过选择合适的精度来保证计算的可靠性。 第二章 函数逼近与插值方法 在实际应用中，我们经常需要处理离散数据点或难以解析表达的函数。本章介绍了多种函数逼近和插值技术。从最基础的拉格朗日插值多项式开始，分析了其在高次情况下的龙格现象（Runge's Phenomenon），从而引出对更稳定方法的探索。随后，深入讲解了分段插值，特别是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）。我们详细剖析了样条插值的内在原理——保持二阶连续性，并提供了构建自然样条和夹点样条的完整算法步骤。本章还简要介绍了最小二乘法在线性回归和非线性函数拟合中的应用，强调了其在数据降维和趋势分析中的重要性。 第二部分：线性系统的求解与特征值问题 线性代数方程组是科学计算中最常见的问题之一。高效、稳定地求解这些系统是进行复杂建模的前提。 第三章 直接求解法 本章聚焦于精确求解线性方程组 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的直接方法。首先，系统地介绍了高斯消元法及其背后的数学原理。我们详细分析了消元过程中主元选择的重要性，并阐述了主元选择（Pivoting）策略（部分主元与完全主元）如何显著提高算法的数值稳定性，避免除以零或极小数值。随后，深入讲解了$LU$ 分解法，展示了如何将矩阵分解为下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$ 的乘积，从而加速对具有相同系数矩阵但不同右端项向量的方程组的求解。对于对称正定矩阵，本章会介绍高效的乔里斯基分解（Cholesky Decomposition）。 第四章 迭代求解法 对于大型、稀疏的线性系统，直接法往往因计算量过大或存储需求过高而不适用。本章转向迭代法。我们从最基础的雅可比（Jacobi）迭代和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代入手，分析了它们的收敛条件和速度。重点是介绍现代高性能计算中应用更为广泛的迭代法，例如共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）和广义最小残量法（GMRES）。本章会详细解释这些方法的迭代原理、收敛速度与预条件子的选择对求解效率的影响。 第五章 特征值问题的数值解法 特征值和特征向量在振动分析、主成分分析（PCA）等领域至关重要。本章介绍求特征值和特征向量的数值算法。首先介绍幂迭代法（Power Iteration）用于寻找最大特征值，并讨论其局限性。接着，介绍反幂迭代法（Inverse Iteration）用于求解特定特征值。最后，深入讲解求解对称矩阵特征值问题的雅可比迭代法和基于QR分解的QR算法，这是现代数值线性代数的核心工具。 第三部分：非线性方程与优化问题 许多物理模型最终归结为求解一个或多个非线性方程 $f(x)=0$ 或最小化一个目标函数。 第六章 非线性方程求解 本章集中于求解单变量非线性方程。从最直观的二分法（Bisection Method）开始，分析其可靠性与收敛速度。随后介绍收敛速度更快的牛顿法（Newton's Method），详细讨论其平方收敛的特性以及对初始猜测值的敏感性。为了结合二分法的鲁棒性和牛顿法的高效性，本章还将介绍割线法（Secant Method）和丰德斯法（Brent's Method）。对于多变量非线性方程组，本章将扩展牛顿法，介绍多维牛顿法的迭代公式和计算挑战。 第七章 最优化方法基础 本部分探讨如何寻找函数的最小值点。首先，从一维无约束优化开始，介绍进退法（Bracketing）和黄金分割法（Golden Section Search）。随后转向多维无约束优化，详细分析最速下降法（Steepest Descent）的局限性，并重点介绍牛顿法、拟牛顿法（如BFGS算法）在寻找最优解时的迭代策略和收敛性分析。本章还简要涉及约束优化的基础知识，如拉格朗日乘数法在等式约束问题中的应用。 第四部分：数值积分与微分方程求解 模拟连续过程是工程计算的核心任务。本部分侧重于对积分和微分方程的离散化求解。 第八章 数值积分 本章致力于计算定积分 $int_a^b f(x) dx$ 的近似值。我们首先回顾牛顿-科茨公式（Newton-Cotes Formulas），从梯形法则和辛普森法则开始，分析这些方法的代数精度。随后，介绍收敛性更好、效率更高的高斯求积（Gaussian Quadrature），解释如何通过选择最优的节点和权重来实现高精度。本章还将涉及复化积分和自适应步长控制，以确保在积分区间内保持可接受的误差水平。 第九章 常微分方程的数值解法 (IVPs) 常微分方程（ODEs）是描述动态系统的基本数学工具。本章专注于初值问题 $frac{dy}{dt} = f(t, y)$ 的数值解法。系统介绍欧拉法（Euler's Method）及其一阶精度，随后深入讲解更精确的龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods），特别是经典的四阶RK4算法的推导和实现。本章的重点在于变步长控制策略，介绍如何根据局部截断误差动态调整步长，从而在保证精度的同时提高计算效率。此外，还会探讨隐式方法（如后向欧拉法）在求解刚性（Stiff）微分方程组时的必要性。 第十章 偏微分方程的数值逼近 偏微分方程（PDEs）是建模物理场、流体、热传导等问题的关键。本章介绍求解二维和三维PDEs的两种主要离散化方法。有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是本章的重点。我们将详细讨论如何利用泰勒展开式推导出一阶导数和二阶导数的差分近似，并将其应用于热传导方程（抛物型）、波动方程（双曲型）和泊松方程（椭圆型）。我们还会分析FDM离散化后得到的线性系统的性质，并讨论稳定性与收敛性的重要概念（如CFL条件）。同时，本章会简要介绍有限元方法（Finite Element Method, FEM）的基本思想，作为更复杂几何体求解的有力补充。 --- 本书特色： 1. 强调算法实现： 每种方法都提供了清晰的算法步骤和伪代码，便于读者直接用熟悉的编程语言（如Python, MATLAB, C++）实现。 2. 工程案例驱动： 穿插了大量源自工程、物理和经济领域的实例，展示数值方法在实际问题中的应用，如结构振动分析、迭代求解复杂管网流量分配等。 3. 注重软件与工具： 鼓励读者使用现有的科学计算库（如SciPy, NumPy）来验证手动实现的算法，培养“知其然，更知其所以然”的计算素养。 本书的最终目标是培养读者运用科学计算的思维方式，使其能够面对一个复杂的工程问题时，准确地识别出适用的数值方法，并能对其结果的可靠性进行审慎的评估。
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