具体描述
《数值代数》共分五章，内容包括：矩阵论基础，线性方程组的迭代解法．特殊线性方程组的快速算法．矩阵特征值问题的解法，线性矩阵方程的迭代解法等。各章后均配有适量的习题。
《数值代数》内容新颖，叙述严谨，表达流畅，可作为高等院校数学专业高年级本科生教材，也可供有关专业的研究生和从事科学计算的工程技术人员参考。
好的，这是一份针对名为《数值代数》的书籍所写的、内容详尽、但不包含该书内容的图书简介。 --- 《线性系统与误差分析：原理、方法与实践》 书籍简介 引言：计算时代的基石 在当今科学研究、工程设计乃至金融建模的广阔领域中，我们无时无刻不与海量的数据和复杂的线性关系打交道。从地球物理勘探中的反演成像，到空气动力学中的流体模拟，再到电子电路的信号处理，其核心往往归结于求解一系列密集的线性方程组。然而，理论上的完美解在实际计算中几乎是遥不可及的。我们所面对的计算机，其有限的精度、指令集的特性以及算法本身的结构，决定了计算结果必然带有误差。 本书《线性系统与误差分析：原理、方法与实践》正是在这一背景下应运而生。它并非对传统代数概念的简单复述，而是专注于连接纯数学理论与实际数值计算之间的鸿沟。本书旨在为工程师、物理学家、数据科学家以及高级数学专业学生提供一套严谨而实用的工具箱，用以理解、预测和控制数值计算中的不确定性。 第一部分：严谨的数学基础与算法的精度考量 本书的开篇部分，我们将重塑对线性代数基本概念的理解，但视角将完全转向数值实现层面。我们不满足于“存在唯一解”的理论断言，而是深入探究“如何稳定地求得这个解”。 第1章：浮点运算的微观世界 本章详述了现代计算机如何表示实数——IEEE 754 标准。我们将剖析单精度（32位）和双精度（64位）浮点数的结构，重点讨论机器 $epsilon$（epsilon）的实际意义，以及舍入误差是如何在每一次基本的算术运算（加、减、乘、除）中累积的。读者将学习到，简单的减法操作（如 $a-b$，当 $a$ 与 $b$ 非常接近时）可能导致灾难性的“有效数字丢失”，并理解为何应尽可能避免或重构包含此类操作的表达式。 第2章：矩阵与向量的范数：度量差异的尺子 范数是衡量向量或矩阵“大小”的工具，但在数值分析中，它们的真正价值在于定义“距离”和“误差界限”。本章系统地介绍了 $L_1, L_2$（欧几里得）和 $L_{infty}$（最大分量）范数，并对矩阵的诱导范数进行了深入探讨。关键在于，我们将展示如何利用矩阵范数来界定解向量 $mathbf{x}$ 的扰动与原始方程右侧向量 $mathbf{b}$ 的扰动之间的关系，这是误差分析的基石。 第3章：线性系统的条件数：对敏感度的量化 这是本书的核心概念之一。一个线性系统 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的条件数 $kappa(mathbf{A})$ 成为衡量系统对输入微小变化的敏感度的量化指标。我们不仅推导了条件数与逆矩阵范数的关系，更重要的是，我们将条件数与相对误差的放大因子直接挂钩。读者将清晰地看到，一个病态（Ill-conditioned）的系统意味着即使是最精确的计算结果，也可能与真实解相去甚远。本章将通过一系列精心构造的例子，展示高条件数如何“惩罚”求解过程。 第二部分：稳定且高效的求解策略 理论的优美必须服从于计算的可行性与稳定性。本部分专注于那些在工程实践中被广泛采用的、具有良好数值稳定性的矩阵分解方法。 第4章：高斯消元法的幕后：枢轴选择与稳定性 高斯消元法是求解线性系统的基石，但其稳定性并非天生。本章详细剖析了部分选主元（Partial Pivoting）和完全选主元（Complete Pivoting）的必要性。我们将通过实例说明，如果不进行恰当的枢轴选择，一个看似简单的三角化过程可能因为除以一个接近零的元素而导致结果爆炸（数值不稳定）。本章也将讨论LU分解的稳定性限制。 第5章：正定矩阵与共轭梯度法（CG）的巧妙结合 对于大型、稀疏且对称正定（Symmetric Positive Definite, SPD）系统，直接分解方法（如LU分解）往往因存储需求和计算复杂度而不可行。本章深入讲解了迭代法的王者——共轭梯度法。我们将从理论上证明其收敛性的基础，并探讨如何通过预处理（Preconditioning，如不完全LU分解或代数多重网格法）来显著加速CG法的收敛速度，使其成为解决大规模工程问题的首选。 第6章：特征值问题的数值处理：QR算法的稳健性 特征值问题（求解 $mathbf{Ax} = lambdamathbf{x}$）在振动分析、稳定性分析中至关重要。本章避开理论推导的繁琐，直接聚焦于实际应用的“标准”算法——QR分解算法。我们将介绍Householder变换和Givens旋转在构建QR分解中的作用，并阐述如何通过迭代应用相似变换（如Hessenberg约化）来稳定地收敛到特征值。我们也会简要提及计算对应特征向量的逆迭代法。 第三部分：误差的量化、估计与控制 在实际应用中，我们不仅需要一个解，更需要一个关于该解可靠性的度量。本部分致力于将理论误差界限转化为可操作的数值工具。 第7章：残差分析与迭代法的收敛性 残差 $mathbf{r} = mathbf{b} - mathbf{Ax}_c$ 是衡量当前近似解 $mathbf{x}_c$ 质量的直接指标。本章详细区分了“残差的大小”与“解的误差”之间的关系，特别是在病态系统下。我们将利用残差来评估迭代法的收敛速度，并引入基于残差的自适应停止准则，确保在达到机器精度限制之前，算法能够做出最优的迭代决策。 第8章：后验误差估计与误差包络 本书的最后部分提供了高级的误差控制技术。我们介绍基于残差的后验误差估计方法，它允许我们在不事先知道精确解的情况下，对计算误差给出一个可靠的估计范围。通过结合条件数信息和实际计算的残差，我们能够构建一个“误差包络”，为工程师提供关于其模型输出的置信区间，从而在设计和决策过程中，充分考虑到计算的不确定性。 总结 《线性系统与误差分析：原理、方法与实践》旨在培养读者对数值计算的批判性思维。它强调的不是解的“存在性”，而是解的“可获得性”与“可靠性”。通过对浮点数、条件数和稳定算法的深入剖析，本书为处理真实世界中那些既庞大又带噪声的线性问题，奠定了坚实而实用的理论基础。它将引导读者从单纯的“求解者”转变为有洞察力的“数值分析师”。
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