具体描述
本书从工程应用的角度论述了小波分析的基本理论与算法，跟踪小波应用的发展前沿，详细介绍了小波变换的有代表性的应用。全书共分为12章，在理论与算法方面包括：连续小波变换、二进小波变换、离散小波变换，多分辨分析、Mallat分解与重构算法，紧支撑正交小波基的构造、紧支撑双正交小波基的构造、小波子空间中的抽样定理，正交小波包、双正交小波包；在应用方面包括：小波图像压缩、基于小波变换的信号奇异性检测及其应用、分形信号的小波分析与应用、小波神经网络、基于小波变换的图像配准与镶嵌、基于小波变换的图像融合、基于小波变换的水印技术等。
本书既可作为高等学校信息与通信工程、信号与信息处理、应用数学等相关专业方向的研究生或高年级本科生的教材与教学参考书，也可作为工程技术人员与研究人员的应用参考用书。
现代计算方法与数值模拟：理论基础与工程实践 本书聚焦于当代科学研究与工程设计中不可或缺的数值计算技术、高级算法设计及其在复杂系统模拟中的实际应用。它旨在为理工科高年级本科生、研究生以及从事工业研发的工程师提供一套系统、深入且贴近实际的理论框架与操作指南。 第一部分：计算方法的核心理论基石 本部分系统梳理了现代数值计算方法的基础理论，为后续的复杂问题求解奠定坚实的数学和算法基础。 第一章：误差分析与计算稳定性 本章深入探讨了数值计算中误差的来源、类型（截断误差、舍入误差）及其量化方法。重点分析了条件数、向前/向后误差分析在判断问题病态性中的作用。讨论了如何通过算法选择和精度控制策略来提高计算结果的可靠性和稳定性，特别关注迭代方法的收敛速度与误差界限的估计。 第二章：线性代数方程组的高效求解 本章详细阐述了求解大型稀疏和稠密线性系统（$Ax=b$）的理论与实践。内容涵盖： 1. 直接法回顾与优化：LU分解、Cholesky分解及其在特定矩阵结构下的优化策略。讨论了矩阵分解过程中的存储和计算效率问题。 2. 迭代法原理：系统性介绍雅可比（Jacobi）、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，并着重分析了超松弛（SOR）方法的收敛性分析和最佳松弛因子 $omega$ 的选取。 3. Krylov子空间方法：详细讲解了共轭梯度法（CG）的推导、几何意义及其在对称正定系统中的应用。对于非对称系统，则深入探讨了GMRES (Generalized Minimal Residual) 和 BiCGSTAB (Biconjugate Gradient Stabilized) 方法的算法结构、预处理器的设计与效果评估。预处理器的作用，如代数多重网格（AMG）或不完全LU分解（ILU），将作为提升迭代效率的关键技术进行深入剖析。 第三章：非线性方程与方程组的求解 本章聚焦于处理涉及非线性项的代数和微分问题。 1. 单变量非线性方程：牛顿法、割线法（Secant Method）的收敛性分析，以及如何通过悬崖检测和步长控制来增强算法的鲁棒性。 2. 多变量非线性方程组：牛顿-拉弗森法（Newton-Raphson）的矩阵形式，以及如何使用拟牛顿法（Quasi-Newton Methods，如BFGS、DFP）来避免在每一步迭代中计算和存储精确的雅可比矩阵。讨论了全局收敛性策略，如线搜索（Line Search）和信赖域方法（Trust Region Methods）。 第二部分：函数逼近、插值与数值积分 本部分关注如何用有限的离散信息来精确或近似地表示连续函数，这是进行数值分析和模拟的前提。 第四章：插值理论与多项式逼近 本章系统讲解了不同类型的插值方法及其局限性： 1. 拉格朗日插值：分析了拉格朗日基函数的性质及Runge现象对高次插值的制约。 2. 牛顿有限差分与均差：构建牛顿插值多项式，便于增量计算。 3. 分段插值：重点介绍样条插值（Spline Interpolation），特别是立方样条（Cubic Splines）在保证一阶和二阶连续性方面的优势，及其在平滑数据曲线中的关键作用。 4. 最佳一致逼近：引入最小二乘逼近与切比雪夫逼近的基本思想，作为理论最优选择的参考。 第五章：数值积分（Quadrature） 本章探讨使用离散点上的函数值来近似计算定积分的方法。 1. 牛顿-科茨公式（Newton-Cotes Formulas）：详细推导梯形法则和辛普森法则，并分析其误差项。 2. 高斯求积（Gaussian Quadrature）：介绍高斯点和高斯权重的确定原理（基于正交多项式），强调其比牛顿-科茨公式更高的代数精度。 3. 自适应积分：讨论如何根据被积函数局部行为的复杂性，动态调整积分区间的划分和精度，实现计算资源的优化分配。 第三部分：常微分方程的数值解法（ODE Solvers） 本部分是工程和物理模拟的核心，关注如何求解初值问题（IVP）。 第六章：单步法的收敛性与稳定性 本章深入分析单步法，特别是欧拉法（前向、后向）的稳定域概念。重点讨论龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法： 1. 经典RK4：详细推导其结构和高阶精度来源。 2. 自适应步长RK方法：介绍嵌入式RK方法（如RKF45, Dormand-Prince），它们通过计算不同阶次解的差值来估计局部误差，从而实现自动调整步长，确保解的精度要求。 第七章：多步法与高精度求解 本章介绍能够利用过去多个时间点信息来提高计算效率和精度的算法： 1. 线性多步法（LMM）：介绍欧拉公式的推广形式——Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）方法。分析它们的稳定性和精度阶数。 2. 隐式方法的处理：由于隐式方法需要求解非线性方程，本章将结合牛顿法讨论如何高效地在每一步求解隐式方程。 3. 零稳定性和绝对稳定性：引入Stiff（刚性）问题的概念，讨论Backward Differentiation Formulas (BDF) 等适用于刚性问题的隐式方法，以及这些方法在局部截断误差之外的稳定边界要求。 第四部分：偏微分方程的数值模拟（PDEs） 本部分将理论计算方法提升到处理偏微分方程（如扩散、波动、泊松方程）的层面，这是现代工程仿真（CFD, FEM）的基础。 第八章：有限差分法（FDM） 本章以直角坐标系为主，介绍如何将偏导数离散化： 1. 空间离散：利用中心差分、前向/后向差分来近似空间导数，并分析其精度损失。 2. 时间离散：详细分析FTCS（Forward Time Central Space）、Crank-Nicolson（C-N）等方法在抛物型方程（如热传导方程）求解中的稳定性和收敛性。C-N 方法作为一种隐式-显式结合的方法，其稳定性的优越性将得到强调。 第九章：有限元方法（FEM）导论 本章提供有限元方法（FEM）的直观理解和基本框架，作为更通用的PDE求解工具： 1. 弱形式的建立：从强形式推导到变分或弱形式，这是FEM的核心。 2. 形函数与离散化：介绍线性三角形/四边形单元的形函数（Shape Functions）构造，以及如何通过这些函数将微分方程转化为代数方程组。 3. 刚度矩阵的组装：讲解单元刚度矩阵的计算和全局系统矩阵的装配过程，以及如何处理边界条件。 --- 本书特点： 理论与实践并重： 每章的理论推导后均附有详细的算法流程描述，并结合MATLAB/Python等环境的伪代码示例，便于读者自行实现。 面向应用： 重点关注了处理大规模、高精度问题的关键技术，如预处理技术、自适应算法设计。 严谨的数学分析： 强调收敛性、稳定性和误差界限的分析，培养读者批判性地评估数值算法的能力。
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