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出版者:

作者:Fujita, Hiroshi; Fujita, H.; Saito, N.

出品人:

页数:318

译者:

出版时间:2001-7

价格:$ 122.04

装帧:

isbn号码:9780444504746

丛书系列:Studies in Mathematics and its Applications

图书标签:

• 数学-数学物理
• 数学-数值分析
• 数学
• Operator Theory
• Numerical Analysis
• Linear Algebra
• Functional Analysis
• Approximation Theory
• Scientific Computing
• Mathematical Physics
• Matrix Computations
• Iterative Methods
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现代控制理论与优化算法：基于奇异值分解的系统分析与设计 本书聚焦于现代控制理论的核心框架，深入探讨了线性系统分析、鲁棒控制设计以及高效数值算法在工程实践中的应用。全书以严谨的数学基础为支撑，旨在为读者提供一套全面而深入的工具箱，用以解决复杂的动态系统问题。 --- 第一部分：线性系统理论基础与状态空间方法 本部分构建了理解和分析线性时不变（LTI）系统的数学基础。我们从状态空间表示法出发，详细阐述了如何通过一组一阶微分方程（或差分方程）来完整刻画系统的内部动态行为。 第一章：状态空间描述与基本性质 本章首先回顾了经典控制理论（如传递函数和频率响应）的局限性，并引入了状态变量的概念。我们详细讨论了状态转移矩阵 ($Phi(t)$) 的解析求解，包括利用凯莱-哈密顿定理和Jordan标准形的计算方法。重点分析了系统的可控性和可观测性，这是设计状态反馈控制器和观测器的先决条件。我们采用了李雅普诺夫（Lyapunov）判据来系统地分析线性系统的稳定性，包括渐近稳定、指数稳定和指数稳定性的概念区分。此外，还介绍了利用能观性/能控性 Gram 矩阵进行数值判据验证的方法。 第二章：线性系统的分解与规范形 为了便于分析和设计，本章致力于将复杂的系统通过相似变换简化为标准的规范形。我们详细介绍了可控规范形（Controllable Canonical Form） 和可观测规范形（Observable Canonical Form） 的构造过程及其在简化模型中的作用。核心内容在于Jordan 分解在处理非对角化系统时的重要性，并探讨了如何利用Schur 分解来获得数值上更稳定的系统分解形式。本章还引入了模态分析（Modal Analysis），解释了系统响应如何由其特征值（极点）决定，并探讨了如何通过极点配置来改变系统行为。 第二部分：最优控制与变分原理 本部分将数学优化理论引入控制领域，目标是设计出在特定性能指标下运行的“最佳”控制器。 第三章：变分法与庞特里亚金极大值原理 本章从经典的欧拉-拉格朗日方程出发，过渡到更具普适性的变分法。我们详细推导了庞特里亚金（Pontryagin）极大值原理，并将其应用于求解非线性系统的最优控制问题。这包括确定最优控制的开关特性，并讨论了等时最优控制和时间最优控制（如利用Bang-Bang控制）的求解路径。我们还阐述了哈密顿函数在状态和协态变量演化中的核心作用。 第四章：LQR 控制器设计与代数黎卡提方程 本章聚焦于线性二次型最优控制（LQR）问题。我们首先定义了二次型性能指标函数，随后通过变分法推导出必要的协同状态方程。关键的数学工具是代数黎卡提方程（ARE） 的推导和求解。本书提供了求解 ARE 的多种数值方法，包括牛顿法和Schur 法，并讨论了如何确保解的唯一性和稳定性。LQR 的设计不仅提供了最优反馈增益 $K$，还从能量角度解释了反馈系统的稳定性保证。 第三部分：奇异值分解在系统分析中的应用 奇异值分解（SVD）是贯穿全书的分析工具，本部分将 SVD 的强大能力应用于系统结构分析、模型降阶和鲁棒性评估。 第五章：系统分解与奇异值分解（SVD）的几何意义 本章深入探讨了奇异值分解的数学特性及其在系统理论中的几何解释。我们将 LTI 系统的输入-输出映射表示为一个线性算子，并通过 SVD 将其分解为正交变换和奇异值的乘积。我们详细分析了最大奇异值和最小奇异值对系统增益和对干扰敏感度的意义。重点讨论了如何利用 SVD 识别系统的本征模态，并解释了 SVD 如何揭示系统内部的耦合程度。 第六章：基于 SVD 的模型降阶技术 在处理高维或复杂系统时，模型降阶是至关重要的步骤。本章主要基于模态截断和平衡截断方法进行探讨。我们详细介绍了卡尔曼（Kalman）的平衡实现理论，该理论利用输入和输出 Gram 矩阵的平方根信息来确定系统的平衡态。通过将系统变换到平衡态，我们可以依据奇异值的大小直接判断哪些模态对系统动态响应贡献最小，从而实现最优的降阶。本章还讨论了Hankel 奇异值在预测系统阶次和评估降阶误差中的应用。 第四部分：鲁棒性分析与 H-无穷控制 本部分关注在存在不确定性（如模型误差和外部干扰）的情况下，如何设计出具有良好性能和高容错能力的控制器。 第七章：输入-输出增益与 $H_{infty}$ 范数 本章引入了$H_{infty}$ 范数作为衡量系统在所有可能频率上对干扰信号放大程度的指标。我们详细定义了系统的加权传递函数和$H_{infty}$ 范数的精确计算方法，通常依赖于奇异值谱。本章强调了三角不等式和小增益定理（Small Gain Theorem） 在鲁棒性分析中的应用，解释了系统稳定性在存在界限不确定性时的保持条件。 第八章：$H_{infty}$ 控制器设计 本章致力于求解 $H_{infty}$ 控制器，该控制器旨在最小化闭环系统 $H_{infty}$ 范数，从而满足特定的性能和鲁棒性指标。设计过程围绕求解一组互关联的黎卡提方程展开，即代数 Riccati 方程（用于求解状态反馈增益）和代数 Lyapunov 方程（用于求解观测器增益）。我们区分了全阶控制器设计和简化（降阶）控制器设计，并讨论了如何通过Bode 图分析和频率加权函数的选择来平衡性能和鲁棒性之间的权衡。 第五部分：数值算法与计算实现 本部分关注将上述理论转化为实际可操作的计算工具，重点是数值稳定性、效率和软件实现。 第九章：数值线性代数在控制中的应用 本章深入探讨了求解大型稀疏线性方程组和特征值问题的数值方法。重点包括迭代求解器（如 Krylov 子空间方法，包括 GMRES 和 Lanczos 算法）在处理大型控制系统矩阵时的优势。对于特征值问题，我们详细介绍了QR 算法的演变，以及如何利用 Arnoldi 迭代和 Davidson 方法来高效计算系统极点。此外，还讨论了矩阵指数的数值计算，如 Pade 近似法和 Scaling and Squaring 算法。 第十章：离散时间系统与数值仿真 控制系统的实际部署通常基于离散时间实现。本章将连续时间系统转换为离散时间系统的数值方法，包括零阶保持器（ZOH） 和一阶保持器（FOH） 的转换公式。我们分析了离散化过程中引入的量化误差和时间步长对稳定性的影响。最后，本章通过一个完整的案例研究，展示了如何使用现代数值库（如 LAPACK/BLAS 接口）来实现 LQR 求解器和 $H_{infty}$ 控制器的计算流程，强调了数值稳定性和计算效率的平衡。 --- 本书适合对象： 控制工程、航空航天、电力电子、机器人学等领域的工程师、研究人员以及高年级本科生和研究生。阅读本书需要具备扎实的线性代数、微分方程和基础控制系统理论知识。

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刚拿到《Operator Theory and Numerical Methods》这本书，书名本身就勾起了我强烈的探索欲望。作为一名在科学计算领域摸索多年的学生，我深知理论与实践的结合是多么重要。算子理论提供了描述数学对象之间变换关系的宏观视角，而数值方法则是将这些抽象关系转化为计算机可以执行的具体步骤的微观工具。我希望这本书能够帮助我理解，如何从算子理论的深刻洞察中，提炼出高效、稳定的数值算法。我设想书中会首先系统地介绍算子理论中的基本概念，例如算子范数、算子谱、算子在不同空间中的映射性质等等，并以清晰的数学语言进行阐释。紧接着，我期待作者能够非常自然地将这些理论概念与具体的数值方法联系起来。比如，如何利用算子的谱特性来分析和设计求解线性方程组的迭代算法，或者如何通过算子分解技术来加速求解大型稀疏系统的过程。我也希望书中能够深入探讨微分算子和积分算子的数值处理方法，例如，如何基于算子的平滑性或周期性来设计更优的离散化格式，以及如何利用算子迭代法来求解偏微分方程或积分方程。我特别关注书中是否会包含一些关于算子方程解的稳定性分析和误差估计的内容，因为这对于确保数值结果的可靠性至关重要。这本书的名字让我相信，它将是一本兼具理论深度和实践指导意义的力作，能够帮助我解决在数值模拟中遇到的实际问题。

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《Operator Theory and Numerical Methods》——这个书名，如同一道指向数学前沿的灯塔，吸引着我这位对理论与实践结合充满渴望的学习者。我一直在探索如何更深刻地理解和运用数学工具来解决现实世界中的复杂问题，而算子理论和数值方法恰恰是其中的关键。我满怀期待地认为，这本书将是一次严谨而富有启发性的旅程。我设想，作者会从算子理论的基础出发，深入浅出地介绍诸如Hilbert空间、Banach空间中的线性算子、自伴算子、紧算子等核心概念，并详细阐述它们的性质。更令我激动的是，“Numerical Methods”这个后缀，我渴望看到这些抽象的数学概念如何在数值计算中落地生根。例如，如何利用算子谱分析来指导特征值计算算法的设计，或者如何基于算子的特定性质来构建高效的迭代求解器，比如共轭梯度法或GMRES算法背后的算子理论支撑。我也希望书中能够探讨算子离散化技术，比如有限元方法、有限差分方法等，并揭示算子理论如何帮助我们理解和分析这些方法的收敛性和误差。此外，我特别关注书中是否会涉及一些在科学计算领域具有广泛应用的算子，例如积分算子、微分算子，以及它们在求解偏微分方程、积分方程等问题中的作用。这本书的名字让我坚信，它能够帮助我建立起一座坚实的桥梁，连接抽象的数学世界和生动的计算实践，让我能够用更强大的理论武器去攻克那些复杂而棘手的计算难题。

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这是一本名为《Operator Theory and Numerical Methods》的书，名字本身就散发着一股严谨、深刻的学术气息。作为一名对数学理论与实际应用都有着浓厚兴趣的研究者，我看到这个书名时，立即联想到了大量令人兴奋的可能性。我猜想，这本书的核心将围绕如何运用算子理论的强大工具来分析和解决各种数值计算问题。例如，在求解大型线性系统时，我们常常会遇到矩阵的特征值和特征向量问题，而这些本质上就是由某个算子在有限维空间中的表现。我希望书中能够深入阐述算子谱理论的原理，并展示如何利用这些理论来设计高效的特征值计算算法，比如QR算法的算子版本，或者基于投影的方法。同样，在处理微分方程时，微分算子扮演着核心角色，而它们的性质，例如自伴性、正定性等，直接决定了相应的数值方法的稳定性和收敛性。我期待书中能够详细介绍如何利用算子理论的洞察力，来构建更优化的离散化方案，例如，如何根据算子的一些全局性质来选择更合适的基函数，或者如何设计具有特定收敛阶数的数值格式。此外，我也对书中可能涉及的算子方程的迭代解法充满期待，例如，如何将算子分解技术应用于加速迭代求解器的收敛速度，或者如何利用算子级的方法来处理非线性问题。这本书的名字暗示了一种将高深的理论与实用的计算技术紧密结合的写作风格，这正是我所追求的。我想了解，那些在数学家手中玩转的抽象算子，是如何在计算科学家的手中，被转化成一行行能够求解真实世界难题的代码的。

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我刚拿到这本《Operator Theory and Numerical Methods》，名字就散发着一种严谨又充满挑战的气息。作为一个长期在科学计算领域摸爬滚打的人，我对“算子理论”和“数值方法”这两个词汇的组合，总是会产生一种莫名的敬畏感，同时也伴随着强烈的求知欲。我内心深处希望能在这本书里找到一些关于如何理解和处理无限维空间中问题的线索。毕竟，很多现实世界的问题，在经过数学抽象后，最终都会归结为在某种函数空间中的算子方程。而数值方法，则是我们工具箱里用来近似求解这些方程的关键。我期望书中能够清晰地阐述算子在函数空间中的具体形式，比如积分算子、微分算子，以及它们在各种物理和工程模型中的出现。更重要的是，我希望书中能够详细地介绍如何将这些算子转化为计算机可以理解和操作的离散形式。这通常涉及到离散化技术，比如有限元方法、有限差分方法等，而我特别想知道，算子理论的哪些特性可以指导我们选择更有效的离散化方案，或者如何分析这些离散化方法的收敛性和稳定性。我对书中可能涉及的谱方法也充满期待，这种方法直接利用算子本身的谱性质来求解问题，往往能够获得非常高的精度，尤其是在处理周期性边界条件或者光滑解的方程时。此外，我也希望书中能提供一些算法的伪代码或者实际的编程示例，这样我就可以亲手实践书中的理论，并观察它们的计算效果。我对如何将复杂的算子方程转化为一系列可执行的数值计算步骤，一直都感到好奇，而这本书的名字，似乎正是通往这个目标的钥匙。

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这部《Operator Theory and Numerical Methods》的书名，宛如两股精炼的数学思想洪流的交汇点，预示着一场关于抽象数学与实际计算的深度对话。我的研究方向需要我在处理涉及积分方程、微分方程以及动力系统时，拥有更深刻的理论洞察力和更精湛的数值求解技巧。因此，这本书的出现，就像是在我前进的道路上点亮了一盏明灯。我非常好奇书中是否会深入探讨诸如Fredholm算子、Volterra算子等在积分方程理论中的核心角色，并详细介绍如何利用数值方法，例如Nyström方法、Collocation方法等，来近似求解这些方程。同时，对于微分算子，我期望书中能够阐述其谱理论，以及如何通过数值手段，例如有限差分法、有限元法等，来逼近其特征值和特征向量，这对于理解和求解微分方程的边值问题和初值问题至关重要。我尤其关注书中是否会讨论算子方法在求解大型稀疏线性系统中的应用，因为在许多科学和工程领域，我们最终都需要面对这样的挑战。例如，如何利用算子迭代法，或者基于算子分解的方法，来高效地求解由离散化引起的庞大线性系统。我希望书中不仅仅是罗列算法，而是能够深入分析这些算法背后的数学原理，特别是它们如何与算子理论的某些特定性质相联系，从而解释为什么某些方法在特定的算子问题上表现出色。这本书的名字让我对作者能够将这些高深的数学概念，转化为一套系统、可操作的计算框架充满了信心，我渴望从中汲取力量，去解决那些困扰我已久的计算难题。

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《Operator Theory and Numerical Methods》——这书名，就像是打开了一扇通往数学深层奥秘的大门，又仿佛是搭建了一座连接抽象理论与具体实践的坚固桥梁。我一直在寻找能够帮助我更深入理解数学模型背后本质的书籍，而这本书名恰恰触及了我最感兴趣的领域。我设想，书中会首先建立坚实的算子理论基础，可能涉及Banach空间、Hilbert空间等泛函分析的概念，以及各种类型算子的定义和性质，比如线性算子、有界算子、紧算子、自伴算子等。接着，我期待作者能够非常巧妙地将这些理论工具应用于数值方法的构建和分析。比如，如何利用算子的谱分解来理解和求解偏微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性，以及如何将这种理解转化为高效的数值算法，如谱方法或伪谱方法。我也对书中是否会讨论算子方程的迭代解法感兴趣，特别是如何利用算子的几何性质或代数性质来设计收敛更快的迭代格式。这可能包括预条件子的构造，或者更高级的子空间迭代法。此外，我非常希望书中能够提供一些实际的应用案例，比如在量子力学中求解薛克尔方程，或者在计算流体力学中处理Navier-Stokes方程，展示算子理论如何指导我们选择合适的数值算法，以及这些算法在实际计算中的表现。这本书的名字让我对作者能够将那些高深的数学概念，转化为一套逻辑清晰、操作性强的计算框架充满了期待，我渴望从中获得指导，去解决那些我一直感到棘手的计算科学问题。

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当我看到《Operator Theory and Numerical Methods》这个书名时，一股兴奋感油然而生。这不仅仅是一个简单的书名，它更像是一种承诺，承诺将两种看似独立但又密不可分的高等数学分支——算子理论和数值方法——融为一体。我一直对算子理论的抽象美和其在描述数学对象之间关系上的普适性感到着迷，同时，我也深知数值方法在解决实际科学计算问题中的不可替代性。我期待这本书能够填补我在理解两者结合点上的知识空白。具体来说，我希望书中能够详细介绍算子理论中的一些核心概念，如算子谱、算子方程、算子方程的解的存在性和唯一性等，并且能够清晰地阐述这些概念是如何被应用于分析数值算法的。我尤其感兴趣的是，如何利用算子的性质来设计更高效、更稳定的数值算法。例如，如何根据算子的范数、条件数等信息来选择最优的迭代方法，或者如何利用算子的谱信息来设计更精确的离散化方案。我也希望书中能够包含一些具体的数值算法，并深入分析它们的数学原理，以及它们与算子理论之间的联系。例如，在求解大型线性系统时，迭代法常常是首选，而算子理论可以帮助我们更好地理解预条件子的作用，以及如何设计更有效的预条件子。这本书的名字让我相信，它将为我提供一套强大的理论工具和实践指导，帮助我更深入地理解和解决科学计算中的挑战。

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这本书的名字实在是太吸引人了，《Operator Theory and Numerical Methods》。我一直对数学和计算机科学交叉的领域充满兴趣，而这个书名恰好点中了我的“痒处”。我脑海中立刻浮现出各种复杂的数学模型，以及如何用高效的数值算法来解决它们。想象一下，能够将抽象的算子理论转化为实际可行的计算方法，这简直是理论与实践的完美结合。我特别期待书中能够深入探讨一些核心的算子概念，比如自伴算子、酉算子、紧算子等等，并详细阐述它们在数值计算中的应用。例如，如何利用算子分解的方法来求解大型线性方程组，或者如何用算子分裂技术来近似求解偏微分方程。而且，“Numerical Methods”这个部分也让我遐想联翩，我希望书中会涵盖一些经典的数值算法，比如迭代法、特征值计算、谱方法等等，并且重点讲解它们与算子理论的联系。我设想的理想场景是，书中会有一部分专门讲解如何根据算子本身的性质来选择或设计最优的数值算法，而不是简单地套用通用的数值方法。同时，我也希望作者能够提供一些实际应用的案例，比如在量子力学、流体力学、信号处理等领域，如何利用算子理论和数值方法解决实际问题。这样的内容不仅能加深我对理论的理解，还能让我看到数学工具的强大生命力。从书名来看，这本书应该是一本深度与广度兼具的作品，既有扎实的理论基础，又有丰富的实践指导，对于那些希望在数学和计算科学领域深入研究的读者来说，绝对是一本不容错过的佳作。我迫不及待地想知道书中是如何将这些看似遥不可及的理论概念，一步步地转化为解决现实世界难题的有力武器的。

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《Operator Theory and Numerical Methods》这个书名，光是听着就让人觉得充满了智慧的重量。在我个人的学习和研究过程中，算子理论一直是让我既着迷又感到有些遥不可及的部分。它描述了数学对象之间的一种“映射”或“变换”，其抽象性和普适性令人惊叹。而“数值方法”则是我日常工作中不可或缺的工具，它将那些精妙的数学理论转化为计算机可以执行的指令。所以，将这两者结合起来的书，自然勾起了我极大的兴趣。我设想这本书会带领我走进一个由函数空间、算子和算法构成的奇妙世界。我期待作者能够系统地介绍算子理论中的一些基本概念，比如算子范数、算子谱、算子代数等，并清晰地解释它们是如何被用于分析和理解数学问题的。更吸引我的是，“Numerical Methods”这个后缀，我希望书中能详细介绍如何将这些抽象的算子概念，通过离散化、近似等手段，转化为具体的数值计算算法。例如，如何利用算子的某些性质来设计高效的迭代求解器，或者如何分析不同数值算法在处理特定算子类型时的精度和收敛性。我特别希望书中能涵盖一些在偏微分方程、积分方程、以及优化问题中常见的算子，并展示如何利用算子理论的工具来指导数值方法的选择和改进。这本书如果能做到理论的严谨性和实践的可操作性并重，那将是对我极大的帮助。我想知道，那些在无限维空间中看似难以企及的数学真理，是如何通过精巧的数值算法，在有限的计算资源下，被一步步地揭示出来的。

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《Operator Theory and Numerical Methods》——这书名，如同一杯浓郁的咖啡，瞬间唤醒了我对数学深层奥秘的探求之心。在我看来，算子理论是描述系统行为的语言，而数值方法则是实现这些描述的工具。当两者结合，便能产生无穷的能量，解决现实世界中的难题。我迫切地希望这本书能够引导我深入理解算子理论的核心思想，例如，它如何抽象地描述各种数学变换，以及它在泛函分析中的重要地位。更重要的是，我期待书中能够详细阐述如何将这些抽象的算子概念转化为实际可行的数值算法。这可能涉及到算子离散化技术，如何将连续的算子转化为离散的矩阵或向量运算，以及如何分析这些离散化方法的收敛性和精度。我希望书中能够涵盖一些经典的数值算法，并从算子理论的视角来解释它们的原理和优势。例如，在求解大型稀疏线性系统时，迭代法是常用的手段，而算子理论可以帮助我们理解预条件子的作用机制，以及如何根据算子的性质来设计更有效的预条件子。我也对书中可能涉及的谱方法充满期待，这种方法直接利用算子的谱分解来求解问题，往往能获得很高的精度。这本书的名字让我坚信，它将是一次理论与实践的完美融合，能够为我提供解决科学计算挑战的有力武器。

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