具体描述
《高职高专基础课教材系列•高等数学及实验(上)》是在四川省综合教改课题和全国大学生数学建模竞赛组委会立项课题研究成果的基础上组织编写的。《高职高专基础课教材系列•高等数学及实验(上)》分上、下两册。上册包括函数的极限与连续、一元函数微分学、导数的应用、一元函数积分学、定积分的应用、常微分方程、无穷级数等7章。在函数的极限与连续、导数的应用、定积分的应用、常微分方程、无穷级数5章内容中各含一节数学实验，书后附有初等函数常用公式、MATLAB常用编辑键、MATLAB常用系统函数、积分表和习题答案。《高职高专基础课教材系列•高等数学及实验(上)》中标有*号的内容可作为选学内容。
本套教材可作为高等职业技术学院、高等专科学校、成人高校及本科院校的二级学院的本科生（少学时）的通用教材，也可作为数学建模培训、数学实验课程和经济、工程应用中的参考资料。
数学之窗：解析经典与前沿的思维之旅 内容提要 本书旨在为读者构建一个全面而深入的数学知识体系，重点聚焦于微积分、线性代数以及离散数学的基础理论、应用实例与计算方法。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在提升读者抽象思维能力、解决实际问题的能力，并为后续学习更高级的数学分支奠定坚实基础。本书不仅涵盖了传统高校数学课程的核心内容，更融入了现代数学与信息技术交叉领域的最新进展，以期展现数学的广阔魅力与强大生命力。 第一篇：微积分的基石与延展 本篇深入探讨了数学分析的起点——极限、连续性与导数。我们将从直观的几何背景出发，严谨地构建极限的 $epsilon-delta$ 定义，这是理解一切分析学概念的逻辑支柱。随后，我们将详细剖析函数的连续性、一元函数微分学的基本定理（如中值定理）及其在优化问题、函数图像描绘中的应用。 1.1 极限的严谨性与拓扑直觉 极限的概念是微积分的灵魂。本章不满足于计算技巧，而是着重于极限的严格定义及其性质。我们将探讨序列的收敛性、函数的左极限与右极限，并引入紧凑性和完备性的概念，解释为何实数系统能够在没有“空隙”的情况下支撑微积分的构建。对于不熟悉的读者，我们会提供直观的几何解释，例如用“捉迷藏”的方式理解 $epsilon-delta$ 过程，确保理论的坚固性与可理解性并存。 1.2 导数的本质与微分的艺术 导数不仅仅是斜率，它是瞬时变化率的数学表达。本章深入探讨导数的定义、求导的链式法则、乘法法则以及高等运算中的隐函数求导法。特别地，我们用微分的概念来统一积分与导数之间的关系。随后，我们将利用泰勒公式（Taylor Series）这一强大的工具，展示如何用多项式函数逼近任意光滑函数，这对于数值分析和工程近似至关重要。我们将对比费马点、罗尔定理、柯西中值定理，展示不同条件下函数的行为模式。 1.3 积分学的构建：从黎曼和到广义积分 定积分的引入将从几何意义（面积计算）开始，逐步过渡到严格的黎曼积分定义。本章细致分析了可积性的条件，并详细阐述了牛顿-莱布尼茨公式的推导与应用。随后，我们将视野扩展到定积分的技巧，包括分部积分法、三角代换等。更进一步，我们引入反常积分（Improper Integrals），讨论其收敛性的判断标准，这在物理学中的电磁场计算和概率论中的密度函数积分中扮演了核心角色。 1.4 多元函数微积分：空间的拓展 当变量增加时，函数的描述变得更加复杂。本篇引入偏导数、梯度（Gradient）、方向导数等核心概念。我们将深度解析多元函数的极值问题，运用二阶偏导数判别极值的性质（Hessian 矩阵的意义）。向量场的分析是本节的难点与重点，散度（Divergence）和旋度（Curl）的概念将被详细阐述，它们是连接微分与积分（如格林公式、斯托克斯公式）的桥梁。 --- 第二篇：线性代数的结构与应用 线性代数是现代科学的通用语言，它处理向量空间、线性变换以及矩阵的运算。本篇旨在揭示其内在的结构美感，并展示其在数据科学、工程控制中的实际威力。 2.1 向量空间与线性变换的抽象 本章从向量的线性组合、线性无关性入手，构建向量空间的概念。我们将讨论基（Basis）和维数（Dimension）的唯一性，这是理解复杂系统自由度的关键。随后，线性变换被引入，它通过矩阵表示，实现了从一个向量空间到另一个向量空间的映射。我们详细分析变换的核（Kernel）和像（Image），它们揭示了变换的“信息损失”和“信息保留”程度。 2.2 矩阵运算与行列式的判别 矩阵的加法、乘法遵循特定的代数规则。本章着重于矩阵的秩，以及如何通过初等行变换（Elementary Row Operations）将矩阵化为行阶梯形或简化行阶梯形（RREF），从而高效求解线性方程组。行列式的计算方法，特别是拉普拉斯展开，将被详细讲解，并强调行列式在判断矩阵可逆性（非奇异性）中的决定性作用。 2.3 特征值与特征向量：系统的核心频率 特征值问题是线性代数中最具洞察力的部分。我们讨论如何求解特征方程，以及特征向量所代表的“方向不变性”。本章的重点在于对角化（Diagonalization）：当一个矩阵可以被对角化时，计算其高次幂变得异常简单，这在动力系统的时间演化计算中至关重要。同时，我们将引入对称矩阵的正交对角化，这是傅里叶分析和主成分分析（PCA）的数学基础。 2.4 内积空间与正交性 在引入内积（如点积）后，向量空间获得了“长度”和“角度”的概念。本章重点介绍施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthonormalization），它能将一组基转化为一组正交基，极大地简化了投影和最小二乘问题的求解。 --- 第三篇：离散数学的逻辑与结构 本篇跳出连续分析的框架，探索有限结构、逻辑推理和组合的艺术。这些工具是计算机科学和算法设计的基石。 3.1 数理逻辑与证明的艺术 本章从命题逻辑和谓词逻辑的基本语法入手，介绍逻辑等价、充分必要条件等概念。我们将深入探讨数学证明的方法，包括直接证明、反证法、数学归纳法（对离散变量的强大工具）以及构造性证明。理解这些逻辑结构是确保算法正确性的前提。 3.2 集合论与关系 集合是数学的基本构件。本章复习集合的运算，并重点分析关系的类型：自反性、对称性、传递性。特别关注等价关系如何将集合划分为互不相交的子集，以及偏序关系在排序和依赖性分析中的应用。 3.3 组合数学：计数与概率的原理 本章专注于计算排列组合（Permutations and Combinations）。我们将详细推导二项式定理，并讲解鸽巢原理（Pigeonhole Principle）这一看似简单却威力巨大的证明工具。我们将通过具体实例，如图的路径计数、事件的发生概率计算，展示组合学在统计推断中的基础地位。 3.4 图论基础：网络与连接 图论是分析离散网络结构的核心。本章介绍图的基本术语：顶点、边、度。重点分析连通性、欧拉路径和哈密顿回路的存在性判据。我们将探讨树（Tree）作为无环连通图的特殊结构，并简要介绍最短路径算法（如Dijkstra算法）的数学思想。 结语 本书内容覆盖了从连续变化到离散结构的完整数学图景。通过对这些核心理论的系统学习，读者不仅将掌握复杂的计算技巧，更重要的是，将建立起一种强大的、能够适应多领域挑战的数学化思维模式。理解这些概念之间的内在联系，是通往更深层次科学探究的必经之路。
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