概率论与数理统计(上) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版时间:1900-01-01

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isbn号码:9787118026115

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统计学原理与应用：基础篇 第一章：数据的本质与描述 本章深入探讨统计学的核心——数据。我们将从最基础的层面开始，理解什么是数据，数据的不同类型（定性与定量，离散与连续）及其在实际问题中的代表意义。接着，重点聚焦于数据的整理与可视化。我们将学习如何运用频数分布表、直方图、茎叶图等工具，将原始、杂乱的数据转化为清晰、易于理解的结构。描述性统计量的概念将贯穿本章，包括集中趋势的度量（如均值、中位数、众数）和离散程度的度量（如方差、标准差、极差、四分位数间距）。本章旨在为读者建立一个坚实的基础，使其能够准确地“阅读”和描述一组数据的基本特征，为后续的推断奠定方法论基础。我们将通过大量的实际案例，演示如何通过恰当的可视化手段揭示数据中隐藏的模式和异常点。 第二章：概率论基础：随机事件与样本空间 在进入数理统计的殿堂之前，必须掌握概率论的基石。本章系统地介绍了随机现象的基本概念。我们首先界定样本空间、随机事件及其运算（并、交、差、补）。对事件的定义和表示是本章的重点。随后，我们将深入讲解概率的定义，包括古典概型、几何概型以及频率学派对概率的理解。条件概率和事件的独立性是概率论中至关重要的概念，我们将详细阐述贝叶斯定理，并分析其在逆向概率推断中的强大应用。通过对独立事件和互斥事件的深入辨析，读者将能准确判断随机试验中事件之间的内在联系。本章的练习将侧重于利用概率的加法原理、乘法原理和全概率公式解决复杂的组合与排列问题。 第三章：随机变量及其分布 本章将概率论从事件层面推进到数值量化层面，引入随机变量的概念。我们将严格区分离散型随机变量和连续型随机变量，并分别学习描述它们的数学工具：概率分布列（对于离散型）和概率密度函数（PDF，对于连续型）。累积分布函数（CDF）作为连接两者并用于计算任意区间概率的核心工具，将被详尽阐述。本章的核心内容包括对常见离散分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）和常见连续分布（如均匀分布、指数分布、正态分布）的数学特性、应用场景及其参数意义的深入剖析。期望（均值）和方差的计算及其性质，特别是线性变换对期望和方差的影响，将是理解随机变量特性的关键。 第四章：多维随机变量与联合分布 现实世界的问题往往涉及多个相互关联的随机变量。本章将视角扩展到多维空间。我们将学习如何描述两个或多个随机变量的联合分布（联合概率分布列或联合概率密度函数）。边缘分布的计算方法，即如何从联合分布中提取单个随机变量的分布，是本章的基础操作。更重要的是，本章将深入探讨随机变量之间的相互依赖关系：协方差和相关系数。我们将精确界定统计独立性与概率独立性的等价性，并分析独立随机变量在联合分布中的简化特性。对于连续型多维随机变量，本章还将涉及条件密度函数及其在建模复杂系统中的应用。 第五章：大数定律与中心极限定理 本章是连接描述性统计与推断性统计的桥梁，是整个统计学方法论的理论基石。我们将首先探讨描述数据分布的数学工具——矩的概念，特别是高阶矩（如偏度和峰度）对分布形状的刻画。随后，我们将系统地阐述描述大样本行为的两个核心定理：切比雪夫不等式（作为概率论的重要推论）展示了方差对随机变量波动的限制；大数定律阐明了样本均值收敛于总体均值的必然性。最终，本章的重头戏——中心极限定理（CLT）将被详细讲解。我们将说明，无论总体分布如何，只要样本量足够大，样本均值的分布将近似服从正态分布，这一发现是后续进行统计推断和假设检验的理论依据。本章将通过模拟和实际数据分析，直观展示CLT的强大威力。 第六章：抽样分布与统计量 在实际工作中，我们无法获取总体所有数据，只能依赖样本。本章关注如何从总体中抽取样本，以及这些样本所形成的统计量（如样本均值、样本方差）的分布情况，即抽样分布。我们将详细分析几种重要的抽样分布，包括基于正态分布推导出的卡方($chi^2$)分布、t分布和F分布，并明确它们各自的应用场景（如方差的推断、方差比的分析）。本章将特别强调样本均值 $ar{X}$ 的抽样分布，结合前一章的CLT，读者将掌握在不同总体假设下如何确定 $ar{X}$ 的分布形态，从而为接下来的区间估计和假设检验做好准备。

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这本《应用随机过程：金融建模视角》的实用性远远超出了我的预期。我原本以为它会是一本偏重理论推导的教科书，但实际上，它更像是一本高级应用手册。书中对布朗运动的各种变体，比如几何布朗运动、跳跃扩散模型（Jump-Diffusion Models），都有非常详尽的离散化和数值模拟方法介绍。作者特别擅长将抽象的随机微分方程（SDEs）与实际的金融衍生品定价问题联系起来。例如，在处理期权定价时，书中不仅介绍了布莱克-斯科尔斯公式的推导，还专门用一章的篇幅讨论了如何使用蒙特卡洛模拟法来估计带有障碍或提前行权特征的复杂期权价值，并详细比较了不同采样策略和方差缩减技术的效率差异。书中的例子代码（虽然是用MATLAB写的，但思路很通用）清晰地展示了如何将理论模型转化为可执行的计算方案。这本书的价值在于，它成功搭建了纯粹的概率论和华尔街实际操作之间的坚实桥梁。

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我最近在整理我的数理逻辑和集合论笔记，无意中翻到了这本《公理化系统的严格性与局限》。这本书的风格非常古朴，充满了对数学哲学基础的深刻反思，读起来有一种探索数学“根基”的感觉。它没有直接涉及复杂的计算，而是专注于证明论和模型论的核心思想。书中对哥德尔不完备性定理的阐述极为透彻，它不仅仅是简单地给出定理的结论，而是从皮亚诺算术的语言形式化入手，一步步构建出“自我指涉”的构造，最终展示了为什么任何足够强大的形式系统都必然包含不可判定的命题。此外，作者对策谋集合论（ZFC）的构造也给予了极大的重视，对选择公理（Axiom of Choice）的必要性和争议性进行了长篇的辩证分析。这本书的阅读体验更像是与一位老派的数学家进行深入的对话，它强迫你审视自己所依赖的那些看似不证自明的数学“真理”，对于培养严谨的批判性思维非常有益。

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我最近在研究非线性动力学，急需一本能系统介绍相空间分析和混沌理论的入门读物，结果发现了这本《复杂系统中的几何拓扑》。这本书的叙述风格极其严谨，带着一股浓郁的欧陆数学传统风味，对于习惯了美式教材那种“先给你工具，再告诉你用法”的读者来说，可能需要适应一下。它开篇就花了大量篇幅铺垫微分流形和李群的基础知识，这部分内容虽然扎实，但对初学者来说门槛确实偏高，我几乎是带着本科阶段的拓扑学笔记才勉强跟上的。然而，一旦跨过这道坎，书中关于吸引子结构（Strange Attractors）的讨论就展现出无与伦比的深度了。作者没有满足于简单的洛伦兹吸引子图示，而是深入挖掘了其内在的庞加莱截面性质和分岔图的构建原理。特别是关于拓扑共轭性的章节，它清晰地揭示了为什么两个看似完全不同的动力学系统，在宏观行为上却表现出惊人的一致性。这本书的参考文献列表也非常权威，引用了很多近二十年的高水平期刊论文，适合作为研究生阶段的进阶参考书。

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读完《量子信息与计算的数学基础》，我感到非常震撼，它彻底颠覆了我对传统线性代数应用场景的认知。这本书的重点完全聚焦于如何用高维希尔伯特空间中的张量积和算符代数来精确描述量子态的演化和测量。作者在开篇就巧妙地引入了量子比特（Qubit）的概念，并立刻将其嵌入到$mathbb{C}^2$向量空间中，这种开门见山的方式效率极高。最精彩的部分莫过于对Shor算法和Grover算法的详细推导过程，书中不仅展示了量子傅里叶变换（QFT）在线性代数层面上的操作，更重要的是，它清晰地阐述了这些操作如何利用量子叠加态的相位信息实现指数级的加速。书中对量子纠缠的描述也极为细致，它将纠缠的概念与非分离态（Non-Separable States）联系起来，并通过纠缠熵的概念量化了信息的“不可复制性”，这远比那些流行的科普读物描述得深刻和精确。对于任何想深入了解量子计算底层逻辑的人来说，这本书提供的数学框架是无可替代的。

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这本《高阶微积分探索》简直是为那些真正想把数学思维提升到新境界的读者量身定做的。我花了整整一个月的时间才啃完这本书的前半部分，感触颇深。作者在阐述极限和连续性的章节中，并没有采用那种枯燥乏味的公式堆砌，而是巧妙地融入了大量几何直觉和物理模型的类比。比如，他用流体力学中关于物质守恒的直观图景来解释为什么某些函数在特定点上必须连续，这比单纯看 ε-δ 语言要容易理解和接受得多。更让我印象深刻的是，书中对泰勒展开式的探讨，它不仅仅是一个求近似值的工具，作者花了整整两章的篇幅去讨论它在数值分析和微分方程解析解中的深层意义，甚至涉及到了超函数理论的雏形。这本书的习题设计也非常精妙，它们不是那种简单套公式就能解决的，很多都需要读者进行创造性的推理，有些甚至需要结合编程语言进行仿真验证，极大地锻炼了我的问题解决能力。看完这部分内容，感觉自己对“无限”这个概念的理解都有了质的飞跃，不再是空泛的符号，而是具体可感的、可以被操作的对象。

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