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出版者:科学出版社

作者:黄明游

出品人:

页数:151

译者:

出版时间:2004-6

价格:25.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030129574

丛书系列:现代数学基础丛书

图书标签:

• 数值计算
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 有限差分法
• 有限元法
• 数值分析
• 科学计算
• 数学模型
• 计算方法
• 工程计算

现代控制理论：多维系统与鲁棒性分析 图书简介 本书深入探讨了现代控制理论的核心概念与前沿进展，聚焦于多维复杂系统的建模、分析与设计，以及系统鲁棒性的量化与实现。面向控制工程、系统科学、自动化以及相关工程领域的研究人员、高级本科生和研究生，本书旨在构建一个严谨而实用的理论框架，使读者能够驾驭高维、不确定性环境下的工程挑战。 第一部分：复杂系统的数学基础与状态空间建模 本部分奠定了分析复杂系统的数学基础。我们首先回顾了线性代数、微分方程在系统描述中的关键作用，特别是特征值、奇异值分解（SVD）在理解系统结构上的应用。 1.1 线性定常系统的状态空间表示： 详细阐述了连续时间系统和离散时间系统的标准状态空间模型 $dot{mathbf{x}} = mathbf{Ax} + mathbf{Bu}$ 和 $mathbf{x}_{k+1} = mathbf{Ax}_k + mathbf{Bu}_k$。重点讨论了系统的能控性和能观性判据，这对于系统辨识和控制器设计至关重要。引入了可约化性（Reducibility）的概念，探讨如何通过相似变换简化系统矩阵，揭示系统的慢模态和快模态。 1.2 多输入多输出（MIMO）系统的分析： 区别于单输入单输出（SISO）系统，MIMO系统引入了耦合和交互作用。我们利用输入输出线性化技术处理非线性系统的部分线性化问题，并详细分析了零输入极点配置和零输出极点配置在多维系统解耦中的应用。此外，探讨了如何利用输入/输出传递函数矩阵的矩阵微分因子分解来分析系统的内部结构和频率特性。 1.3 线性系统的稳定性理论： 不仅仅停留在李雅普诺夫稳定性定义，本书深入探讨了Schur稳定性（针对离散系统）和Hurwitz稳定性（针对连续系统）。利用代数黎卡提方程（ARE）和代数贝拉曼方程（Algebraic Lyapunov Equation）的解来判定系统内部稳定性，并引入了频率响应分析（如Nyquist图和Bode图）在多维系统增益裕度和相位裕度评估中的扩展应用。 第二部分：现代控制器的设计与优化 本部分聚焦于如何基于系统模型设计有效的反馈控制器，以实现期望的性能指标。 2.1 状态反馈与观测器设计： 详述了极点配置技术，并将其推广到多自由度系统的设计中。引入了极点配置算法，特别是针对结构化模型（如部分可控系统）的解决方案。在观测器设计方面，详细介绍了卡尔曼-贝尔曼（Kalman-Bucy）滤波器的推导及其在随机噪声环境下的最优估计作用。对比了经典Luenberger观测器与卡尔曼滤波器的性能差异和应用场景。 2.2 最优控制：LQR/LQG方法： 线性二次型最优控制（LQR）是现代控制的核心。本书详细推导了使二次型性能指标最小化的状态反馈增益 $mathbf{K}$ 的求解过程，这依赖于求解连续或离散的黎卡提方程。在此基础上，结合卡尔曼滤波器，构建了线性二次高斯（LQG）控制器，实现了在随机扰动下最优状态估计与最优控制的结合。讨论了LQG设计的L-Q解耦性质。 2.3 模型简化与降阶技术： 实际工程系统通常具有高阶特性，计算复杂。我们探讨了模态分析在降阶中的作用。重点介绍模态截断法和基于Hankel奇异值的模态近似法（如Balanced Truncation），旨在保留系统最重要的动态信息，以简化控制器设计和实时计算的负担。 第三部分：鲁棒性分析与不确定性处理 现代系统不可避免地存在模型误差和外部扰动。本部分集中于如何设计在不确定性下仍能保持性能的控制器。 3.1 结构化与非结构化不确定性： 定义了系统的不确定性模型，包括参数不确定性（如系数的微小变化）和动态不确定性（如未建模动态或传感器误差）。引入了小增益定理（Small Gain Theorem）作为分析系统闭环稳定性的基础工具。 3.2 $mathcal{H}_2$ 和 $mathcal{H}_{infty}$ 控制理论： $mathcal{H}_2$ 控制： 关注于最小化系统对白噪声输入的均方响应，本质上是LQG方法的延伸，侧重于对随机扰动的抑制。 $mathcal{H}_{infty}$ 控制： 侧重于最小化系统对最坏情况外部扰动（包括噪声和未知输入）的最大增益。本书详细推导了基于广义系统（Generalized System）的$mathcal{H}_{infty}$控制器设计过程，其核心在于求解一对差分不等式（Differential Inequalities）或代数不等式（Algebraic Inequalities）。这种方法提供了明确的性能指标（衰减因子 $gamma$）。 3.3 鲁棒稳定性判据： 探讨了圆稳定性判据和区间矩阵稳定性分析，特别是如何利用闭合包络（D-contour）来评估参数微小变化对特征值位置的影响。对于非线性系统，引入了增量二次型李雅普诺夫函数来保证局部鲁棒性。 第四部分：非线性系统的反馈设计与先进主题 本部分过渡到更具挑战性的非线性系统领域，并探讨了现代控制中的热点方向。 4.1 反馈线性化与滑模控制： 反馈线性化（Feedback Linearization）： 详细介绍利用微分几何工具（如李导数和接触形式）将系统转化为线性形式的步骤，包括输入状态线性化和输出线性化，以及其局限性（如精确模型依赖性）。 滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）： 针对强外部扰动和模型不确定性，SMC提供了一种高度鲁棒的控制策略。深入分析了滑模面设计、切换函数的选择以及等效控制（Equivalent Control）的计算。同时，讨论了如何利用边界层技术（Boundary Layer）来减轻高频切换带来的抖振问题。 4.2 模型预测控制（MPC）： 作为一种前瞻性的控制方法，MPC在约束处理上具有无可比拟的优势。详细解释了MPC的核心——在线优化问题的构建，包括目标函数、状态约束和输入约束的处理。讨论了滚动时域和重复求解的计算复杂性，并介绍了线性化MPC（LMPC）和二次规划（QP）求解器的应用。 4.3 控制器的可实施性与量化： 强调了理论设计向实际工程落地的关键步骤。讨论了有限精度算术对数字控制器性能的影响，以及如何进行控制器增益的饱和处理和量化误差分析。引入了安全关键系统中对控制系统进行形式化验证的基本思想。 本书力求理论深度与工程实用性的平衡，通过清晰的数学推导和丰富的实例分析，为读者掌握现代控制系统的设计与分析工具提供坚实的阶梯。

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说实话，这本书的深度和广度都超出了我的预期。我原本以为它会集中在传统的差分方法，但没想到对现代的、更高效的数值技术也有相当详尽的论述。比如，关于时间步长限制的讨论，作者不仅提到了CFL条件，还结合了具体的物理扩散系数，给出了一个非常精细的分析，这使得我们在进行瞬态问题模拟时，能够更精确地控制计算成本和结果的稳定性。对于那些专注于非线性问题的读者，书中关于牛顿法、拟牛顿法在求解离散化方程组中的收敛加速策略的阐述，可以说是教科书级别的。更难能可贵的是，作者似乎非常了解读者的知识背景，在引入复杂数学工具（如 Sobolev 空间或 Green 函数）时，总会附带一个简短的背景回顾，这极大地降低了跨学科学习的门槛。唯一的小遗憾是，关于随机微分方程的数值解法部分可以再增加一些案例，但瑕不掩瑜，这本书在发展方程的数值求解领域无疑是一部重量级的参考著作。

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这本书的编写风格显得非常务实且注重工程实现细节，这在很多偏重理论推导的教材中是比较少见的。我特别欣赏作者在每介绍完一种新的数值格式后，都会紧接着讨论其在计算机实现过程中可能遇到的陷阱，比如矩阵的病态问题和大规模线性系统的求解效率。例如，书中关于有限差分法中如何巧妙处理内点和边界点的索引映射关系，给出了清晰的伪代码示例，这比单纯的数学描述要实用得多。此外，书中对于守恒律方程（如对流-扩散方程）的数值处理，着重强调了通量守恒的重要性，并对比了迎风格式和中心差分在保持物理量守恒方面的优劣，这体现了作者对物理背景的深刻理解。虽然我对某些涉及自适应网格加密（AMR）算法的章节理解得不够透彻，但即便只是掌握了其基本思想，也对我在处理间断性解的数值模拟时大有裨益。总而言之，这本书为我们提供了一套从理论到实践的完整路线图。

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这本《发展方程数值计算方法》的书，说实话，我从头到尾翻了好几遍，感觉作者在对偏微分方程（PDEs）的数值解法这一块，真是下了不少功夫。特别是对于那些复杂边界条件下的求解策略，书中给出的详细推导过程，让人感觉豁然开朗。比如，在处理非线性扩散问题时，作者并没有停留在表面的差分格式介绍，而是深入探讨了迭代方法的收敛性分析，这一点对于我们实际应用中选择合适的步长和容忍度至关重要。我记得有一章专门讲了有限元方法（FEM）在处理高维问题时的网格划分策略，那张图表绘制得非常清晰，直观地展示了不同网格对计算误差的影响。书中对于算例的选择也很有代表性，既有理论性很强的教学案例，也有贴近工程实际的物理模型，这使得我们不光能学到“怎么算”，更能理解“为什么要这么算”。总的来说，对于已经有一定数学基础，想深入研究数值方法的读者来说，这本书绝对算得上是案头必备的工具书，它提供的不仅仅是公式，更是一种严谨的思维框架。

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读完这本书后，我最大的感受是作者在内容组织上的匠心独运。它不像很多教科书那样堆砌公式，而是采用了循序渐进的方式，从最基础的常微分方程（ODEs）的数值积分开始，逐步过渡到更具挑战性的发展方程。尤其让我印象深刻的是关于时间离散化方法的比较分析，例如显式、隐式以及Crank-Nicolson格式，作者不仅仅罗列了它们的公式，还从稳定性和精度两个核心维度进行了深入的对比，并且用一些半定性的语言描述了各自的适用场景。这对于我这种需要快速判断在特定物理背景下应采用何种数值格式的研究人员来说，提供了极大的便利。书中对算子分裂法的介绍也相当到位，它清晰地展示了如何将一个复杂的、多项耦合的方程分解成若干个易于求解的子问题，这种“化繁为简”的思路在算法设计中体现得淋漓尽致。尽管某些章节涉及到的傅里叶分析和谱方法的数学推导略显深奥，但作者总能适时地穿插一些直观的几何解释，使得抽象的概念得以落地，非常适合需要将理论应用于实际模拟工作的工程师和研究生。

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这本书给我最大的启发在于它对“误差分析”的重视程度。作者并不是简单地告诉我们“这个方法精度是二阶的”，而是会深入剖析误差是如何随时间步长和空间步长的变化而演化的，这种对误差的量化和控制，是区别于初级教材的关键。特别是在讨论时间离散化对解的振荡行为的影响时，书中的图示非常生动地揭示了数值弥散和数值色散这两种不同类型的误差是如何在解中体现出来的。对于那些需要处理对稳定性要求极高的流体力学或波动方程问题的读者来说，书中关于Von Neumann稳定性和等价性分析的章节，绝对是必须精读的部分。它教会我们如何从数学上预判一个数值方案是否“靠谱”，而不是仅仅依赖于运行结果的好坏。这种从根本上理解数值方法的内在机理的视角，使得本书的价值远远超过了一本单纯的“算法手册”，它更像是一本关于“如何科学地解方程”的哲学指南。

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