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出版者:科学出版社

作者:黄燕苹

出品人:

页数:162

译者:

出版时间:2012-7

价格:25.00元

装帧:平装

isbn号码:9787030350862

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拓扑的奇妙旅程：从欧拉到庞加莱 本书简介 一 本书并非一部关于折纸艺术或数字几何的普及读物，它是一次严肃而深入的数学探险，聚焦于拓扑学这一迷人而深奥的分支。我们将带领读者穿越时空，追溯拓扑学思想的起源，考察其在不同数学领域中的演进，并最终抵达现代研究的前沿。 拓扑学，常被戏称为“橡皮膜几何学”，其魅力在于它关注的是形状在连续形变下保持不变的性质。想象你手中的一个甜甜圈和一个咖啡杯，虽然外形迥异，但拓扑学家会告诉你，它们本质上是等价的——因为它们都只有一个“洞”。本书将从这一基本直觉出发，系统性地建立起严谨的数学框架。 我们将从欧拉的七桥问题开始，这是拓扑学公认的诞生地。我们不会停留在简单的连通性分析，而是会深入探讨图论（Graph Theory）的基础，并引入欧拉示性数（Euler Characteristic）的概念。这个简单的整数，$chi = V - E + F$（顶点数减去边数再加面数），蕴含着关于曲面拓扑结构的最核心信息。我们会详细剖析这个示性数是如何在不同多面体投影中保持不变的，并解释其与高斯-博内定理（Gauss-Bonnet Theorem）之间深刻的几何-拓扑联系，尽管后者通常被视为微分几何的范畴，但其根基牢牢扎在拓扑不变量之上。 二 本书的第二部分将转向流形（Manifolds）的理论。流形是拓扑学的核心研究对象，它们局部看起来像欧几里得空间，但整体结构却可能极其复杂。我们将从一维（曲线）和二维（曲面）流形入手，探讨嵌入（Embedding）、同胚（Homeomorphism）和同伦（Homotopy）的概念。 对于曲面，我们将进行详尽的分类。这不是对美观形状的简单罗列，而是基于可定向性（Orientability）和亏格（Genus，即“洞的数量”）的严格分类。读者将学习如何利用嵌入定理（如Whitney嵌入定理的某些特例）来理解这些曲面如何在三维空间中存在。我们还会引入曲面的基本群（Fundamental Group），这是代数拓扑学的第一个重要工具。基本群 $pi_1(X)$ 捕获了空间中“环路”的缠绕信息。我们会计算圆、球面、环面（Torus）以及射影平面（Projective Plane）的基本群，并清晰阐释为什么射影平面不是可定向的——这需要对法向量场的消失有深刻的理解。 三 代数工具的引入是拓扑学从直观几何走向现代数学的关键一步。本书的第三部分将集中于同调理论（Homology Theory）的构建。我们认为，基本群虽然强大，但在计算和组合方面存在困难（例如，它通常是非阿贝尔群）。同调理论则提供了一套更具组合性和计算性的工具。 我们将从单纯复形（Simplicial Complexes）开始，定义链群（Chain Groups）、边界算子（Boundary Operators）和循环群（Cycles）。通过精确地构建同调群 $H_n(X)$，我们将展示如何将复杂的拓扑空间简化为一系列易于计算的阿贝尔群。对于一个二维流形，其第二同调群 $H_2(X)$ 将直接给出其亏格的信息（在特定条件下）。我们将详细推导球面的所有同调群，并将其与布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed-Point Theorem）联系起来，展示同调是如何作为强大的存在性证明工具的。 四 本书的最后部分将把视野拓展到更高维度的空间，并引入庞加莱对偶性（Poincaré Duality）和截断拓扑（Cutting and Pasting Topology）。 我们不再局限于可定向流形，而是要面对更一般的情况。庞加莱对偶性揭示了流形中不同维度的同调群之间的惊人对称性：对于一个 $n$ 维紧致、连通、可定向流形 $M$，其第 $k$ 个同调群与第 $n-k$ 个同调群之间存在一个同构映射。我们将用清晰的、非纯代数的语言来解释这种对称性的几何意义。 此外，我们还将探讨纤维丛（Fiber Bundles）的概念，这是连接拓扑学、微分几何和物理学的桥梁。我们将简要介绍斯蒂芬-惠特尼捆绑定理（Steenrod-Whitney Bundling Theorem）的精髓，以及如何使用陈类（Chern Classes）来区分那些局部看起来相同但整体结构不同的空间，比如区分$mathbb{R}^4$中不同类型的向量丛。 结语 本书的读者群体需要具备坚实的线性代数和群论基础。我们不提供彩色的图示或趣味性的故事，我们提供的是清晰、严谨的数学推导和深刻的洞察力。阅读本书，将使您能够真正理解拓扑学从几何直觉到现代抽象代数语言的完美过渡，领略数学家如何用不变的数量和结构来描述宇宙的形状。这本书旨在培养读者在面对未知的复杂结构时，能够运用拓扑不变量的思维去进行分析和分类的能力。

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我一直对那些能够激发人们思考和探索的书籍抱有极大的兴趣，而《折纸与数学》这本书无疑满足了我这一点。在我翻阅这本书之前，我对折纸的认识仅限于简单的手工制作，而数学对我来说，则一直是遥远且抽象的学科。然而，这本书却以一种令人惊喜的方式，将两者紧密地联系在一起，为我打开了一个全新的世界。书中对“角平分线”和“垂直平分线”在折纸中的应用的阐述，让我看到了几何学基本原理是如何通过简单的折叠得以体现。我尤其喜欢书中对“米乌拉折叠”的介绍，它通过一种高效且紧凑的折叠方式，将巨大的面积压缩到极小的空间，这种数学上的巧妙设计让我叹为观止。我尝试着书中介绍的几个模型，每完成一个，都伴随着一种对隐藏在其中的数学逻辑的豁然开朗。它让我意识到，数学并非只是存在于课本中的抽象概念，而是实实在在地存在于我们周围的物质世界中，并且能够以一种充满美感的方式呈现出来。这本书让我对数学产生了前所未有的兴趣，也重新发现了折纸的乐趣。

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收到这本书的时候，我正沉浸在一种对生活感到略微乏味的境地，总觉得缺少了点什么。而《折纸与数学》恰好填补了这份空缺，它不仅仅是一本书，更像是一种邀请，邀请我去重新审视那些被我们忽略的日常细节。我一直认为自己是个数学“白痴”，对数字和公式总是敬而远之，但这本书却颠覆了我的认知。它用一种极其巧妙的方式，将折纸艺术与数学原理巧妙地结合在一起。我尤其喜欢书中对“折痕生成”部分的阐述，它解释了如何通过一系列精确的折叠，创造出具有复杂结构和美感的折纸模型。这些折叠过程，就像是在纸上进行一场数学计算，每一步都精确无误，最终的结果则是一个令人惊叹的几何实体。我尝试书中介绍的几个比较简单的模型，比如经典的“纸鹤”和“小船”。在折叠的过程中，我逐渐体会到了对称性在其中的重要作用，以及角度的微妙变化如何影响最终的形态。书中的插图非常清晰，每一个步骤都配有详细的图示，让我即使是初学者也能轻松上手。更让我惊喜的是，这本书还触及了一些更高级的数学概念，比如“马约拉纳折叠”和“索菲·热尔曼恒等式”在折纸中的应用，虽然我无法完全理解其深奥之处，但这种跨领域的联系本身就足以令人着迷。它让我看到，数学并非只存在于课本和黑板上，它也隐藏在指尖的每一次折叠之中，是构建美学的内在逻辑。这本书让我对数学产生了前所未有的兴趣，也让我重新发现了折纸的奇妙之处。

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《折纸与数学》这本书的封面设计就足以引人注目，它散发着一种沉静而又充满智慧的气息。当我阅读这本书时，我才真正认识到折纸艺术背后所蕴含的深刻数学原理。书中不仅仅是简单地教授折纸技巧，更重要的是，它将抽象的数学概念，如几何学、拓扑学，甚至是一些前沿的数学研究，以一种生动有趣的方式呈现出来。我特别欣赏书中对“折痕映射”的讲解，它将每一个折痕视为一种数学变换，通过对这些变换的理解，就能创造出无数令人惊叹的折纸模型。我尝试着书中介绍的“折纸立方体”，每一个折叠步骤都充满了挑战，但当我最终完成时，那种成就感是无与伦比的。它让我深刻理解了“对称性”在几何学中的重要性，以及如何通过精确的折叠来构建完美的对称结构。这本书让我看到了数学的无限可能性，以及它如何能够以一种艺术化的方式表达出来。它不仅仅是一本关于折纸的书，更是一本关于如何用数学的眼光去观察和理解世界的指南。

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对于《折纸与数学》这本书，我的评价是，它是一本能够彻底颠覆你对折纸和数学认知的绝佳读物。在我收到这本书之前，我一直认为折纸只是一种消遣性的手工活动，而数学则是艰深晦涩的学术领域，两者之间鲜有交集。然而，这本书却以一种极其令人信服的方式，将这两个看似无关的领域巧妙地融合在一起，为我展现了一个充满无限可能性的新世界。书中对“点”、“线”、“面”在折纸过程中的作用的深入解析，让我对几何学的基本原理有了前所未有的深刻理解。我印象最深刻的是书中对“高斯环面”的折纸构建的讲解，它通过一系列复杂的折叠，将一个看似不可能的数学曲面在纸上得以完美呈现，这个过程让我为之惊叹。我尝试着书中介绍的几个模型，每完成一个，都伴随着一种对隐藏在其中的数学逻辑的豁然开朗。它让我看到，数学不仅仅是冰冷的数字和公式，更是构建我们周围世界形态和规律的内在逻辑。这本书不仅仅教会了我如何折纸，更重要的是，它让我看到了数学在艺术、设计乃至科学研究中的广泛应用，以及它如何能够激发我们的创造力和想象力。

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我购买《折纸与数学》这本书，很大程度上是出于对“数学”二字的敏感。在我过去的学生时代，数学一直是我的“软肋”，总是觉得它抽象且难以捉摸。然而，这本书却以一种我从未想过的方式，将我与数学重新连接起来。书中对折纸过程的解析，不仅仅是简单的步骤指导，更像是在揭示每一个折叠动作背后所蕴含的数学规律。我印象最深刻的是书中对“刘辉分割”在折纸中的应用的介绍，它通过纸张的折叠，将一个复杂的数学问题分解成一系列简单易懂的几何操作，让我这个曾经对数学望而却步的人，也感到了一种前所未有的亲切感。书中对“等边三角形”和“正方形”在折纸中的作用的阐述，让我看到了几何学基础知识是如何构建起复杂的折纸模型。我尝试着书中介绍的几个模型，每一个完成的瞬间，都伴随着一种“原来如此”的惊喜。它让我意识到，数学不仅仅是纸面上的公式，它更是存在于我们触手可及的物质世界中的规律。这本书为我提供了一个全新的视角去理解数学，让我不再惧怕它，反而充满了探索的兴趣。

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第一次接触《折纸与数学》这本书，纯粹是被它独树一帜的书名所吸引。在我看来，折纸更多是一种手工艺，而数学则是严谨的学科，两者之间似乎并无太多交集。然而，这本书彻底颠覆了我的固有认知。它以一种极其巧妙的方式，将折纸的乐趣与数学的奥秘相结合，为我打开了一个全新的视角。书中对“折痕”的阐述尤为精彩，作者将每一个折痕视为一个数学概念的体现，比如角度、对称性、以及特定的几何变换。我尤其喜欢书中对“折纸多项式”的介绍，它通过纸张的折叠，直观地展示了数学公式的生成过程，让我这个数学“门外汉”也感受到了一种奇妙的共鸣。我尝试着书中介绍的几个模型，从最基础的“纸飞机”到相对复杂的“折纸盒子”，每完成一个模型，都伴随着一种豁然开朗的欣喜。它让我体会到，数学并非只是枯燥的计算，它也蕴含着美学和创造力。书中对“黎曼猜想”在折纸领域的潜在联系的探讨，虽然我无法完全理解其深奥之处，但这种跨学科的连接本身就足以令人惊叹。这本书让我看到了数学的无限可能性，以及它如何能够以一种艺术化的方式呈现出来。

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坦白说，我买这本书纯粹是出于好奇。在我的认知里，折纸就是小孩子玩的过家家，而数学则是深奥难懂的学问，两者似乎八竿子打不着。然而，《折纸与数学》这本书彻底改变了我这种刻板印象。它不仅仅是一本教你如何折纸的书，更像是一本探索折纸背后数学世界的奇幻地图。书中以一种非常直观的方式，将抽象的数学概念具象化。例如，在讲解“多边形展开图”时，书中通过折纸的步骤，清晰地展示了一个三维立体图形是如何通过折叠和展开而形成。我特别喜欢书中对“谢尔宾斯基三角形”的介绍，它通过简单的折叠操作，就能构建出这个在分形几何中极为重要的图形。这个过程让我深刻体会到，一个简单的重复规则，是如何能够衍生出如此复杂而又充满规律的美丽图形。书中的语言风格非常平实易懂，即使是对于那些对数学不甚了解的读者，也能轻松理解其中的奥秘。我尝试按照书中的指示，一步一步地去折叠，每一次成功完成一个模型，都带给我巨大的成就感，同时也伴随着一种对隐藏在其中的数学原理的惊叹。它让我看到，数学不仅仅是理性的计算，它也具有艺术的美感和创造的可能。这本书真的让我觉得，数学无处不在，只要我们留心观察，就能发现它隐藏在生活中的各种精彩之处。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够将不同领域知识融会贯通的书籍情有独钟，而《折纸与数学》恰恰就是这样一本令人惊喜的作品。在我拿到这本书之前，我对折纸的认知仅限于简单的动物模型，而数学对我来说，也仅仅是高中时代留下的模糊印象。然而，这本书让我看到了一个全新的世界。书中以一种非常生动有趣的方式，将抽象的数学概念与实际的折纸操作相结合。我印象最深刻的是关于“卡拉比-丘晶体”的讲解，书中通过一系列复杂的折叠步骤，演示了这个在数学和物理领域都备受瞩目的结构是如何被创造出来的。这个过程不仅仅是技术的展示，更是一种对数学逻辑和空间思维的深度探索。我尝试着书中介绍的一些模型，每一个步骤都要求精确度，而正是这种精确度，让我开始理解数学的严谨性。书中对于“点”和“线”在折纸过程中的定义，以及它们如何通过“折叠”这个动作相互关联，让我对几何学的基本原理有了更深刻的体会。它让我明白，数学不是冰冷的数字，而是充满生命力的规则，是创造无限可能性的基石。这本书不仅仅是教我如何折纸，更重要的是，它让我看到了数学在艺术和设计中的应用，以及它如何能够激发我们的创造力。

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拿到《折纸与数学》这本书，我本以为它会是一本偏向于手工教学的书籍，但翻开之后，我才发现它的深度远超我的想象。它不仅仅是关于折纸技巧的讲解，更是一本深入探索折纸背后数学原理的百科全书。书中以一种非常直观且富有启发性的方式，将复杂的数学概念，如几何学、拓扑学，甚至是一些高级的数论知识，与折纸的实践巧妙地结合在一起。我尤其喜欢书中对“折纸公理”的阐述，它以一种简洁明了的方式，解释了那些构成折纸艺术基础的数学原理。在尝试书中介绍的“川崎玫瑰”时，我深刻体会到了精确角度和对称性在折纸中的重要性，以及每一个微小的折叠如何影响最终的整体美感。这种体验让我不仅享受了折纸的乐趣，也对数学产生了更深的敬畏之情。书中的图文并茂，每一个步骤都配有清晰的插图，即使是对于没有太多数学基础的读者，也能轻松理解并上手实践。它让我看到，数学并非是枯燥乏味的计算，而是构建万物形态和规律的内在逻辑。这本书无疑为我打开了一扇新的大门，让我看到了数学在艺术、设计乃至生活中无处不在的魅力。

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这本书的封面设计就深深吸引了我，那种纸张的质感，搭配上精致的折纸图案，仿佛在诉说着一种古老而又充满智慧的语言。我一直对折纸有着莫名的情怀，从孩提时代那个用彩纸折出的纸飞机，到后来尝试的复杂动物模型，每一步都充满了探索的乐趣。而当我在书店偶然翻开《折纸与数学》时，我看到了一个全新的视角。我原以为折纸只是简单的手工技艺，但这本书却让我意识到，它背后蕴藏着多么深厚的数学原理。书中的图文并茂，详细地解释了折纸过程中涉及到的几何学概念，比如角度、对称性、多边形等等，甚至还提到了拓扑学的一些基本思想。读着读着，我仿佛回到了学生时代，那些曾经令我头疼的数学公式，在折纸的实践中变得生动形象，易于理解。比如，书中对“折痕”的讲解，就不仅仅是纸上的线条，而是构成几何形状的基石，是连接点与面的桥梁。每一个精确的折叠，都遵循着严谨的数学逻辑。我开始尝试书中介绍的一些基础模型，每一个步骤都让我对数学有了更深的体悟。它让我明白，数学并非枯燥乏味的数字和公式，而是构建我们周围世界万物运行规律的基石。这本书为我打开了一扇通往数学世界的大门，让我在享受折纸的乐趣的同时，也领略到了数学的无穷魅力。我迫不及待地想继续深入探索，看看还有哪些隐藏在折纸背后的数学秘密等待我去发现。

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大点的孩子学数学的好帮手，跟尺规作图一样好玩，而且空手拿张纸就行了。

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