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出版者:天津大学出版社

作者:徐仲主编

出品人:

页数:214

译者:

出版时间:2003-10

价格:18.0

装帧:平装

isbn号码:9787561818534

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 考研
• 高等数学
• 大学教材
• 辅导书
• 数学
• 工程数学
• 矩阵
• 向量
• 行列式

深入解析计算方法与数值分析：理论基石与实践应用 一、引言：现代科学计算的驱动力 在当今科学研究、工程设计乃至金融建模的广阔领域中，如何精确、高效地求解复杂的数学问题，已成为衡量一个学科或技术体系先进性的重要标志。本书聚焦于计算方法与数值分析这一核心学科，旨在为读者构建一个坚实、系统的理论框架，并辅以丰富的实践案例，使其能够驾驭那些解析解难以企及的实际难题。 本书的定位是面向对高等数学有扎实基础，并希望将数学工具应用于实际计算领域的研究生、高年级本科生以及专业工程师。它不侧重于代数结构的抽象探索，而是着眼于如何利用计算机这一强大工具，对连续数学问题进行离散化、近似求解，并严格评估误差。 二、核心内容体系：从基础概念到前沿算法 全书内容围绕数值分析的几大支柱板块展开，力求逻辑清晰，循序渐进。 第一部分：误差分析与函数逼近的基石 本部分首先奠定数值计算的理论基础——误差分析。我们将深入探讨浮点数的表示（IEEE 754标准）、舍入误差、截断误差的来源与传播规律。理解误差的量化和控制，是后续所有算法有效性的前提。 随后，进入函数逼近的核心议题。我们将详细介绍： 1. 插值理论：重点剖析牛顿插值法（包括前向、后向和中心差分公式）、拉格朗日插值法的构建及其局限性（如Runge现象）。随后，引入更为灵活和实用的分段插值，特别是三次样条插值（Cubic Splines），它在保证局部光滑性的同时，有效克服了高次多项式插值的震荡问题，是工程中常用的平滑曲线拟合工具。 2. 最小二乘法（Least Squares Approximation）：区别于精确插值，最小二乘法专注于在数据存在噪声的情况下，寻找最优的近似函数。我们将讨论多项式最小二乘的构造，以及如何利用正交多项式（如勒让德多项式）简化计算并提高数值稳定性。 第二部分：数值积分的艺术 解析积分的困难在现实中极为普遍。本部分致力于探索如何将定积分转化为精确或近似的代数运算。 1. 牛顿-柯特斯公式族（Newton-Cotes Formulas）：系统讲解梯形法则和辛普森法则，并推导出它们的复合形式，分析其代数精度。 2. 高斯求积（Gaussian Quadrature）：这是数值积分中的“重磅武器”。我们将深入探讨高斯求积的原理——通过精心选择节点（高斯点）和权重，以达到极高的精度。特别会讲解如何利用勒让德多项式的零点来确定高斯点的位置。 3. 积分的稳定性与自适应策略：讨论如何根据函数特性（如奇异点或快速振荡）动态调整积分步长，实现计算效率与精度的平衡。 第三部分：求解非线性方程与线性方程组 这是数值计算应用最广泛的领域，涉及到科学和工程中绝大多数的求解任务。 A. 非线性方程求解： 我们将从最基础的二分法入手，理解其鲁棒性。随后，重点研究收敛速度更快的迭代法： 1. 牛顿法（Newton's Method）：详细推导其迭代公式，分析其二次收敛性，并着重探讨其对初值敏感性的问题。 2. 割线法（Secant Method）和迭代法（Fixed-Point Iteration）：作为牛顿法的替代方案，分析它们如何仅依赖函数值而非导数。 B. 线性方程组求解 ($mathbf{Ax=b}$): 线性系统是数值分析的基石。本书将这两类方法并重： 1. 直接法（Direct Methods）： 高斯消元法（Gaussian Elimination）：完整地展示如何通过行变换将矩阵转化为上三角形式。 矩阵分解技术：深入讲解LU分解（包括Doolittle、Crout和Cotes方法）及其在求解多个右端项问题中的效率优势。 Cholesky分解：针对对称正定矩阵的优化求解方法。 2. 迭代法（Iterative Methods）：针对大规模稀疏线性系统，迭代法是唯一可行的选择。我们将详细解析： 雅可比迭代（Jacobi）与高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel）的收敛条件和实现细节。 迭代法的加速：引入SOR（Successive Over-Relaxation）方法，探讨松弛因子对收敛速度的显著影响。 第四部分：常微分方程（ODE）的数值解法 解决微分方程是物理建模的核心。本书侧重于初值问题的求解。 1. 单步法：从最简单的欧拉法出发，探究其一阶精度，并系统地介绍龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，特别是经典的四阶RK法，分析其局部截断误差和全局误差。 2. 多步法：介绍Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）方法，对比它们与单步法在计算效率和稳定性上的权衡。 3. 稳定性分析：引入绝对稳定域（Region of Absolute Stability）的概念，解释为什么某些方法在求解刚性（Stiff）问题时会失效，并介绍隐式方法在处理这类问题中的优势。 三、实践与工具：算法的实现与评估 本书不仅仅停留在理论层面。在每个关键算法介绍后，都配有详细的算法流程图（伪代码），并指导读者如何利用实际编程语言（如Python/MATLAB环境下的实现思路）将理论转化为可执行的代码。我们强调数值稳定性和计算复杂性（大O表示法）的分析，确保读者能够根据问题规模选择最高效的算法。 通过本书的学习，读者将掌握将复杂的数学模型转化为可被现代计算平台有效处理的数值方案的能力，从而在科学计算、数据拟合、控制理论以及工程仿真等领域游刃有余。

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这本书的排版和装帧质量可以说是达到了专业级别的水准，这对于需要长时间阅读和翻阅的理工科教材来说至关重要。纸张的质感相当不错，即便是使用荧光笔做了大量标记，也不会出现墨水洇开的现象，这在很大程度上提升了阅读体验。更让我感到惊喜的是，书中对习题的编排设计。习题并非简单地罗列计算题，而是精心设计了不同层次的难度梯度。基础巩固型的练习确保了对基本概念的掌握，而那些挑战性的综合题则往往需要读者综合运用多个章节的知识点进行推理和证明。对于考研党来说，书中穿插的“易错点辨析”和“典型错误分析”部分简直是宝藏，它精准地抓住了学生在解题过程中最容易犯的陷阱，提前给出预防性的指导，避免了走弯路。这种以学习者为中心的细节关怀，体现了作者对教学实践的深刻理解。

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从应试角度来看，这本书的价值主要体现在其对历年真题风格的精准把握上。它似乎在编写过程中就充分考虑到了考试的侧重点和命题趋势，因此，书中提供的例题和模拟测试题在难度分布和知识点覆盖率上与真实的考试环境高度吻合。我注意到，对于一些高频考点，书中不仅提供了标准解法，还补充了“变式训练”，旨在考察学生对知识的灵活运用能力，这对于突破高分瓶颈非常有帮助。此外，书中对解答过程的规范性要求也很高，详细展示了如何清晰、有条理地书写证明过程以确保拿到满分，这对于习惯于“算出答案”而非“规范作答”的学生来说，提供了极具操作性的指导。总体而言，它不仅仅是一本知识的载体，更是一份实战演练的作战手册。

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这本书的封面设计着实让人眼前一亮，那种深邃的蓝色调配上简洁的字体，立刻营造出一种严谨而又充满探索欲的学习氛围。初翻几页，我就被作者清晰的逻辑梳理能力所折服。它不像很多教材那样堆砌公式和概念，而是像一位经验丰富的导师，耐心地引导读者逐步深入。例如，在讲解向量空间时，作者没有直接抛出复杂的定义，而是从几何直观入手，通过实例解析，让抽象的概念变得触手可及。特别是对于初学者而言，这种循序渐进的讲解方式极大地降低了学习曲线的陡峭程度。书中对矩阵运算的几何意义的阐述也十分精彩，将原本枯燥的乘法和变换过程与空间旋转、投影等实际操作紧密结合起来，让读者在“看”中理解“算”，这种教学方法的创新性是值得称赞的。我尤其欣赏它在理论深度和应用广度之间的巧妙平衡，既保证了扎实的数学基础训练，又不乏对实际工程问题的关注，为后续学习打下了坚实的基础。

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这本书的语言风格非常具有个人魅力，它读起来不像冷冰冰的教科书，反而更像是一位热忱的学者在与你进行一场深入的学术对话。行文之中，不乏一些生动的比喻和恰到好处的幽默感，使得长时间的深度阅读也不至于产生强烈的疲劳感。我特别喜欢作者在章节开头设置的“引言”部分，通常会简要回顾前置知识，并勾勒出本章将要解决的核心问题，这种结构有效地帮助读者快速进入学习状态，并明确学习目标。而且，书中对一些历史背景和知识点的发展脉络也有所涉及，虽然这些内容不直接影响解题，但极大地丰富了对数学学科的感性认识，让人对这门学科产生更深层次的敬意和兴趣。这种人文关怀与硬核知识的结合，使得这本书在众多教材中脱颖而出。

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这本书在阐述一些核心定理的证明过程时，展现出一种罕见的清晰度和严谨性，这是我阅读过的诸多相关书籍中少有的。作者似乎非常注重逻辑链条的完整性，每一步推导都有明确的依据，很少出现“显而易见”这种模糊的跳跃。对于那些对数学证明感到畏惧的读者，这本书提供了一个非常友好的入口。它不仅给出了证明的结果，更重要的是，它揭示了证明的“思路”和“构建过程”。比如，在讲解特征值与特征向量时，作者没有停留在代数公式的推导上，而是引入了相似变换的思想，从变换的角度去理解特征值的本质，这种宏观视角对于建立完整的知识体系至关重要。读完相关章节后，你会感觉自己不是在死记硬背证明步骤，而是在参与一场逻辑的构建过程，这种体验是极其宝贵的。

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