Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Yousef Saad

出品人:

页数:340

译者:

出版时间:2011-1

价格:0

装帧:

isbn号码:9781611970722

丛书系列:

图书标签:

• 矩阵分析
• 数值方法
• 特征值问题
• 大型稀疏矩阵
• 迭代法
• 预处理
• Krylov子空间
• Lanczos算法
• Arnoldi算法
• 并行计算
• 科学计算

计算科学领域的基石：理解数值计算的原理与实践 本书是一部深入探讨计算科学核心理论与实践的著作，旨在为读者构建扎实的数值计算基础。我们将从最基本的数学概念出发，逐步引入解决各种数学问题的数值算法。全书并非专注于某个特定领域，而是力求提供一个广泛而深刻的视角，让你能够灵活运用所学知识应对多元化的计算挑战。 第一部分：计算的基石——数字与误差 在踏上数值计算的旅程之前，理解我们所处理的“数字”以及计算过程中不可避免的“误差”至关重要。本部分将深入剖析： 数制与表示： 我们将回顾二进制、八进制、十六进制等不同数制，并重点关注计算机如何表示整数和实数。理解浮点数的内部结构，包括符号位、指数位和尾数位，是理解后续误差分析的前提。我们将探讨不同数据类型（如单精度、双精度）在精度和范围上的差异，以及它们对计算结果的影响。 误差的来源与分类： 数值计算并非绝对精确。本部分将详细阐述误差的几个主要来源： 截断误差： 源于用有限项近似无限级数，或用有限步数逼近连续过程。我们将分析泰勒展开等经典近似方法中的截断误差。 舍入误差： 发生在计算机进行运算时，由于有限的精度而无法精确表示某些数字，导致对结果的微小改变。理解舍入误差在加、减、乘、除运算中的传播规律。 模型误差： 源于数学模型本身对现实世界的简化和近似。我们将探讨模型选择不当如何引入误差。 误差的传播与控制： 了解误差是如何在多步计算中累积并放大的。我们将学习一些基本的技术来评估误差的大小，并探讨如何通过选择合适的算法、改变计算顺序或使用更高精度的数值类型来最小化误差的影响。例如，病态问题（ill-conditioned problems）的概念及其带来的挑战。 第二部分：求解方程的艺术——线性与非线性系统 方程的求解是科学与工程领域最普遍的计算任务之一。本部分将系统介绍求解各类方程的数值方法。 线性方程组的求解： 直接法： 详细讲解高斯消元法及其改进（如带主元高斯消元法），以及LU分解、Cholesky分解等矩阵分解技术。理解这些方法的计算复杂度和适用范围。 迭代法： 介绍雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等，以及收敛条件与收敛速度的分析。探讨在处理大规模稀疏矩阵时的优势。 非线性方程（组）的求解： 单变量非线性方程： 深入分析二分法、牛顿法、割线法等经典方法。重点讨论牛顿法及其变种的收敛性质，以及在实际应用中可能遇到的问题（如局部最优解）。 多变量非线性方程组： 介绍牛顿法的多变量推广，以及其他迭代求解方法。 第三部分：逼近与近似——插值、拟合与积分 许多实际问题涉及对已知数据点进行逼近或对复杂函数进行数值计算。本部分将聚焦于这些技术。 插值： 多项式插值： 学习拉格朗日插值、牛顿插值法，并分析Runge现象等插值多项式在高次情况下的局限性。 样条插值： 介绍分段低次多项式插值的概念，重点讲解三次样条插值，并阐述其在平滑曲线拟合方面的优势。 数据拟合： 最小二乘法： 讲解线性最小二乘和非线性最小二乘原理，如何找到最能拟合给定数据的数据模型（如线性回归、多项式回归）。 数值积分： 基本积分公式： 介绍梯形法则、辛普森法则等牛顿-科特斯公式。 复合积分公式： 讲解如何通过重复应用基本公式来提高精度。 自适应积分： 介绍如何根据被积函数的特性自动调整积分步长以达到所需的精度。 高斯积分： 介绍高斯积分法的原理与优势。 第四部分：动态的探索——常微分方程的数值解 描述物理、化学、生物等领域动态过程的常微分方程（ODEs）的数值求解是计算科学的重要分支。 欧拉法及其改进： 从最简单的显式欧拉法出发，介绍隐式欧拉法、改进欧拉法（如改进欧拉-梯形法）。 龙格-库塔方法： 深入讲解二阶、四阶等常用龙格-库塔方法的原理、构造和收敛性。 多步法： 介绍亚当斯-巴什福斯法、亚当斯-默尔顿法等。 稳定性与精度： 讨论不同方法的稳定区域、全局误差和局部截断误差，以及如何选择合适的方法来求解特定的ODE问题。 第五部分：理论与实践的桥梁——算法实现与效率考量 理论方法最终需要转化为可执行的计算机程序。本部分将强调算法的实现细节与性能优化。 算法的伪代码表示： 学习如何清晰地描述算法的步骤。 编程语言的选择与应用： 探讨不同编程语言（如Python, MATLAB, C++）在数值计算中的优缺点，以及常用的数值计算库。 计算复杂度分析： 理解算法的时间复杂度和空间复杂度，并学会如何评估算法的效率。 并行计算与高性能计算简介： 简要介绍如何利用多核处理器和分布式系统来加速大规模数值计算。 本书的编写风格力求清晰易懂，结合大量实例和图示，帮助读者从理论到实践全面掌握数值计算的核心概念和技术。无论你是计算机科学、工程学、物理学、数学还是其他相关领域的学生或研究人员，本书都将是你坚实的理论基石和实用的操作指南，助你在解决复杂科学问题时，拥有强大的计算利器。

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这本书的章节安排极具匠心，它不像某些教科书那样将理论和应用割裂开来，而是将两者有机地融合在一起。我发现它在讲解特定迭代法时，总会立刻紧接着展示该方法在某个实际工程问题——比如有限元分析中的模态计算——中的应用效果。这种即时反馈机制，极大地增强了学习的动力。书中对大型稀疏矩阵的处理策略着墨甚多，这在当前计算科学领域至关重要。作者详细比较了雅可比-鲁斯-韦因斯坦（Jacobi-Davidson）方法的优势与局限性，并给出了多个可供操作的伪代码。我尝试着在自己的小型项目中复现了其中一个算法，结果非常令人满意，收敛速度明显优于我之前使用的通用库函数。更值得称赞的是，作者在讨论大规模问题时，对内存管理和并行计算的初步概念也有所涉及，虽然不是核心内容，但足以激发读者去探索更前沿的计算架构。这使得这本书的适用范围远超出了纯粹的理论探讨，更像是一本实战指南。

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这本书的封面设计确实很吸引人，那种深沉的蓝色调配上简洁有力的字体，立刻让人感受到它蕴含的学术深度。当我翻开第一页，映入眼帘的是对经典数值线性代数理论的扎实回顾，作者并没有急于跳入高深的算法，而是花了大量的篇幅来铺陈背景知识，这对于我这样一个并非科班出身，但对计算科学抱有浓厚兴趣的读者来说，简直是福音。书中对矩阵分解、迭代方法的引入非常平滑，像是老朋友在耐心讲解复杂的概念。我特别欣赏作者在介绍QR算法和Lanczos方法时，那种深入浅出的讲解方式，没有过多复杂的数学符号堆砌，而是通过清晰的逻辑链条和恰当的物理或工程实例来阐述其核心思想。阅读的过程中，我感觉自己不仅仅是在学习一套算法，更是在理解这些方法背后的数学哲学。虽然某些证明过程略显跳跃，需要读者有一定的预备知识，但总体而言，它为后续更复杂的问题打下了极其坚实的基础。这本书的排版也十分考究，公式居中对齐，图表清晰明了，极大地提升了阅读体验，让人愿意沉下心来慢慢啃读。

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与其他同类书籍相比，这本书的叙事口吻非常独特，它带有一种沉稳而又不失热情的“导师”气质。作者在关键概念的引入处，经常会插入一些历史性的注解，比如某个算法的起源或者某位先驱的贡献，这让冰冷的数学概念瞬间有了温度和人情味。比如在介绍瑞利商迭代法时，作者没有直接给出公式，而是先描述了物理学中“共振频率”的概念，让人立刻明白我们为什么要寻找这些特征值。这种叙事上的引导，极大地帮助我构建了对这些抽象概念的直观理解。不过，我也注意到，对于某些高级的预处理技术，比如代数多重网格法（AMG），书中只是点到为止，这让我感觉有些意犹未尽，或许是作者有意将这部分留给后续的专业书籍。总的来说，这本书更侧重于“如何理解”而不是“如何穷尽”，它更像是一张通往广阔领域的地图的引言，清晰地标示了主要路径和重要地标。

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阅读这本书的过程，就像进行一场精妙的思维体操。作者对误差分析和收敛性的论述达到了教科书级别的严谨性。每一个定理的推导都经过了细致的打磨，几乎没有留下任何逻辑上的空隙。特别是关于特征值问题的稳定性分析部分，涉及到了摄动理论，我以前一直觉得这块内容晦涩难懂，但作者通过图形化的方式和清晰的数学符号定义，让我对其有了全新的认识。我尤其欣赏书中反复强调的“问题可逆性”与“算法鲁棒性”之间的辩证关系。它告诫读者，一个算法的效率不仅取决于其渐进复杂度，更取决于它对输入数据微小变化的敏感程度。虽然书中引用了大量的文献，但作者巧妙地将这些引用融入到正文的讨论中，而不是简单地罗列在页脚，使得阅读流畅度保持得很好。这本书绝对不是那种可以快速浏览的书籍，它要求读者必须带着批判性的眼光，逐字逐句地消化每一个论断。

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这本书的实操性体现在其对“大型”问题的关注上。它没有过多地纠缠于二维或三维小规模问题的解析解，而是将重点放在了数百万甚至数十亿自由度系统下的计算挑战。作者对子空间迭代法和迭代重构法的对比分析是全书的亮点之一。他不仅分析了它们在处理不同谱结构矩阵时的表现差异，还给出了如何动态调整子空间维度的实用建议。我感觉这本书的价值不仅在于传授知识，更在于培养一种“计算思维”。它迫使读者去思考：在资源受限的情况下，我应该牺牲什么？是精度、速度，还是内存占用？书中提供的案例研究，例如在量子化学计算中如何有效地分离基态和激发态的特征值，具有极强的启发性。总而言之，对于任何一位需要处理大规模矩阵特征值问题的工程师或研究人员来说，这本书无疑是一部不可或缺的工具箱，它提供的理论框架和实践经验是任何快速入门教程都无法比拟的深度。

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学习矩阵分析时用到的一本书，spectral theory 部分的证明较其他书更为简洁

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