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出版者:天津大学

作者:王莱等编

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2001-04-01

价格:18.00元

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isbn号码:9787561812679

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深度探索：高等代数与矩阵理论精要 图书简介 本书旨在为高等数学学习者提供一套系统、深入且富含启发性的高等代数与矩阵理论学习资料。我们深知，扎实的线性代数基础是后续学习数学、物理、工程学乃至计算机科学等众多前沿领域不可或缺的基石。因此，本书在内容组织上力求逻辑严谨、层次分明，同时兼顾理论的深度与应用的广度。 第一部分：群、环、域——代数结构的基础构建 本部分将带领读者进入抽象代数的宏伟殿堂。我们从集合论的基本概念出发，逐步引入群的严格定义及其性质。重点剖析子群、陪集、拉格朗日定理、同态与同构等核心概念。通过对有限群（如对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$）和无限群（如整数加法群 $mathbb{Z}$、非零有理数乘法群 $mathbb{Q}^$）的细致分析，帮助读者建立对代数结构不变性的深刻理解。 随后，我们将扩展到环的结构。介绍环的定义、理想的概念、商环的构造，以及整环和域的特性。特别关注多项式环 $mathbb{F}[x]$ 的性质，这是后续讨论特征多项式和最小多项式的重要铺垫。我们不会停留在纯粹的抽象定义上，而是通过大量的实例来阐释这些结构在数论和代数几何中的潜在联系。 第二部分：线性代数的核心——向量空间与线性映射 本部分是本书的理论核心，旨在构建严谨的线性代数框架。 向量空间的讨论将从抽象定义出发，但迅速聚焦于最常见的有限维向量空间 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$。我们会详细阐述基、维数、坐标变换等基本概念，并深入探讨子空间的交、和与直和。 线性映射（或称线性变换）是连接不同向量空间的桥梁。本书将透彻讲解线性映射的核（Kernel）与像（Image），并严格证明秩-零度定理。映射的矩阵表示将作为理论与计算的连接点，引导读者理解如何通过选择不同的基来观察线性变换的不同侧面。 第三部分：矩阵理论的深度挖掘 矩阵是线性代数的计算工具，但其背后蕴含着深刻的几何意义。 矩阵运算部分将回归基础，但会强调矩阵乘法的结合律和分配律的代数意义，而非仅仅是计算流程。我们专注于初等矩阵及其行简化过程，这为求解线性方程组提供了强大的算法基础。 行列式的计算将不仅仅是代数公式的堆砌，而是从多线性函数和置换的角度来理解其几何意义——即行列式衡量的是线性变换对体积（或面积）的缩放因子。我们将推导行列式的莱布尼茨公式和代数余子式展开公式，并介绍伴随矩阵的概念。 第四部分：特征值、特征向量与相似性 这是理解线性动力学和系统稳定性分析的关键。我们将系统地引入特征值和特征向量，讲解如何通过求解特征多项式 $det(A - lambda I) = 0$ 来确定它们。 本书将花大量篇幅讨论相似理论。两个矩阵是否相似，决定了它们是否代表同一个线性变换在不同基下的表现。我们将讨论对角化的充要条件，并深入探讨若尔当标准型（Jordan Canonical Form, JCF）。JCF的推导和计算虽然繁琐，却是理解不可对角化矩阵结构（如幂零矩阵、不可约子空间）的必经之路。本书将提供清晰的步骤和算法，指导读者如何构造若尔当块。 第五部分：内积空间与正交性 在线性代数中引入内积，使得向量空间具备了度量长度和角度的能力。 我们将详细阐述欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 和酉空间 $mathbb{C}^n$ 中的标准内积，并推广到一般的内积空间。围绕内积，我们将系统介绍正交性的概念，包括正交基、施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，以及正交补的概念。 对称矩阵与正交矩阵的讨论将与内积空间紧密结合。我们将证明实对称矩阵必可正交对角化（谱定理），这在主成分分析（PCA）等数据降维技术中至关重要。对于酉矩阵和正交矩阵，我们将阐释它们在保持长度和角度方面的特殊作用。 第六部分：二次型与张量初步 二次型是二次曲线和二次曲面的代数表示。我们通过二次型矩阵 $Q(x) = x^T A x$ 来研究其性质。本书将运用特征值分解方法，通过合同变换将二次型化为规范形（如拉格朗日定理和主轴定理），从而清晰地识别出二次曲线的类型。 最后，本书将对张量进行初步的介绍，将其视为多线性映射的自然推广，为读者未来进入微分几何或更高级的物理场论打下初步的直观基础。 本书特色与目标读者 本书的编写风格旨在平衡理论的严谨性与学习的实践性。我们避免了不必要的纯符号推导，而是强调几何直观和计算方法的结合。每一章节后附有分层级的习题，从基础概念检验到复杂定理的应用证明。 本书适合于所有正在学习或计划深入学习高等代数和线性代数的理工科学生（包括但不限于数学、物理、电子信息、航空航天、经济管理等专业），特别是那些希望超越“纯计算”层面，理解矩阵和向量空间背后深刻数学结构的读者。本书是构建坚实数理基础的理想参考书。

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在实际的解题步骤展示上，这本书的处理方式可谓是独具匠心，体现了作者深厚的教学功底。许多难题，往往不是因为概念不理解，而是因为在解题过程中找不到一个清晰的思路入口。这本书在这方面做得非常到位，它不止步于给出最终答案，而是对每道例题都进行了细致的“思维导图式”的拆解。作者似乎能预判到学生可能在哪个环节卡壳，并在那个位置用更醒目的颜色或者特殊的标记符号进行提醒和强调。例如，在处理向量分解或微积分应用时，它会用不同的字体来区分“已知条件”、“模型假设”和“关键数学变换”这三个层次，让读者能清晰地追踪解题思路的每一步演变。这种细致入微的引导，让我感觉自己不是在看别人的解法，而是在一位经验丰富的导师的陪同下，一步步攻克难题。这种“手把手”的教学感，是很多纯粹的习题集所不具备的宝贵特质。

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这本书所选取的例题和习题的难度跨度控制得非常精妙，这体现了对不同学习阶段读者的包容性。初期练习题的难度梯度非常平缓，几乎覆盖了所有基础公式的直接应用，确保了对基本概念的彻底掌握。随着章节深入，题目的综合性和开放性显著增强，开始出现需要结合多个知识点进行分析的复杂问题。最让我眼前一亮的是，书中对一些“陷阱题”的剖析，角度刁钻却又合乎逻辑。它会专门设置一个小节，分析那些常见的错误解法，并解释为什么这种思路是错误的，这种“反面教材”的价值有时候比正面讲解更加深刻。通过对比正误两种思路，我对那些隐藏的物理约束条件和潜在的假设有了更深的体悟。这种由浅入深、兼顾广度和深度的习题设置，有效地锻炼了读者的批判性思维，而非简单的机械套用公式的能力。

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这本书的章节组织逻辑简直是教科书级别的严谨。从最基础的力学概念入手，层层递进，一直深入到相对论和量子力学的入门部分，结构安排得非常顺畅自然，完全符合一个物理学习者心智成长的轨迹。我特别欣赏它在引入新知识点时的铺垫方式。它不像有些教材那样直接抛出公式，而是先从一个实际生活中的情境或者一个经典的物理悖论出发，引导读者去思考“为什么需要这个理论”，然后再水到渠成地引入相应的数学工具和解题技巧。这种“问题驱动”的学习路径，极大地激发了我的好奇心和求知欲。每当学完一个大的知识模块，书中都会穿插一些历史上著名的物理学家或某项重大发现的简短介绍，这些“花边”知识虽然不是解题的核心，却极大地丰富了对物理学的整体认知，让人感觉自己不仅仅是在学解题的“术”，更是在领悟物理学的“道”。这种全面的知识构建，远超出了我预期的“指导”范畴。

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从整体的阅读体验来看，这本书带给我一种久违的“踏实感”。在这个信息碎片化时代，很多学习资料都追求短平快，但物理学本质上需要厚积薄发和深度思考。这本书没有急于追求所谓的“速成”，而是扎扎实实地构建了一个从宏观到微观、从经典到现代的知识体系框架。它在章节末尾的“知识点回顾与拓展”部分尤其出色，它不仅是对本章内容的总结，更像是一座桥梁，将本章内容与下一章可能涉及的更深层次的物理学联系起来。这种前瞻性的引导，使得学习过程充满了连贯性，避免了知识点的孤立。阅读这本书的过程，就像是攀登一座结构坚固、视野开阔的高山，每登上一层，都能感受到胸襟的开阔和对物理世界理解的加深。它真正做到了“指导”二字，不仅教你如何做题，更重要的是，教你如何像一个物理学家一样去思考问题。

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这本书的装帧设计和纸张质感给我留下了非常深刻的印象。拿到手的时候，那种厚重却又不失细腻的触感，立刻提升了阅读的期待值。封面设计简约而不失格调，用色沉稳大气，很符合理工科书籍的气质。内页的排版更是值得称赞，字体选择清晰易读，行距和段落间距都经过精心考量，长时间阅读也不会感到视觉疲劳。更重要的是，书中大量的图表和公式，无论是线条的清晰度还是图像的色彩还原度，都达到了专业级别的水准。尤其是那些复杂的物理模型示意图，线条干净利落，关键部分的标注也非常醒目，对于理解抽象概念起到了极大的辅助作用。这种对细节的极致追求，让我在翻阅的过程中感受到了一种匠心，仿佛每一个页面都凝聚了编辑团队的心血。作为一本可能涉及大量计算和推理的专业书籍，良好的物理载体是保证阅读体验的基础，而这本“大学物理解题指导”在这方面无疑是做到了极致，让人愿意花时间去深入研读。

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