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出版者:International Press of Boston

作者:Richard Schoen

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:2010-5-3

价格:USD 35.00

装帧:Paperback

isbn号码:9781571461988

丛书系列:

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《微分几何讲义》 这是一本深入探索微分几何这一迷人领域的学术著作。本书旨在为读者构建一个坚实而全面的理论框架，涵盖了从基础概念到前沿进展的广泛内容。我们从向量空间和线性映射的引入开始，奠定代数基础，随后逐步深入到流形的思想。通过对局部坐标系、图册和可微性的细致阐述，本书引导读者理解光滑流形的本质。 曲线和曲面的微分几何作为经典而重要的分支，占据了本书相当大的篇幅。我们将详细介绍切向量、切空间、张量场等基本工具，并利用它们来研究曲线的曲率和挠率，揭示其几何性质。对于曲面，我们将聚焦于第一基本形式和第二基本形式，深入探讨法曲率、主曲率、高斯曲率以及平均曲率等关键概念。本书不仅会推导这些几何量的计算公式，更会分析它们与曲面内在几何性质之间的深刻联系，例如高斯曲度定理的证明及其几何意义。 为了更深入地理解流形的内在几何，联络（Connection）的概念至关重要。本书将清晰地介绍联络的定义，包括仿射联络和 Levi-Civita 联络。我们将详细讨论平行移动（Parallel Transport）以及它在定义测地线（Geodesics）中的作用，并探索测地线的性质。协变导数（Covariant Derivative）作为联络的核心概念，也将被细致解析，它允许我们在流形上以一种一致的方式对向量场和张量场进行微分。 曲率张量（Curvature Tensor）是微分几何中一个举足轻重的概念。本书将深入剖析 Riemann 曲率张量的定义，并展示其如何捕捉流形弯曲的程度。我们将探讨 Ricci 曲率和标量曲率，并讨论它们在 Einstein 流形的定义和性质中的重要性。 本书也涵盖了微分几何在拓扑学中的一些重要应用。我们将介绍纤维丛（Fiber Bundle）的概念，特别是主丛（Principal Bundle）和向量丛（Vector Bundle）。这些结构为研究流形上的几何对象提供了更强大的工具。我们将讨论联络在纤维丛上的推广，以及曲率与拓扑不变量（如 Euler 示性数）之间的关系。 此外，本书还涉及了一些更抽象和现代的微分几何主题，旨在为读者提供进一步探索的可能。例如，我们将触及李群（Lie Group）和李代数（Lie Algebra）的概念，以及它们与微分几何的联系。 本书在数学表述上力求严谨，同时注重直观的几何解释。大量的例子和练习题将帮助读者巩固所学知识，并培养解决实际几何问题的能力。本书适合数学专业本科高年级学生、研究生，以及对微分几何有浓厚兴趣的研究人员。阅读本书需要具备一定的线性代数、微积分和多元函数微积分的基础。 《微分几何讲义》是一次严谨而迷人的数学探索之旅，它将带领读者领略几何的抽象之美，洞悉空间结构的深刻本质。

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这本书的篇幅相当可观，厚厚的几百页，重量十足，拿在手上就有一种沉甸甸的学术分量感。我发现它在论述的深度和广度之间取得了极佳的平衡。它的广度体现在对不同几何理论——从基础的联络几何到后期的辛几何和K理论的初探——都有所涉猎，确保读者能对整个领域有一个宏观的认知地图。而它的深度则体现在对每一个核心概念的掘进，毫不含糊。例如，在介绍曲率张量的分解时，作者给出的不仅仅是公式的推导，更重要的是对不同分量（如里奇曲率、魏尔张量）的几何意义进行了深入的阐释，这一点对于希望将微分几何应用于物理学（比如广义相对论）的读者来说至关重要。这本书的参考文献列表也体现了其学术定位，大多指向那些奠基性的经典论文和专著，这为进一步的学术探索指明了方向。总的来说，这本书就像是一座精心规划的知识图书馆，你可以在这里找到通往更深层次研究的每一条主要路径，但要真正成为这座图书馆的“主人”，则需要投入大量的时间和心力去仔细研读和实践。

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我注意到这本书在处理拓扑与分析交叉领域时，展现出了非常独特的视角。很多传统的微分几何教材往往将拓扑部分作为独立的预备知识，但这本书似乎从一开始就将拓扑的直觉融入到了对光滑流形的研究之中。例如，在讨论流形上的向量场和积分流时，作者会不自觉地引用一些关于开复盖和紧致性的拓扑论断，这种无缝衔接使得对“全局”性质的理解变得更为自然。我个人对霍奇理论在微分几何中的应用非常感兴趣，这本书虽然没有深入到椭圆算子的细节，但它对德拉姆上同调群的构造和性质的阐述，扎实到足以让读者自己去搭建后续的桥梁。它教会我的，不是记住某个公式，而是理解为什么在这个几何框架下，上同调会以这种方式自然地“浮现”出来。此外，书中引用的例子往往不是那些最基础的球面或环面，而是精心挑选的、能揭示深层结构的反例或特例，这极大地拓宽了我对几何对象多样性的认知。这本书的价值在于，它提供了一个看待问题的“框架”，一个可以容纳未来更多新知识的坚固骨架。

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如果用一个词来形容这本书给我的感受，那就是“纯粹”。它几乎没有掺杂任何与核心数学无关的叙事或花哨的图示。它的“图示”仅仅是那些为理解关键结构而必需的简洁图形，而且这些图形往往放在证明的关键节点，服务于逻辑的推进，而非仅仅起到装饰作用。对于希望深入研究代数拓扑或理论物理中几何应用的读者来说，这本书的“纯粹性”是它最大的优点。它毫不留恋于任何短暂流行的研究方向，而是专注于提炼微分几何中最恒久不变的精髓：不变性、结构和度量。我特别欣赏作者在处理测地线方程和变分原理时的严谨性，那种将变分法与流形上的微分结构完美结合的论述，让人体会到数学分析在几何问题中的巨大威力。读完这本书，我感觉自己对“空间”的理解从一个直观的概念，提升到了一个可以用严格数学语言精确描述和操作的系统。它需要的阅读速度不快，因为很多地方都需要停下来，在草稿纸上重新推导一遍，确保自己完全吸收了作者的思路，这种“慢读”的过程，恰恰是学习高深理论的必经之路。

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阅读这本书的过程，对我来说更像是一场漫长的、充满挑战的智力攀登。它绝非那种轻松愉快的“科普”读物，如果你是期望在茶余饭后翻阅几页就能有所收获，那大概率会感到受挫。这本书的难度曲线是陡峭的，尤其是进入到纤维丛和特征类理论的部分，作者似乎完全没有降低复杂度的意图，直接将读者带入了研究前沿的视角。我记得有一次，我为一个关于陈-西蒙斯形式的证明卡住了整整一个下午，书上仅仅用了一页纸的篇幅简洁地陈述了这个结果。但正是在这种近乎“冷酷”的严谨性中，我反而找到了学习的动力。每一次自己独立推导出书上略去的中间步骤，那种豁然开朗的感觉，是看任何其他教材都难以比拟的。它的结构安排非常巧妙，前半部分打下的基础，为后半部分那些更高级的主题（比如规范场论的几何解释的初探）提供了必要的语言和工具。这本书的“对话感”很强，尽管是用书面语写成，但你能感受到作者在努力与“懂行”的读者进行一场深刻的学术探讨，而非单方面的灌输。它需要的不仅仅是时间，更是对数学美学的一种追求和对逻辑严密性的敬畏之心。

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这本书的封面设计本身就带着一种古典的、严谨的气息，那种深沉的蓝色和烫金的字体，让人立刻联想到数学殿堂里那些需要沉下心来细细品味的经典著作。我翻开目录，第一眼就被那些扎实的标题吸引住了，它们不是那种为了吸引眼球而堆砌的炫酷概念，而是最核心的几何结构和分析工具的直接呈现。比如，关于黎曼流形基础的那几章，作者的处理方式极其细腻，从概念的引入到定理的证明，每一步都像是精心雕琢过的艺术品，逻辑链条紧密得几乎没有一丝空隙。我特别喜欢它在引入张量分析时的那种循序渐进，没有直接把复杂的公式砸过来，而是先从直观的几何意义入手，让人在理解“为什么”之后，再去接受“是什么”。对于那些希望真正掌握微分几何精髓，而不是停留在表面计算的读者来说，这种深入骨髓的讲解方式是极其宝贵的。它不像一些入门书籍那样急于求成，而是耐心地为你打下坚实的基础，确保你对曲率、联络这些基本概念有着深刻的体悟。这本书的排版也很舒服，字号和行距都恰到好处，长时间阅读也不会让人感到视觉疲劳，这对于需要长时间面对数学推导的读者来说，是一个巨大的加分项。总而言之，它给人一种踏实、可靠的感觉，就像一位德高望重的导师在身边亲自为你讲授一般。

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