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出版者:北京大学出版社

作者:姚孟臣

出品人:

页数:212 页

译者:

出版时间:2000-05

价格:14.50

装帧:平装

isbn号码:9787301044803

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 数理统计
• 研究生入学考试
• 考研
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 2001年
• 历年真题
• 经典教材

深度解析与实战演练：高等数学核心专题精讲 （本书并非《2001研究生入学考试-概率论与数理统计》的任何相关内容，而是专注于高等数学中对理工科、经管类研究生入学考试至关重要、但往往被忽视的几个核心板块进行系统性、深度剖析的辅导用书。） --- 第一部分：极限、连续性与导数——微积分的基石重构 (约400字) 本书的开篇部分，旨在彻底夯实读者对于微积分基础概念的理解，远超传统教材的简单罗列。我们聚焦于极限理论的严谨证明方法，特别是 $varepsilon-delta$ 语言在处理数列极限、函数极限以及无穷小与无穷大比较中的灵活运用。 重点突破： 1. 函数极限的深层剖析： 详细讲解柯西极限准则、海涅定理的应用，并深入探讨了函数在区间端点和无穷远处的极限特性。我们引入了高级分析中的“局部有界性”与“一致连续性”概念，为后续的微分中值定理打下坚实基础。 2. 导数的几何与物理意义的统一： 不仅停留在求导公式的机械运用，而是将导数视为“瞬时变化率”的本质体现。通过大量的物理模型（如变速率运动、热传导速率）和几何问题（如曲率、切线法线），展示一阶导数和高阶导数的实际意义。 3. 微分中值定理的精妙几何解释与反证法应用： 罗尔定理、拉格朗日中值定理（MVT）和柯西中值定理的证明过程被细致分解，尤其强调了如何利用MVT的推论来证明不等式、分析函数单调性以及函数的凹凸性。大量的反例分析，帮助读者理解定理成立的必要条件。 --- 第二部分：积分学的高级技巧与应用拓展 (约450字) 积分学部分是衡量考生综合分析能力的关键。本书不仅覆盖了定积分与不定积分的计算，更侧重于定积分的性质、积分技巧的系统化以及重积分在三维空间中的应用。 重点突破： 1. 不定积分计算的“五大策略”： 彻底归纳并细化了五种主要的积分技巧：换元法（三角代换、欧拉代换等）、分部积分法（循环积分的处理）、有理函数积分（长除法与部分分式分解的深度技巧）、三角函数积分（万能代换的适用边界）以及特殊函数积分（如椭圆积分的初步认识）。 2. 定积分的广义应用与敛散性判断： 详细阐述了广义积分的定义、计算及敛散性的判别标准（如比较判别法、极限比较判别法）。我们用大量的几何例子（如面积、体积、旋转体的表面积）来巩固积分的几何意义。 3. 多变量积分的坐标系转换精讲： 彻底解析了二重、三重积分在笛卡尔坐标系、柱坐标系和球坐标系之间的转换机制，重点分析了雅可比行列式（Jacobian）在转换过程中的作用和计算陷阱。对于曲面积分和线面积分，我们引入了格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的物理背景，帮助读者理解这些公式的直观含义。 --- 第三部分：级数理论的收敛性判定与函数逼近 (约400字) 级数理论是连接微积分与函数逼近理论的桥梁，也是历年考试中常设的难点。本书对此进行了专门的强化训练。 重点突破： 1. 数项级数的收敛性判定体系构建： 构建了一个清晰的决策树，指导考生如何选择最有效的判别法：比值法、根值法、积分判别法（应用于特殊级数）以及高阶的阿贝尔试验和狄利克雷试验。特别关注了交错级数的莱布尼茨判别法和其绝对收敛性分析。 2. 幂级数与泰勒/麦克劳林展开的实战技巧： 详细介绍了如何利用已知函数的幂级数（如几何级数、指数函数、三角函数）通过逐项求导、逐项积分或代换来构造新的幂级数。更重要的是，我们深入讨论了泰勒定理的拉格朗日余项和佩亚诺余项的精确含义及用途。 3. 傅里叶级数的初步探索： 针对部分专业的要求，本书对周期函数的傅里叶级数展开原理进行了基础介绍，包括正交性、系数的计算以及狄利克雷定理在收敛性判断中的作用，为后续学习更复杂的分析工具做铺垫。 --- 第四部分：超越基础——微分方程与向量分析导论 (约300字) 本部分旨在提升考生的知识广度，对常微分方程和基础向量分析进行概述，确保考生在面对跨学科题目时有应对能力。 重点突破： 1. 一阶常微分方程的求解范式： 系统梳理了可分离变量法、齐次方程、一阶线性微分方程（通积分法）以及伯努利方程的求解步骤。重点分析了恰当条件下特解的存在性和唯一性定理的意义。 2. 高阶线性常微分方程的求解框架： 详细讲解了二阶常系数线性微分方程的通解结构，以及常数变易法（拉格朗日方法）在求解非齐次方程特解时的通用性。 3. 向量场的初步认识： 简要介绍了向量函数、曲线积分（第一类和第二类）的概念，并解释了梯度、散度和旋度的物理意义（如电磁场中的势函数概念），为后续学习更深入的场论打下直观基础。 --- 本书特点总结： 本书严格遵循“理论深度化、计算过程可视化、应用贴近实际”的原则。每一章节后附有大量的历年真题（非2001年真题，而是涵盖近二十年主流高校考题的典型变体），并提供了详细的解题思路导图，旨在帮助读者构建严密、高效的高等数学知识体系。本书适合已经学过一遍高等数学，但基础不扎实、计算能力有待提高，或需要向更高分析深度迈进的理工科及经管类研究生入学考试的考生。

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这本书的“时代感”非常明显，虽然书名带着“2001”，但这并不意味着内容落伍，反而是其宝贵的历史沉淀的体现。我发现，很多现代教材中一笔带过的基础概念和证明过程，在这本书里被详尽地还原了。举个例子，在阐述随机变量的联合分布密度函数时，它没有直接跳到后面的积分技巧，而是花费了大量的篇幅去解释概率测度空间中的基本概念是如何映射到我们熟悉的二维平面上的。这种从本源出发的讲解方式，对于我这种想深究其原理的读者来说，简直是醍醐灌顶。它让我明白，很多时候我们觉得难，只是因为我们跳过了那些必要的“脚手架”。这本书的作者显然对概率论的数学本质有着深刻的理解，并且有能力将这些深刻的理解用相对简洁的语言传达给非数学专业的考生。读这本书，就像是重新上了一遍严谨的数学基础课，让我对所有后续的解题技巧都有了更坚实的理论后盾。

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这本书最让我感到惊喜的是它对数理统计部分处理的细致程度。通常，很多概率论的书在数理统计部分就草草收场，把重心放在概率上。但这本书对估计和检验的平衡把握得非常好。特别是对于最大似然估计（MLE）的推导过程，它没有像其他书那样直接给出结论，而是通过对数似然函数的求导，详细展示了MLE是如何一步步产生的。更重要的是，它对MLE的优良性质（如一致性、渐近正态性）的介绍，虽然文字略显冗长，但逻辑链条非常完整，每一个性质的证明思路都清晰可见。对于一个渴望在专业课上取得高分的考生来说，这种扎实的证明能力是至关重要的。它让我明白，真正的理解是建立在对证明过程了如指掌的基础上的，而不仅仅是记住那个估计量长什么样。这本书让我感到，我正在读的不是一本应试资料，而是一本真正的数学经典入门读物。

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我必须坦诚，这本书的难度是偏高的，它绝不是那种轻轻松松就能翻完的“速成宝典”。如果你指望通过它在三天内掌握所有知识点，那可能要失望了。它更像是一本需要你投入时间和精力的“武功秘籍”。我个人觉得，这本书的价值在于那些“硬骨头”章节，比如假设检验中的各种功效函数和最优临界值的确定。很多现代的辅导书为了追求“快餐式”学习，往往只给出一个固定的流程，告诉你如何代入数据。但这本书不同，它会引导你去思考，为什么选择这种检验方法比另一种更优？它会深入到P值和显著性水平的哲学讨论中去。这种对方法论的探讨，极大地提升了我的分析问题的能力。每次做完一个大题，我都会回头看书中的相关注释，总能发现一些之前忽略的关键点。它培养的不是解题的熟练度，而是解决未知问题的能力。

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这本书简直是我的救星！备考那段日子，每天都感觉像在迷宫里摸索，特别是面对概率论那些繁复的公式和数理统计的抽象概念时，简直让人抓耳挠腮。我记得我之前尝试过好几本参考书，但不是讲得太深奥，就是例子陈旧，根本跟不上出题的思路。直到我翻开这本《2001研究生入学考试-概率论与数理统计》，感觉豁然开朗。它不像一本冷冰冰的教科书，更像是经验丰富的前辈手把手在教你。书中的章节划分非常清晰，逻辑性强得让人佩服，每一个知识点都是层层递进，从基础定义到复杂的应用题，过渡得自然而然。特别是它对那些经典陷阱题的剖析，简直是神来之笔，作者不仅告诉你正确答案是什么，更重要的是解释了为什么其他看似合理的解法是错的，这种深入骨髓的讲解，让我彻底理解了概率思维的精髓。这本书最大的价值在于它的“实战性”，它真的抓住了历年考研的精髓，而不是泛泛而谈。

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我不得不说，这本书的排版和设计实在是太“复古”了，但这种复古反而带来了一种独特的亲切感和严肃性。拿到手里，那种厚重感和纸张的质感，让人油然而生一种“这是一本正经学习用的书”的敬畏感。我尤其欣赏它在梳理那些重要定理时所采用的对比手法。比如在讲到大数定律和中心极限定理时，它不是简单地罗列公式，而是用非常直观的语言和对比图示（虽然是文字描述的对比），把它们在统计推断中的地位和应用场景描绘得一清二楚。说实话，以前我对这两个定理总是混淆不清，总觉得它们好像是同一回事的不同说法。但这本书通过细致的论述，让我明白了它们各自的适用范围和在处理极限情况时的核心区别。对于我这种需要靠死磕细节来巩固知识点的考生来说，这种细致入微的对比分析，简直是无价之宝。它让我对统计学的根基有了更扎实的把握，而不是停留在会套公式的层面。

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