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出版者:東京大学出版会

作者:高橋 陽一郎

出品人:

页数:164

译者:

出版时间:1988-12

价格:JPY 2730

装帧:単行本

isbn号码:9784130621045

丛书系列:

图书标签:

• haoshu
• 微分方程
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经典物理学的基石：拉格朗日力学与哈密顿力学导论 面向对象： 本书主要面向对理论物理学有浓厚兴趣的本科生、研究生，以及希望深入理解经典力学基础的自学者和研究人员。它尤其适合那些已经接触过牛顿力学，并渴望掌握更优雅、更普适的分析力学框架的读者。 内容概述： 本书旨在系统而深入地介绍经典力学的核心——拉格朗日力学和哈密顿力学。它不仅仅是对既有理论的复述，更是一次对物理规律本质的深刻探索，旨在帮助读者建立起从微观到宏观的统一物理图像。全书结构严谨，逻辑清晰，从基础概念出发，逐步引导读者迈入更抽象、更强大的理论领域。 第一部分：牛顿力学的回顾与局限 在深入探讨新的力学体系之前，本书首先对牛顿力学进行了必要的总结与批判性回顾。我们探讨了开普勒定律、万有引力定律，以及牛顿第二定律在笛卡尔坐标系下的应用。然而，重点在于揭示牛顿力学的局限性：在处理约束问题（如滚轮、摆的运动）和复杂的多体系统时，其方程的复杂性和对约束力的依赖性日益凸显。这部分内容为引入变分原理和广义坐标奠定了坚实的动机。 第二部分：拉格朗日力学的构建 拉格朗日力学的核心在于变分原理——最小作用量原理（Hamilton's Principle）。本书详细阐述了这一原理的物理意义，并导出了欧拉-拉格朗日方程。 2.1 广义坐标与约束 我们首先引入了广义坐标的概念，解释了如何通过选取一组最少的、相互独立的坐标来描述系统的构型，从而有效地消除冗余的约束方程。接着，详细分析了完整约束与非完整约束的区别，以及它们如何影响拉格朗日方程的应用。 2.2 最小作用量原理与拉格朗日方程 本书以严谨的数学推导展示了如何从最小作用量原理自然地导出欧拉-拉格朗日方程。我们详细讨论了拉格朗日量 $L = T - V$ (动能减去势能) 的构建方法，并处理了涉及速度、时间和位置的各种复杂情况。 2.3 守恒定律与诺特定理 拉格朗日力学最强大的优势之一在于其与对称性的深刻联系。本书用整整一章的篇幅聚焦于诺特定理 (Noether's Theorem)。我们不仅介绍了定理的陈述，更重要的是展示了如何利用拉格朗日量对时间平移、空间平移和空间转动的对称性，系统地导出能量守恒、动量守恒和角动量守恒定律。这部分内容将使读者对“守恒”的理解从经验提升到结构性的认识高度。 2.4 进阶应用 本部分通过丰富的实例巩固理论：从单摆、双摆的精确解，到处理电磁场中的带电粒子运动（引入电磁场的拉格朗日量），以及处理陀螺仪等刚体运动问题。 第三部分：哈密顿力学的深化与推广 哈密顿力学是拉格朗日力学的对偶形式，它通过勒让德变换从坐标-速度空间转向相空间（坐标-动量空间）。 3.1 勒让德变换与哈密顿量 本书详细介绍了从拉格朗日量 $L(q, dot{q}, t)$ 导出哈密顿量 $H(q, p, t)$ 的过程，其中 $p = partial L / partial dot{q}$ 是广义动量。我们强调了哈密顿量在保守系统中通常对应于系统的总能量，这为其在统计力学中的应用奠定了基础。 3.2 哈密顿正则方程 通过对勒让德变换的深入分析，我们导出了著名的哈密顿正则方程：$dot{q} = partial H / partial p$ 和 $dot{p} = -partial H / partial q$。这组一阶微分方程组相比于欧拉-拉格朗日方程的二阶形式，在数值求解和理论分析上具有明显的优势。 3.3 相空间与泊松括号 相空间的概念是理解哈密顿力学的关键。本书引入了泊松括号 ${f, g}$，展示了它如何作为描述物理量随时间演化的基本工具。我们证明了正则方程可以通过泊松括号简洁地表示，并探讨了泊松括号的性质，如李括号的结构。 3.4 典范变换 (Canonical Transformations) 为了进一步简化哈密顿方程，我们引入了典范变换的概念，即保持泊松括号结构不变的坐标变换。本书系统地介绍了四种生成函数，并讲解了如何通过典范变换寻找守恒量或将复杂的系统（如中心力问题）转化为简单的可解形式。 3.5 哈密顿-雅可比方程与正则运动方程 作为哈密顿力学的最高形式，本书介绍了哈密顿-雅可比（HJ）方程。该方程是一个一阶偏微分方程，其解可以一步求出系统的运动轨迹，是实现“分离变量”的终极工具。我们展示了如何利用HJ方程与典范变换的联系，为量化理论（量子力学）的建立提供了桥梁。 总结与展望 本书的特点在于： 1. 理论的连贯性： 紧密连接牛顿力学、变分原理、拉格朗日力学和哈密顿力学，展现经典力学是一个层层递进的统一理论体系。 2. 数学的严谨性： 对关键推导过程进行了详尽的阐述，同时保持了物理图像的直观性。 3. 应用的广泛性： 案例涵盖了从基础振动到高级场论的过渡，为读者后续学习电动力学、量子力学和统计力学做好充分准备。 通过对拉格朗日量和哈密顿量的深入掌握，读者将不仅仅学会“如何计算”一个力学问题的解，更将理解“为什么”这些规律以这种形式存在。本书致力于培养读者对物理学深层结构美的洞察力。

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这本书的质量超乎想象！我一直认为微分方程是大学里最难啃的骨头之一，但《微分方程入門》这本书的讲解方式，简直就是把我从悬崖边拉了回来。作者的叙事风格非常吸引人，一点都不像一本枯燥的教材。他会用一些非常巧妙的比喻和类比，将抽象的数学概念变得生动形象。我印象最深刻的是关于“相平面”的讲解，他用了一个非常形象的动态系统来解释，让我瞬间就明白了它的意义和作用。而且，这本书的逻辑结构也非常清晰，每一个章节的过渡都非常自然，让你在不知不觉中就学到了新的知识。让我特别惊喜的是，书中还包含了一些历史故事和名人轶事，增加了阅读的趣味性。我特别喜欢那些“思考题”和“拓展阅读”的部分，它们能激发我去更深入地思考问题，而不仅仅是停留在表面。这本书让我觉得学习微分方程是一件有趣的事情，而不是一项艰巨的任务。

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我是一位在校的工科研究生，平时接触的数学工具不少，但对于微分方程的系统性学习一直是个短板。这次偶然翻阅了《微分方程入門》，没想到给我带来了不少惊喜。这本书的内容组织非常合理，从最基础的导数、积分概念的复习，到各类一阶、二阶微分方程的求解方法，再到一些基本的应用，层层递进，逻辑清晰。我尤其欣赏书中对各种求解方法的理论依据和几何意义的讲解。不仅仅是给出一套公式让你套用，而是深入浅出地解释了为什么这样做有效，以及这些解在图形上代表什么。这对于我这种需要深入理解底层原理的学生来说，是极其宝贵的。书中还穿插了一些历史背景和著名数学家的故事，让学习过程不那么单调。而且，习题的设置也很有梯度，从基础的计算题到稍微复杂一些的应用题，能够帮助我巩固所学知识。虽然我算是有点基础，但这本书对我的启发还是很大，让我对这个领域有了更深层次的认识。

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作为一名多年未接触数学的职场人士，我购买《微分方程入門》的初衷，是希望能够拾起一些被遗忘的知识，或许能为我的工作带来一些新的思路。不得不说，这本书确实在很大程度上满足了我的期待，甚至超出了我的预期。它以一种非常友好的姿态，将一个看似复杂的数学领域呈现在我面前。书中没有充斥着晦涩难懂的术语，而是用一种更加生活化的语言来解释概念。例如，当讲解到“状态”和“变化率”时，作者会用一个简单的比喻来类比，让我一下子就抓住了核心。更重要的是，它强调了“模型构建”的重要性，让我认识到数学工具的价值在于如何用它来描述和解决现实世界的问题，而不仅仅是抽象的计算。即使是那些涉及到一些数学推导的部分，也做到了详尽的解释，让我即使在不完全理解每一步推导的严谨性时，也能大致跟上思路，并理解最终的结论。这本书让我重拾了对数学学习的信心。

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这本书简直是为我量身定做的！作为一名对数学一直有点畏惧的文科生，我常常觉得那些高级的数学理论离我遥不可及。但《微分方程式入門》这本书，彻底改变了我的看法。它没有上来就抛出那些令人生畏的公式和定理，而是从最基础的概念讲起，循序渐进，而且讲解得非常生动形象。书中用了大量的现实生活中的例子，比如人口增长、冷却定律、电路分析等等，让我一下子就能理解微分方程是如何被应用在实际问题中的。一开始我以为这会是一本枯燥乏味的教科书，结果发现它更像是一个耐心的老师，一步一步引导我跨越理解的鸿沟。尤其是一些关键的推导过程，作者都用了非常清晰的图示和文字说明，让我不再感到迷茫。我特别喜欢书中关于“理解”的强调，它不像某些书那样只教你解题技巧，而是让你真正明白每个概念的含义和意义。读完前面几章，我已经对微分方程产生了浓厚的兴趣，甚至开始主动去思考生活中可能遇到的相关问题了。

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我是一名对数学充满好奇的学生，虽然还没有系统学习过微分方程，但一直被它在科学和工程领域的广泛应用所吸引。因此，《微分方程入門》这本书对我来说，就像一扇通往新世界的大门。它没有把我淹没在符号的海洋里，而是用一种非常温和的方式，逐渐引导我认识这个迷人的领域。我尤其喜欢书中对“为什么”的解释，它不像其他一些书籍那样直接给出公式，而是会先解释这个公式是如何推导出来的，以及它的实际意义是什么。这对于我这种喜欢刨根问底的学生来说，是非常重要的。书中还包含了很多有趣的例子，比如模拟不同环境下物体的运动轨迹，或者预测疾病的传播趋势，这些都让我对微分方程的应用有了更直观的认识。我甚至觉得，这本书不仅仅是在教授数学知识，更是在培养一种用数学思维去分析和解决问题的能力。总而言之，这本书为我打开了通往更广阔数学世界的大门。

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