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出版者:高等教育出版社

作者:(罗)托姆斯卡(Tomesou,I.)

出品人:

页数:327

译者:栾汝书

出版时间:1985

价格:2.75

装帧:20cm

isbn号码:9781009073448

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数理逻辑6
• 组合数学
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• 数学基础

《组合学：理论与应用》 概述 《组合学：理论与应用》是一部全面探讨组合学核心概念、方法和最新进展的学术专著。本书旨在为读者构建一个坚实的理论基础，同时展现组合学在解决实际问题中的强大力量。本书的编写目标是成为数学、计算机科学、统计学、工程学以及其他相关领域研究人员和高年级本科生、研究生学习组合学不可或缺的参考。 本书内容涵盖了组合学的经典分支，如计数原理、排列与组合、生成函数、递推关系、图论初步、组合设计和概率组合学等。同时，本书也触及了一些前沿领域，如极值组合学、代数组合学和几何组合学，以便读者对该学科的广度和深度有所认识。 本书特色 体系严谨，逻辑清晰： 本书在内容组织上力求逻辑的严谨性，从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论。每一章的建立都建立在前一章的基础上，确保读者能够循序渐进地掌握知识。 理论与应用并重： 在阐述抽象理论的同时，本书大量引入了贴近实际的例子和应用场景，例如在计算机科学中的算法分析、网络设计，在统计学中的抽样设计，在物理学中的统计力学模型等。这不仅有助于读者理解理论的意义，也展示了组合学解决实际问题的能力。 练习题丰富多样： 每章末尾都附有大量精心设计的习题，涵盖了从概念理解到复杂证明的各个层次。这些习题不仅是检验学习成果的工具，更是深化理解、拓展思路的平台。 深入浅出，易于理解： 作者力求用清晰易懂的语言解释复杂的数学概念，避免使用过于艰涩的术语，并辅以大量的图示和例子，帮助读者克服学习难点。 前沿视角： 在对经典内容进行系统阐述的同时，本书也适当介绍了组合学领域的一些最新研究方向和未解决的难题，为有志于进一步深入研究的读者指明方向。 内容详析 第一部分：计数原理与基本构造 第一章：基本计数原理 加法原理与乘法原理： 介绍最基础的计数方法，如分类计数和分步计数。通过生动的例子，阐述如何将复杂问题分解为简单的计数步骤。 容斥原理： 讲解如何处理具有重叠性质的集合计数问题。本书将深入剖析容斥原理的原理，并给出多种实际应用，如计算互质数的个数、解决某些图论问题等。 鸽巢原理： 介绍一种简单但强大的证明技巧，用于证明存在某种重复。本书将展示鸽巢原理在图论、数论以及其他组合问题中的应用。 第二章：排列与组合 排列： 定义和性质，包括全排列、部分排列。讨论可重复排列和不可重复排列的区别。 组合： 定义和性质，包括组合数公式及其性质。分析二项式定理的展开及其组合意义。 多项式定理： 推广二项式定理，处理多个变量的幂次展开，并分析其组合解释。 子集与幂集： 探讨集合的子集问题，并引入幂集的概念。 第三章：生成函数 普通生成函数： 介绍生成函数作为一种强大的计数工具，如何用来表示和解决各种计数问题，特别是关于整数分拆和递推关系。 指数生成函数： 讨论指数生成函数在处理与排列和置换相关的计数问题中的优势。 生成函数的运算与应用： 讲解生成函数的加法、乘法、复合等运算，并展示它们在求解递推关系、组合恒等式等方面的能力。 第二部分：图论与结构 第四章：图论入门 图的基本概念： 定义图、顶点、边、路径、环等基本术语。介绍不同类型的图，如无向图、有向图、多重图、简单图等。 图的表示： 讨论邻接矩阵、邻接表等常用的图表示方法。 连通性与度： 讲解图的连通分量、割顶、桥等概念，以及顶点的度与度序列的性质。 欧拉路径与哈密顿路径： 介绍判断图是否存在欧拉路径或哈密顿路径的充要条件。 第五章：树 树的定义与性质： 介绍树作为一种特殊的连通无环图，讨论其关键性质，如顶点数与边数的关系、任意两顶点间存在唯一路径等。 生成树： 讨论在给定图中寻找生成树的方法，以及最小生成树的应用。 树的计数： 介绍Cayley公式等关于树计数的经典结果。 二叉树与森林： 介绍二叉树的结构和性质，以及森林的概念。 第六章：图的着色与匹配 图的着色： 引入图的顶点着色和边着色问题，讨论着色数，并介绍四色定理的历史和意义。 匹配： 定义图的匹配，讨论最大匹配和完美匹配。介绍匈牙利算法等解决二分图最大匹配问题的算法。 第三部分：组合设计与概率 第七章：组合设计 设计的基本概念： 介绍区组设计、拉丁方等组合设计结构。 平衡不完全区组设计 (BIBD)： 详细阐述BIBD的定义、参数和存在性。 拉丁方： 介绍拉丁方的定义、性质及其在实验设计中的应用。 有限几何： 探讨有限几何与组合设计之间的联系。 第八章：概率组合学 随机图： 引入Erdos-Renyi随机图模型，讨论图的许多性质的概率出现。 期望方法： 利用期望来证明存在性，以及计算组合对象的一些期望值。 马尔可夫不等式与切比雪夫不等式： 介绍概率论中的重要不等式，并展示它们在组合学问题中的应用。 随机游走： 讨论随机游走在组合对象上的行为。 第四部分：进阶主题与现代发展 第九章：极值组合学 Turán定理： 介绍Turán定理及其在寻找图中包含特定子图的方面的应用。 Ramsey理论： 阐述Ramsey理论的思想，即在足够大的结构中必然存在某种规律性，并介绍Ramsey数。 Sperner引理： 讨论Sperner引理及其在证明一些组合定理中的应用。 第十章：代数组合学 多项式与代数结构： 介绍多项式代数在组合学中的应用，如利用多项式的根来分析组合对象。 对称函数： 讨论对称函数与表示论、组合学之间的深刻联系。 编码理论初步： 简单介绍代数方法在构建和分析纠错码中的应用。 第十一章：计算组合学 组合算法： 介绍生成组合对象（如排列、组合、子集）的算法，以及分析这些算法的复杂度。 计数算法： 探讨如何高效地计数大量的组合对象，特别是利用动态规划等方法。 SAT问题与NP-完全性： 介绍计算复杂性理论中的一些概念，以及组合学问题与NP-完全性之间的关系。 结论 《组合学：理论与应用》通过系统性的梳理、深入的剖析以及广泛的应用展示，为读者提供了一条通往组合学殿堂的清晰路径。本书强调理论的严谨性与应用的普适性，力求使读者不仅掌握组合学的核心工具，更能培养运用组合学思维解决实际问题的能力。本书涵盖的内容丰富且具有深度，无论是作为入门教材，还是作为进阶参考，都能为读者提供宝贵的知识和启发。本书的出版，旨在为促进组合学在理论研究和实际应用领域的进一步发展贡献力量。

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坦白说，这本书的语言风格是相当独特的，它不像某些教科书那样冷冰冰地陈述事实，而是带有一种学者特有的、沉静而富有穿透力的阐述方式。阅读这本书的过程，更像是一场与一位经验丰富、见解深刻的导师进行长时间的深度对话。作者似乎总能精准地预判到读者在阅读过程中可能产生的困惑，并在问题的萌芽阶段就提前给出富有洞察力的解答。他的文字有一种魔力，能够将复杂的思想提炼成简洁而有力的表达。这种内在的韵律感和思想的流畅性，让我在阅读过程中感到身心愉悦。唯一的遗憾在于，全书的习题答案与详细解析部分是分开提供的，这在自学时确实造成了一些不便，如果能将部分核心习题的解析直接嵌入到对应的章节末尾，将会极大地方便读者即时检验学习效果，也更能保持阅读的连贯性和沉浸感。

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这本书的深度和广度都令人印象深刻，它不仅仅停留在基础概念的讲解上，更是在多个交叉领域进行了富有启发性的探索。我惊喜地发现，作者将一些看似无关紧要的小分支问题，巧妙地编织进了宏大的理论框架中，使得读者在学习主干知识的同时，也能够领略到这个学科的枝繁叶茂。特别是关于某些高级算法的引入部分，作者的处理方式极为高明，既保证了数学上的精确性，又兼顾了计算层面的可操作性，这种跨越理论与实践的桥梁搭建能力，是很多同类书籍所不具备的。如果说有什么可以改进的地方，那大概是索引部分的设计可以更加智能化一些，目前的查找效率在面对如此庞大的知识点索引时，略显迟缓，一个更具层级划分和关联指向的索引系统，将会大大提升查阅特定内容的效率。

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这本书的叙事节奏把握得相当到位，它并非那种开篇就抛出大量抽象概念的冷硬教材，而是采取了一种循序渐进、以点带面的方式引入新的知识体系。作者似乎深谙读者在面对全新领域时的心理障碍，总能在关键的转折点巧妙地设置一些生活化的比喻或者历史背景的小故事，一下子就将原本枯燥的理论拉近了现实的距离。我特别欣赏作者在构建理论框架时所展现出的那种历史洞察力，他不仅仅是罗列了“是什么”，更深入地探讨了“为什么会是这样”，追溯了这些核心思想是如何在漫长的时间河流中被逐步完善和打磨出来的。这种叙事手法极大地激发了我的好奇心，让我从一个被动接受知识的听众，转变成了一个主动探索知识的同行者。遗憾的是，在某些章节的习题设计上，区分度可以做得更细致一些，让高阶学习者能够找到更具挑战性的拓展空间。

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我必须承认，这本书在内容编排上的严谨程度令人肃然起敬，它仿佛是一座精心雕琢的知识迷宫，每一步的引导都精确无误，没有丝毫的松懈。作者对于每一个定义、每一个引理的论证都做到了滴水不漏，逻辑链条环环相扣，根本找不到任何可以被质疑的薄弱环节。对于那些追求纯粹数学美感的读者来说，这种极致的严谨性无疑是一种享受，它提供了一种坚不可摧的理论基石。然而，这种高度的抽象性也带来了一个不可避免的副作用：对于非数学专业的读者，或者刚接触该领域的初学者来说，初期的门槛会显得异常陡峭。我希望作者能在章节的开始部分，用更直观的方式为即将到来的抽象概念打一个“软着陆”的铺垫，哪怕只是一小段引导性的文字，都会让学习曲线显得平缓一些，而不是像现在这样，需要读者鼓足极大的毅力才能翻越最初的几页高峰。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，那种沉稳中带着一丝现代感的字体选择，以及封面材质那种略带粗粝却又手感极佳的触感，让人在翻开它之前就已经对内容的深度有了一种隐隐的期待。内页的排版更是体现了出版方的用心，清晰的页眉页脚设计，合理的行距和字号搭配，使得长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。尤其是那些复杂的公式和定理的呈现方式，采用了精心设计的数学符号和清晰的层次结构，即便是初学者也能较快地跟上作者的思路。不过，我个人觉得在某些关键例题的解题步骤上，如果能再多提供一些不同角度的思考路径作为补充说明，想必对那些渴望融会贯通的读者会更有助益。总体来说，从实体书的感官体验上，这本书无疑是市场上诸多教材中的佼佼者，让人愿意捧在手中细细品味。

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