Numerical Linear Algebra and Applications, Second Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:SIAM-Society for Industrial and Applied Mathematics

作者:Biswa Nath Datta

出品人:

页数:554

译者:

出版时间:2010-01-20

价格:USD 79.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780898716856

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• Mathematics
• 数值线性代数
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深入探索当代计算科学的核心：数值线性代数的广阔天地 本书旨在为读者提供一个全面且深入的视角，用以理解和掌握现代科学计算的基石——数值线性代数。我们聚焦于如何利用计算机高效、稳定且精确地解决由实际问题转化为的线性代数方程组、特征值问题以及矩阵分解。 本书的结构设计旨在平衡理论的严谨性与工程实践的适用性。我们避免了对特定软件库或编程语言的过度依赖，而是将重点放在问题的数学本质、算法的内在机制、收敛性的分析以及数值稳定性的考量上。这使得读者无论面对何种计算平台或应用领域，都能构建起坚实的理论框架。 第一部分：基础与误差分析——数值计算的基石 在深入探讨复杂算法之前，我们首先建立起对计算环境的深刻理解。 矩阵运算的浮点数表示与误差传播： 我们将详细考察计算机如何存储和处理实数（浮点数运算），以及由此产生的舍入误差。深入分析了累积误差的理论模型，特别是如何量化和限制这些误差在迭代计算中的传播。这部分内容强调了“为什么需要数值方法”——因为解析解在计算上往往是不可行的或不稳定的。我们探讨了条件数（Condition Number）这一核心概念，它量化了一个问题的敏感程度，是区分“病态问题”（Ill-Posed Problems）与“良态问题”（Well-Posed Problems）的关键工具。 线性系统的求解：基础迭代法与直接法概述： 在这一部分，我们为后续的分解方法打下基础。对高斯消元法（Gaussian Elimination）进行了细致的剖析，着重讨论了其计算复杂性、对浮点数操作的敏感性，并引入了部分选主技术（Pivoting），这是确保算法数值稳定性的关键步骤。此外，我们对雅可比（Jacobi）和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）等经典迭代法进行了介绍，侧重于分析它们的收敛速度和在特定矩阵结构（如对角占优矩阵）下的适用性。 第二部分：矩阵分解与线性系统的核心算法 数值线性代数的核心在于高效地将复杂的矩阵问题分解为一系列易于处理的子问题。 LU 分解及其变体： LU 分解被视为求解大规模、稀疏或密集的线性方程组 $Ax=b$ 的基石。我们不仅推导了标准 LU 分解，还深入研究了其在不进行主元选择时可能遇到的问题。重点讨论了带部分选主的 LU 分解，以及它如何与迭代求解方法相结合形成预处理技术。此外，针对特定矩阵结构，如对称正定矩阵，Cholesky 分解的效率和数值优势被充分阐述。 正交性与最小二乘问题： 在许多应用中（尤其是在数据拟合和回归分析中），精确的解不存在，我们需要寻找最佳近似解，即最小二乘问题。本章的核心是正交化方法。我们详细考察了Gram-Schmidt 正交化的局限性，并提出了更具数值鲁棒性的方法：Householder 反射和 Givens 旋转。这些方法是构建稳定求解最小二乘问题的基础，我们通过 QR 分解来统一处理这些问题。 稀疏矩阵的高效处理： 现代科学与工程中，矩阵往往是巨大的但元素稀疏的（大多数元素为零）。对这些矩阵进行稠密处理是灾难性的。本部分专门探讨了稀疏矩阵的存储格式（如 CSR, CSC 格式），并分析了直接求解法（如稀疏 LU）中填充（Fill-in）问题的管理。此外，我们引入了基于子空间的迭代方法，这些方法特别适用于超大规模稀疏系统。 第三部分：特征值问题与谱分析 特征值问题 $Ax=lambda x$ 在模态分析、稳定性判断和降维技术中至关重要。 直接法与迭代法： 我们首先考察了如何通过相似变换（如 Hessenberg 约简）将一般矩阵转化为更容易处理的结构。对于密集的特征值问题，QR 算法（结合漂移与分级加速）被视为标准算法，其收敛理论和实现细节被详细剖析。对于大规模问题，幂迭代法（Power Iteration）及其对主特征值的提取能力被介绍，随后扩展到反幂迭代法（Inverse Iteration），用于寻找特定特征值附近的精确解。 大规模特征值求解——Lanczos 与 Arnoldi 过程： 针对极大规模矩阵，我们不能计算所有特征值。Arnoldi 迭代和其在对称情况下的特例Lanczos 迭代是解决此问题的核心工具。我们探讨了如何构建 Krylov 子空间，利用这些过程生成一个小的、可管理的投影问题，从而高效地估计出矩阵的几个最大或最小的特征值及其对应的特征向量。本书详细分析了这些方法的收敛速度，以及如何在实践中管理子空间的正交性，防止数值漂移。 第四部分：高级迭代方法与预处理技术 当直接求解方法（如高斯消元）在内存或时间上不可行时，迭代方法成为唯一的选择。 Krylov 子空间方法： 本部分是现代数值线性代数的精髓所在。我们深入研究了解决 $Ax=b$ 的两大支柱：共轭梯度法（CG），专门用于对称正定系统；以及广义最小残量法（GMRES），适用于一般线性系统。我们详细阐述了这些方法如何利用 Krylov 子空间 ${r_0, Ar_0, A^2r_0, dots}$ 来逐步逼近最优解，并分析了它们的收敛性依赖于矩阵的谱分布。 预处理技术的关键作用： 迭代法的收敛速度通常受到矩阵条件数的严重制约。本部分将预处理视为加速迭代的核心技术。我们探讨了各种预处理器的构造，包括代数重构预处理器（如多点预处理器）、基于分解的预处理器（如不完全 LU 或 Cholesky 分解，ILU/IC），以及如何将预处理器集成到 GMRES 或 CG 框架中，从而实现快速收敛。 结语：理论与实践的桥梁 本书的最终目标是赋予读者识别、选择和实现最适合特定计算任务的数值线性代数算法的能力。通过对误差分析的严格处理和对现代迭代算法的深入剖析，读者将能够超越简单的“求解器调用”，真正理解计算的稳定性和效率背后的数学原理。内容覆盖了从基础的矩阵分解到前沿的子空间方法和预处理技术，为从事计算物理、数据科学、工程仿真等领域的专业人员奠定了坚实的基础。

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