The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics

作者:Frank Natterer

出品人:

页数:184

译者:

出版时间:2001-07

价格:USD 78.50

装帧:Paperback

isbn号码:9780898714937

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 计算机断层扫描
• 医学影像
• 应用数学
• 图像处理
• 算法
• 工程
• 科学计算
• 经典著作
• 数学物理

深入解析：非成像领域中数学模型的构建与应用 一本关于复杂系统分析与优化方法的专著 本书旨在为读者提供一个深入而全面的视角，探讨在计算机断层扫描（CT）之外的广阔应用领域中，数学模型如何被构建、分析和应用于解决复杂的实际问题。我们聚焦于那些本质上涉及信息获取、信号处理、逆问题求解以及高维数据结构分析的领域，这些领域与物理成像技术有着深刻的理论共通性，但其具体应用场景却截然不同。 第一部分：离散化、误差分析与数值稳定性 本部分首先从基础数学原理出发，探讨将连续的物理或工程问题转化为可计算的离散模型所面临的挑战。 1. 泛函分析在工程近似中的应用： 我们详细阐述了在处理无限维系统时，如何利用有限维空间中的算子理论（Operator Theory）来近似原问题。重点分析了函数空间的选择（如 Sobolev 空间、$L^p$ 空间）对最终解的正则性和误差估计的影响。特别关注了由于采样限制（如奈奎斯特-香农采样定理的局限性）导致的带宽限制问题，及其在信号重构中的影响。 2. 矩阵系统与大规模线性代数： 许多工程问题最终归结为求解超大规模、通常是病态的线性方程组 $Ax=b$。我们深入研究了病态矩阵的性质，包括条件数分析、特征值分布的几何意义，以及数值方法（如迭代法：Krylov 子空间方法、预处理技术）的选择标准。书中详细对比了直接法（如 LU 分解、Cholesky 分解）和迭代法在处理稀疏性与内存限制时的优劣，并引入了低秩近似（如奇异值分解 SVD 在数据压缩中的应用）作为应对大规模数据的策略。 3. 误差传播与不确定性量化 (UQ)： 任何数值计算都伴随着误差。本章细致地分析了来自模型误差（模型简化带来的偏差）和数值误差（浮点运算的精度限制）的叠加效应。我们采用蒙特卡洛方法、概率加权方法和敏感性分析，来量化输入参数微小变化对最终解稳定性的影响，这对于决策支持系统至关重要。 第二部分：逆问题理论的拓宽应用 虽然 CT 是一种特定的反演问题，但本书将逆问题的框架拓展到更广泛的领域，关注信息稀疏和数据不完备的情况。 4. 盲源分离与独立分量分析 (ICA)： 在通信工程和生物信号处理中，我们需要从混合信号中分离出原始的、未知的源信号。本书深入探讨了 ICA 的核心假设——源信号的非高斯性——及其数学表达。我们分析了 FastICA 算法背后的信息论基础，特别是负熵（Negentropy）的优化过程，以及在高维混合矩阵估计中的稳健性问题。 5. 稀疏表示与压缩感知 (Compressed Sensing)： 颠覆了传统的采样理论，本部分探讨了如何利用信号固有的稀疏性进行高效数据采集。我们详细推导了等距限制 (Restricted Isometry Property, RIP) 的意义，并重点分析了 $ell_1$ 范数最小化（Basis Pursuit）作为凸优化框架求解欠定系统的方法。书中还包含了迭代阈值算法（Iterative Soft Thresholding Algorithm, ISTA）及其加速版本 (FISTA) 在稀疏重建中的应用实例。 6. 优化驱动的逆问题求解： 我们将正则化从 Tikhonov 框架扩展到更具适应性的正则化项。这包括使用 Total Variation (TV) 正则化来保留边缘信息，以及引入结构化稀疏性（如 Block Sparsity）。本书深入探讨了增广拉格朗日乘子法 (ALM) 和交替方向乘子法 (ADMM) 在处理带有复杂约束项的非光滑优化问题时的效率和收敛性证明。 第三部分：图论、网络分析与高维拓扑数据分析 现代数据结构往往以网络或图的形式存在，本部分关注如何将连续数学工具应用于离散结构上。 7. 图拉普拉斯算子与离散调和分析： 借鉴连续域中的微分算子概念，我们定义了图拉普拉斯矩阵，并阐释了其在特征值分解（谱分析）中的作用。通过分析特征向量，可以揭示网络中的内在结构和社区划分。应用实例包括流网络中的最优路径规划和传感器网络中的数据平滑。 8. 网络流与匹配理论在资源分配中的应用： 深入研究了最大流/最小割定理及其在网络容量限制下的资源优化。我们应用对偶理论，分析了最小费用最大流问题在物流调度和通信带宽分配中的建模技巧，并讨论了这些算法在大规模图上的可扩展性挑战。 9. 拓扑数据分析 (TDA) 简介： TDA 致力于从数据中提取其内在的“形状”信息。本书介绍了持久同调 (Persistent Homology) 的基本概念，即如何通过构建过滤后的单纯复形（Simplicial Complexes）来量化数据的连通性、环路和“空洞”。这提供了一种对高维数据进行降维和特征提取的全新、拓扑不变的视角。 第四部分：随机过程与动态系统建模 本部分关注时间序列数据和系统的演化行为，重点是预测和控制。 10. 卡尔曼滤波及其非线性扩展： 作为状态估计的基石，我们详细剖析了线性卡尔曼滤波的递推公式，以及它在最优线性无偏估计中的地位。随后，本书将重点转向更具挑战性的非线性系统，介绍扩展卡尔曼滤波 (EKF) 和无迹卡尔曼滤波 (UKF) 的推导过程，并讨论了它们在处理强非线性动态模型时的局限性与改进方向。 11. 马尔可夫链与蒙特卡洛方法： 探讨了如何使用平稳分布来描述系统的长期行为。重点分析了马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 方法，特别是 Metropolis-Hastings 算法和 Gibbs 采样器，它们是贝叶斯统计推断中处理复杂后验分布的核心工具，在金融建模和复杂系统模拟中发挥着关键作用。 本书面向的是具有扎实微积分、线性代数和基础概率论背景的研究人员、高级学生以及需要处理复杂计算问题的工程师。它强调的是数学工具箱的深度和广度，以及如何将抽象的数学结构映射到具体的、非成像类的工程难题上。书中力求提供严格的理论基础，同时辅以算法实现的洞察力，以期激发读者对跨学科问题解决方法的兴趣。

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