应用高等数学（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:孔亚仙 编

出品人:

页数:262

译者:

出版时间:2005-9

价格:29.00元

装帧:

isbn号码:9787534127564

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 应用数学
• 数学教材
• 大学教材
• 理工科
• 数学分析
• 微积分
• 函数
• 极限
• 导数

探寻宇宙的逻辑：一部跨越理论与应用的数学巨著 书名：《费马的遗产：从欧几里得到非标准分析的数学思想演进》 图书简介 本书并非聚焦于任何单一学科的线性叙事，而是一次宏大而精密的数学思想漫游。它旨在勾勒出人类理性在理解世界过程中，如何从最朴素的几何直觉，逐步构建起抽象、严谨且威力无穷的分析体系的完整图景。我们试图解构那些塑造了现代科学大厦的基石，探寻那些横亘在不同数学分支之间的隐秘联系，并深入挖掘那些看似孤立的概念背后统一的逻辑内核。 第一卷：几何的奠基与极限的萌芽 本卷追溯了数学思维的源头，从古希腊文明对完美形态和空间结构的执着探索开始。我们详细考察了欧几里得几何的公理化体系如何确立了演绎推理的范式。然而，我们并不仅仅满足于对《几何原本》的复述。重点在于分析阿基米德在处理曲线下面积和球体体积时，所展现出的“穷竭法”——一种对后世微积分思想的惊人预见。 随后，视角转向文艺复兴后对精确测量的需求如何推动代数与几何的融合。我们将重点剖析笛卡尔坐标系的革命性意义，它首次将运动的轨迹转化为可运算的方程，为描述动态世界打开了大门。在这一章中，我们将细致地分析巴罗和牛顿在解决瞬时变化率问题时所遭遇的哲学困境：如何精确定义“无限小”？这种对极限概念的朦胧感知，是通往真正分析学的必经的、充满张力的前奏。我们不回避早期微积分在严谨性上所遭受的质疑，并将其视为推动数学家寻求更坚实基础的内在驱动力。 第二卷：分析学的严密化与无穷的驯服 十九世纪是数学史上一次深刻的“反思”时期，是对前一个世纪辉煌成就进行审视和重构的时代。本卷的核心任务是阐释科西、魏尔斯特拉斯等人如何将直觉性的“无穷小”概念转化为严格的 $varepsilon-delta$ 语言。这不仅仅是一种形式上的修正，更是一次思维方式的根本转变——从关注“过程”转向关注“结果”的精确界限。 我们将详细解析连续性、一致收敛性、黎曼积分的构建过程。这些概念的引入，使得我们能够真正可靠地处理无限求和与无限求导的运算，从而为物理学和工程学提供了无可辩驳的数学基础。此外，傅立叶级数的发现及其带来的对不连续函数的分析，极大地拓宽了函数的概念范围，预示着更深层次的泛函分析的到来。本卷也探讨了复数域的拓展，以及函数论（或称复分析）如何以一种截然不同的、更具内在一致性的方式，为平面上的解析函数提供了强大的工具，这种“解析性”的威力远超实数域的限制。 第三卷：拓扑与度量的扩展：超越欧氏空间 当数学家们成功地驯服了实数轴上的变化时，他们开始将目光投向更高维度的空间以及更抽象的空间结构。本卷将深入探讨度量空间、拓扑空间的诞生及其在数学不同领域中的应用。 我们将剖析集合论的危机（如罗素悖论）如何促使策梅洛和弗兰克尔等人建立起ZFC公理系统，这一系统成为了现代数学的共同基石。在此基础上，我们探讨了拓扑学作为“橡皮泥几何学”的本质——研究那些在连续形变下保持不变的性质。从连通性到紧致性，这些拓扑不变量为分类空间提供了全新的视角。 随后，我们将讨论泛函分析的兴起。面对无穷维空间（如函数空间）中的问题，巴拿赫和希尔伯特等人发展了线性算子理论。我们将详细阐述希尔伯特空间的概念，以及它如何成为量子力学等现代物理学理论的天然数学语言。本卷强调的是，数学不再仅仅是描述“我们生活的空间”，而是开始构建和研究所有可能的、具有内在一致性的“结构空间”。 第四卷：非标准分析的回归与数学的哲学反思 本书的最后部分将目光投向一个引人深思的领域：非标准分析（Nonstandard Analysis，NSA）。在主流分析学使用 $varepsilon-delta$ 语言成功构建了其严密体系之后，NSA 带着对“无限小”概念的回归，以一种完全不同的、却同样严谨的方式重新诠释了微积分。 我们将详尽介绍洛宾逊（Abraham Robinson）如何利用数理逻辑和模型论的工具，将无穷小量和无穷大引入实数系统，构建出 “超实数系统”（Hyperreal Numbers）。这使得微积分的运算能够回归到牛顿和莱布尼茨直观的方式，极大地简化了许多复杂问题的证明过程，例如斯蒂尔切斯积分和随机过程的分析。 本卷的价值在于，它揭示了数学概念的“多重表述”的可能性，并引发了关于数学实在性（Mathematical Ontology）的哲学思考：我们所构建的数学结构，究竟是人类心智的产物，还是独立于我们而存在的客观真理的摹写？通过对比标准分析和非标准分析，读者将对数学的本质——即逻辑的必然性与人类想象力的边界——获得更深刻的认识。 结语：逻辑的无限疆域 全书在对数学工具的梳理与批判中收尾，强调数学的进步往往源于对既有“真理”的质疑与重构。本书面向有志于深入理解数学分析本质的读者，无论其背景是工程、物理还是纯粹的数理研究，都能从中获得一次对逻辑与抽象思维的全面洗礼。我们提供的不是一套现成的公式集，而是一张关于人类理性如何征服“无限”的宏伟航海图。

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