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出版者:福建少年儿童出版社

作者:朱海峰

出品人:

页数:190

译者:

出版时间:2011-4

价格:22.00元

装帧:

isbn号码:9787539527512

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《中学数学核心概念精讲与方法论》 面向初中高年级（七、八、九年级）学生及教师的深度学习辅导手册 --- 第一部分：构建坚实的基础——核心概念的深度解析 第1章：有理数与实数系统的延展与深化 本章旨在超越初级代数课本中对有理数的简单运算介绍，深入探讨数系的内在逻辑与结构。 1.1 数轴、相反数与绝对值的几何意义重构： 不仅关注运算规则，更强调其在数轴上的直观表现和距离度量属性。探讨绝对值方程 $|x-a|=b$ 的几何解法，并引入高维空间中距离概念的初步思考。 1.2 有理数的运算律的普适性探究： 详细分析加法、乘法的交换律、结合律、分配律，并通过反证法证明这些定律在有理数域内的绝对有效性。引入“运算的优化策略”——如何根据数字特征选择最简化的运算顺序。 1.3 无理数与实数的引入： 区别有理数与无理数的本质差异（无限不循环 vs. 有限或无限循环）。重点解析 $sqrt{2}$ 的无理性证明（欧几里得式的反证法），并系统介绍 $pi, e$ 等常见超越数的基本概念。 1.4 科学记数法与有效数字的精确表达： 深入讲解科学记数法的应用场景，特别是在物理、化学中的数据处理。讨论有效数字的概念，避免在多步计算中因舍入误差导致的精度损失。 第2章：代数表达式的魔力——多项式与因式分解的艺术 本章将多项式视为处理复杂代数问题的“工具箱”，着重培养学生对表达式结构美的理解和重构能力。 2.1 单项式与多项式的规范化表示： 强调按降幂排列、同类项合并的规范操作。引入多项式的次数、首项系数的精确定义，并探讨多项式在函数图形中的截距和极值点意义的萌芽。 2.2 乘法公式的“逆向工程”——因式分解的系统分类： 将因式分解视为乘法公式的逆运算，并系统分类： (A) 提公因式法（基础与通性）。 (B) 公式法：平方差、完全平方公式的灵活运用。 (C) 十字相乘法（一元二次多项式及进阶的二元二次形式）。 (D) 分组分解法（揭示隐藏的公因式）。 2.3 复杂多项式运算的流程化处理： 结合除法（长除法与综合除法/余数定理的初步联系），解决涉及高次多项式代入与化简的难题。讨论因式分解在求解高次方程中的应用前景。 第3章：方程、不等式与等价变形的逻辑推理 本章的核心在于理解等式和不等式背后的平衡关系，以及确保每一步变形都保持解集不变的原则。 3.1 一元一次方程的严谨求解： 强调“去分母”、“去括号”的步骤，以及移项时符号变化的逻辑依据。讨论无解和多解情况的判定。 3.2 二元一次方程组的解法精讲： 深度对比代入法与加减法的适用场景。加减法中“消元”的本质是利用两个方程的线性组合，介绍系数比的判断技巧，以快速确定使用哪种方法更高效。 3.3 不等式的世界： 重点剖析不等式性质（特别是乘以/除以负数时方向的改变）的严格性。系统讲解含绝对值的一元一次不等式（如 $|ax+b| > c$）的解集表示法（区间表示法）。 3.4 方程组在实际问题中的建模： 侧重于“量”、“率”、“和/差”等关键词的识别，指导学生如何将实际场景（如工程问题、行程问题）准确地转化为代数方程组。 --- 第二部分：几何学的逻辑与构造——平面图形的严谨论证 第4章：相交线、平行线与几何证明的基石 本章是学习几何证明的起点，强调逻辑的严密性和语言的精确性。 4.1 几何基本元素与公理、定义、定理： 区分这三者的地位。着重讲解“两点之间线段最短”、“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”等公理的不可动摇性。 4.2 垂直与平行关系的深度探究： 详细分析同位角、内错角、同旁内角之间的相互转化关系。不仅要求会判定平行，更要掌握“转化”思想：如何通过添加辅助线（如添平行线、垂线）来构造出所需的角关系。 4.3 命题的结构与几何证明的规范书写： 学习“已知”、“求证”、“证明”的格式。强调每一步推导必须有明确的依据（定理名称或已证结论）。解析充分条件与必要条件在几何语境中的体现。 第5章：三角形的内涵与外延——全等、等腰与直角三角形 本章是平面几何的重中之重，聚焦于三角形的稳定性、对称性和判定标准。 5.1 三角形的稳定性与内角和定理的推广应用： 证明三角形内角和为 $180^{circ}$，并将其应用于多边形内角和的推导（非归纳法，而是通过对角线分割法）。 5.2 三角形全等的五大“金标准”解析 (SSS, SAS, ASA, AAS)： 不仅记忆法则，更要理解为何 SSA 不构成判定条件（通过反例法说明不稳定性）。重点解析 $ ext{AAS}$ 是如何由 $ ext{ASA}$ 和内角和定理推导而来的。 5.3 等腰三角形的“三线合一”与轴对称性： 深入剖析等腰三角形顶角平分线、底边中线、高线重合的内在联系，这体现了图形的轴对称特性。探讨如何利用等腰三角形的性质简化复杂的角度计算。 5.4 直角三角形的特殊性质与勾股定理的初步感知： 介绍直角三角形中的中线、高线特性。在不直接使用勾股定理的前提下，探讨其与面积、周长的关系。 第6章：初步的坐标思想——平面直角坐标系的建立与点的表示 本章引入代数与几何结合的桥梁——坐标系。 6.1 坐标系的建立与点的唯一性： 明确横坐标、纵坐标的定义及其在平面上的投影意义。 6.2 点的位置与图形变换的初步关联： 理解点的坐标与方向、距离的关系。初步探讨如何通过改变坐标值来观察图形（如线段）的平移、对称等基本变换对坐标的影响。 --- 第三部分：从算术到代数的思维跨越——综合能力训练 第7章：函数思想的萌芽——变量、对应与初步图像识别 本章旨在帮助学生建立“变化”的数学观，为后续学习函数打下概念基础。 7.1 变量、常量与函数关系的定义： 清晰界定自变量、因变量，理解函数是“特殊的对应关系”。 7.2 一次函数的图像与性质： 重点分析 $y=kx+b$ 中 $k$ 和 $b$ 对图像位置和倾斜度的影响。强调图像上的任意一点都满足解析式，反之亦然。 第8章：综合应用与模型构建 本章侧重于将前七章学到的代数和几何工具进行整合，解决需要多步推理的复杂问题。 8.1 几何图形中的动态问题分析： 例如，在平行线结构中，引入一个移动的点，观察其形成的角度变化或面积变化规律（变量思想的应用）。 8.2 复杂代数式的化简与求值策略： 训练学生在长串运算中，优先使用因式分解、公式代入来简化问题，而不是直接进行繁琐的乘除运算。 --- 本书特色： 逻辑链条清晰： 每个知识点都从最基础的定义出发，逐步推导出更复杂的定理，保证学习的连贯性。 强调“为什么”： 大量篇幅用于解释定理的来源和证明过程，而非仅仅罗列公式。 思维导向训练： 针对性地设计了“转化”、“化归”、“分类讨论”等数学思想的专题训练模块，帮助学生从“做题”思维转向“建模”思维。

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