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页数:284

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出版时间:2010-5

价格:29.80元

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isbn号码:9787512400757

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精选数学思维与方法：构建稳固的数理根基 图书名称：数海探源：现代数学思维与应用基础 图书简介 在浩瀚的数学知识海洋中，掌握正确的航向和高效的检索工具至关重要。本书《数海探源：现代数学思维与应用基础》旨在为读者提供一套系统、深入且极具实践指导意义的数学学习框架，专注于培养核心的逻辑推理能力、抽象思维能力以及将数学工具应用于实际问题的综合素养。本书内容涵盖了从基础代数结构到高等微积分思想的精要提炼，并辅以大量贴近现代科学与工程实践的案例分析。 第一部分：逻辑的基石——严谨的数学语言与证明方法 本部分致力于为读者夯实数学学习的底层逻辑。我们不满足于对公式的简单记忆，而是深入探讨数学语言的精确性与表达力。 第一章：命题逻辑与集合论基础 命题的真值与连接词： 详述“与”、“或”、“非”、“蕴含”和“当且仅当”的精确含义及其在复杂论证中的运用。重点剖析“蕴含”关系的非直觉性，避免日常语言的歧义。 量词的威力： 全称量词（$forall$）和存在量词（$exists$）的引入与切换。通过大量的例子展示如何正确地否定含有量词的复合命题，这是数学证明中最常见的陷阱之一。 集合论的公理化视角（概述）： 介绍朴素集合论的基本概念，如子集、并集、交集、补集、幂集等运算。探讨罗素悖论的引入背景，引导读者理解现代数学对基础严格性的追求。 函数与映射的本质： 深入解析单射、满射和双射的定义及其重要性。理解双射作为构造同构关系的核心工具，是理解抽象代数的基础。 第二章：证明的艺术与技巧 直接证明法： 遵循定义，步步推导的经典方法。重点分析如何有效利用已知的定理和公理链条。 反证法（Reductio ad Absurdum）： 阐述反证法的逻辑结构——证明“若A则B”的等价形式是“若A且非B，则导出矛盾”。通过反证法证明无理数的存在性等经典案例，展示其强大的论证力量。 数学归纳法： 详细阐述归纳法（基础步骤与归纳步骤）的严密性要求，并将其应用于不等式、数列求和公式以及图论中的简单性质证明。特别指出归纳法并非“猜想”，而是一种严谨的证明工具。 构造法与反例： 学习如何通过构造一个满足特定条件的实例来证明“存在性”；或通过构造一个不满足特定性质的实例来推翻一个普遍性陈述（反例）。 第二部分：代数结构的演进与应用 本部分关注数系从有理数到实数、再到抽象代数结构的发展脉络，强调结构的一致性和推广性。 第三章：数系的拓展与极限思想的萌芽 有理数域的完备性探究： 简要回顾有理数的加减乘除运算，引出无理数存在的必要性（如$sqrt{2}$）。 实数的构造与性质： 介绍实数是如何通过有理数的“完备化”来定义的（不深入柯西序列，但强调其几何意义）。重点讨论实数的稠密性、连续性。 数列的极限（Intuitive Approach）： 引入数列极限的直观概念，而非严格的$epsilon-delta$定义。关注数列的单调有界定理，这是分析学中的关键支柱。 第四章：线性代数的几何解释与代数操作 向量空间的概念： 将向量从二维、三维空间的概念推广到$n$维空间。理解向量的线性组合、线性相关与线性无关。 矩阵作为线性变换： 摒弃将矩阵仅仅视为数字表格的观点，将其视为作用于向量空间的“操作器”。理解矩阵乘法即是线性变换的复合。 行列式的几何意义： 解释行列式值代表的“体积缩放因子”，这比仅仅记住代数展开式更为深刻。理解行列式为零的物理意义（非满秩，存在非零解）。 特征值与特征向量： 阐述特征向量在变换下方向不变的特性，及其在系统稳定性分析、主成分分析等领域的应用价值。 第三部分：微积分——变化率的度量 本部分深入探讨微积分学的核心思想，即如何精确描述运动和变化。 第五章：微分学——瞬时变化率的精确描述 导数的几何与物理意义： 导数不仅仅是斜率，更是瞬时变化率、速率、加速度等概念的数学模型。 微分法则的系统应用： 链式法则的深度剖析及其在复合函数求导中的主导地位。 中值定理的意义： 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。重点理解中值定理提供的“平均值等于瞬时值”的保证，这是构造泰勒展开的基础。 函数的极值与凹凸性： 利用一阶和二阶导数来确定函数的局部极值点、鞍点以及曲线的弯曲方向，为函数图像的绘制提供科学依据。 第六章：积分学——累积效应的量化 定积分的黎曼和定义： 从分割、求和、取极限的严谨过程中，理解定积分是如何精确量化曲线下的面积或累积效应的。 微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）： 深刻理解微分与积分之间的互逆关系，这是连接变化率和累积量的桥梁。 不定积分的技巧： 系统梳理积分技巧，包括凑微分法、换元法（理解变量替换后微分元$dx$的变化）和分部积分法（作为乘积法则的逆运算）。 广义积分的概念： 介绍积分区间为无穷大或被积函数存在不连续点时的处理方法，以及如何判断其敛散性。 第四部分：初识现代应用数学工具 本部分简要介绍在现代科学计算和数据分析中至关重要的两个领域。 第七章：概率论与随机变量 古典概型与几何概型： 区分两者的适用范围。 随机变量及其分布： 离散型（二项分布、泊松分布）与连续型（均匀分布、正态分布）的特点。重点理解正态分布在自然现象中的普遍性。 期望与方差： 期望是对“平均结果”的预测，方差是对“结果波动性”的度量。 第八章：数值逼近与误差分析 泰勒级数展开： 利用高阶多项式对复杂函数进行局部逼近，理解其逼近精度与余项的关系。 数值方法简介： 简要介绍牛顿迭代法求解方程的迭代思想，强调其在解析方法失效时的重要性。 本书特点总结： 《数海探源》强调“理解先于计算”，注重数学概念的抽象本质和逻辑推导的严谨性。它不仅仅是一本解题手册，更是一部引导读者建立现代数学思维体系的导论，帮助读者在面对任何复杂的数理问题时，都能迅速定位到其背后的结构和方法论。全书配有大量的“思维导图”和“关键概念辨析”，确保学习者不仅知其然，更知其所以然。

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