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出版者:人民教育出版社

作者:《数学手册》编写组

出品人:

页数:1398

译者:

出版时间:1979

价格:4.10

装帧:精

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深入探索与实践：现代科学与工程计算方法精要 图书简介 本书并非传统意义上的数学参考手册，它是一部聚焦于现代科学计算、数据分析与工程实践的综合性著作。本书旨在为读者提供一套系统、深入且实用的计算工具箱，涵盖了从经典数值分析到前沿机器学习算法的广泛领域。我们相信，在当今数据驱动的时代，理解和掌握高效的计算方法是进行科学研究和工程创新的基石。 第一部分：高性能数值计算基础与优化 本部分将全面回顾和深入探讨支撑现代计算科学的数学基础及其高效实现策略。 第一章：线性代数与矩阵运算的现代视角 本章超越基础的线性代数概念，重点关注在大规模数据和高维空间中的矩阵操作。我们将详细阐述： 稀疏矩阵的存储与求解：针对工程仿真（如有限元分析）中常见的超大规模稀疏方程组，深入剖析CSR、CSC等存储格式的优劣，并比较直接法（如LU分解的稀疏版本）和迭代法（如Krylov子空间方法、GMRES、BiCGSTAB）的收敛性、稳定性和内存效率。 特征值问题的数值解法：重点介绍Lanczos算法和Arnoldi迭代法，它们是处理大型非对称或对称矩阵特征值问题的核心技术。讨论如何通过子空间迭代和预处理技术加速大型矩阵的特征值求解。 奇异值分解（SVD）与低秩近似：SVD作为数据压缩、降噪和主成分分析（PCA）的理论核心，本章将详细介绍其计算实现（如QR算法、Divide-and-Conquer策略），并探讨如何在保证精度的前提下，利用截断SVD实现高效的低秩近似，这在推荐系统和图像处理中至关重要。 第二章：微分方程的数值逼近与仿真 本部分关注如何将连续的物理规律转化为可计算的离散模型。 常微分方程（ODE）的求解器：系统梳理经典的单步法（Runge-Kutta方法）和多步法（Adams法、BDF法）。特别强调了如何根据问题的刚性（Stiffness）选择合适的隐式或半隐式方法，并探讨了适应性步长控制策略的实现细节。 偏微分方程（PDE）的离散化技术：本书侧重于计算物理和工程领域最常用的两种方法：有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）。对于FDM，我们将分析不同阶数的格式（如中心差分、迎风格式）的稳定性和精度，并讨论冯诺依曼稳定性分析。对于FEM，我们将深入讲解形函数、刚度矩阵的构建过程，以及如何利用高阶单元和自适应网格细化来优化计算效率。 傅里叶变换与快速算法：详细介绍离散傅里叶变换（DFT）及其快速实现FFT算法。讨论FFT在频域分析、卷积运算加速中的应用，并简要介绍小波变换在多分辨率分析中的优势。 第二部分：优化理论与计算实现 优化是工程设计、机器学习和资源分配的核心。本部分旨在提供一个全面的优化方法论，并侧重于算法的稳定性和大规模应用。 第三章：经典优化算法的深入解析 无约束优化：对梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法（BFGS、L-BFGS）进行详尽的比较。特别关注L-BFGS如何通过存储近似的海森矩阵信息来有效管理内存，使其成为大规模无约束问题的首选。 约束优化与对偶理论：系统讲解拉格朗日乘子法、KKT条件。重点介绍内点法（Interior-Point Methods）在解决大型线性规划（LP）和二次规划（QP）问题中的强大性能，包括障碍函数的设计和线性系统的求解流程。 第四章：随机优化与大规模学习 面对海量数据和模型，确定性方法往往效率低下。本章专注于随机化和近似算法。 随机梯度下降（SGD）及其变种：详细分析SGD、Mini-batch SGD的收敛性质。深入探讨动量（Momentum）、自适应学习率方法（AdaGrad, RMSProp, Adam）背后的数学原理，以及它们在深度学习优化中的实际效果对比。 分布式优化：介绍在多核CPU和GPU集群上实现优化算法的方法，如同步随机梯度下降（Sync-SGD）和异步随机梯度下降（Async-SGD），并探讨通信开销与收敛速度之间的权衡。 第三部分：概率建模与不确定性量化 现代科学计算越来越重视对模型和数据的内在不确定性的处理。 第五章：蒙特卡洛方法与高维积分 基础采样技术：全面介绍伪随机数生成器的性质（如Mersenne Twister）。核心讲解如何利用重要性采样（Importance Sampling）和马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法，特别是Metropolis-Hastings算法和Gibbs采样，来估计复杂高维积分和后验概率分布。 高效的蒙特卡洛技术：重点介绍准蒙特卡洛（Quasi-Monte Carlo, QMC）方法，通过低差异序列（如Sobol序列）来加速收敛，并在金融衍生品定价和复杂系统可靠性分析中展示其优越性。 第六章：数据拟合、平滑与信息论 本章将计算方法应用于数据处理和模型选择。 回归分析的高级技术：除了最小二乘法，重点讨论正则化方法，特别是岭回归（Ridge）和Lasso回归。分析$L_2$和$L_1$范数惩罚项对模型复杂度的控制和参数稀疏性的影响。 贝叶斯推断与卡尔曼滤波：系统阐述贝叶斯框架下参数估计的思想。详细介绍扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF），它们是处理非线性状态空间模型（如导航、目标跟踪）的经典且强大的工具。 信息论度量：解释KL散度（Kullback-Leibler Divergence）和互信息（Mutual Information）在衡量模型差异和特征选择中的应用。 结论与展望：面向未来的计算范式 本书最后将探讨新兴的计算范式，如基于GPU的并行计算架构（CUDA/OpenCL编程模型）、自动微分（Automatic Differentiation）在复杂模型构建中的革命性作用，以及如何利用符号计算与数值计算的结合来提升复杂问题的求解效率和可解释性。本书的最终目标是培养读者从理论理解到实际高效编码的能力，使其能够独立解决前沿科学与工程中的复杂计算挑战。

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总的来说，《数学手册》是一本非常扎实的参考书，尤其适合那些想要系统梳理数学知识的读者。它在很多基础和核心的数学领域都提供了详尽而准确的讲解。尽管在某些方面，比如对前沿理论的介绍，或者习题的解答，还有提升的空间，但它所提供的坚实基础和对数学联系的强调，足以让它成为我书架上不可或缺的一员。每次遇到难以理解的概念，或者需要查找某个公式的定义时，我都会习惯性地翻开它。它就像一位沉默的导师，默默地在那里，等待着我来向它请教，并总能给我一个可靠的答案。这本书的价值，在于它提供了知识的深度和广度，以及一种严谨的学习态度。

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我不得不说，《数学手册》在处理一些比较前沿的数学分支时，显得有些力不从心。虽然它试图涵盖广泛的数学领域，但对于一些非常高深的理论，例如代数几何或者拓扑量子场论，讲解得就显得有些浅尝辄止了。我翻到关于这些部分的章节时，感觉像是被点到为止，给出了最基本的定义和一些概念的概述，但缺乏深入的探讨和具体的例子。这让我觉得，对于想要在这类领域深入研究的读者来说，这本书可能只是一个引子，提供了一个大致的框架，但后续的深入学习还需要借助其他更专业的书籍。我希望在未来的版本中，作者能够在这方面有所加强，提供更详尽的讲解和更丰富的实例。

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《数学手册》最让我赞赏的一点，是它在不同数学领域之间的连接性。作者并没有孤立地介绍每个分支，而是处处流露出它们之间的深刻联系。我记得在学习线性代数时，作者巧妙地将其与傅里叶变换联系起来，展示了如何用向量空间的概念来理解信号的分解。又比如，在讲解图论时，作者也提及了它在网络分析中的应用，并与概率论中的马尔可夫链联系起来。这种跨领域的讲解，让我看到了数学的整体性和统一性，而不是将它们视为一个个独立的学科。这种视角让我对数学有了更宏观的认识，也激发了我进一步探索不同领域之间联系的兴趣。

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这本书的章节组织方式有时候让我感到有些困惑。虽然它尝试按照数学分支来划分，但某些内容却显得有些零散，缺乏整体的连贯性。我发现，有些概念在不同的章节中反复出现，但每一次的讲解侧重点又有所不同，这让我觉得有点重复，同时也难以形成一个完整的知识体系。例如，某个关于集合论的基本概念，在一个章节中被用来作为基础讲解，但在另一个章节中，又被应用到更复杂的数学结构中，但此时的介绍又显得有些跳跃，需要读者自行回顾前文。这种组织方式，有时候让我感觉像是在拆解一个巨大的拼图，但碎片却又分布在不同的盒子里，需要花很多力气才能将它们重新组合起来。

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最近刚翻完这本《数学手册》，说实话，体验复杂。它像是我的一个老朋友，但又时常让我感到陌生。翻到一半的时候，我一度想把它合上，因为那些章节的叙述方式，以及对一些基础概念的引入，总觉得有点生硬，缺乏那种循序渐进的引导。我记得有个关于微积分的章节，开始的时候讲得很概括，好像默认读者已经对某些思想有了初步了解，但当我深入下去，发现一些推导过程跳跃性太大，让我不得不频繁地停下来，在脑海里或者纸上重新梳理一遍。更让人沮丧的是，有时候会遇到一些作者认为是“显而易见”的推论，但对我来说，这恰恰是需要详细解释的地方。这种“显而易见”的跳跃，让我时常感到被排除在外，仿佛作者是在对一群经验丰富的数学家说话，而不是像我这样，还在努力搭建自己的知识体系。

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这本书的编排实在是令人惊喜，尤其是那些关于抽象代数的部分。我通常对这部分内容感到头疼，觉得充满了各种符号和定义，但《数学手册》的处理方式却让我眼前一亮。它并没有一开始就抛出一大堆定理和公理，而是从一些更具象化的例子入手，比如群论中的对称性，或者环论中的多项式运算。这种“由易到难”的过渡，让我能够逐步理解那些抽象概念背后的直观意义，而不是死记硬背。而且，作者在解释一些关键证明时，思路非常清晰，逻辑链条紧密，让人能够跟得上。我尤其喜欢书中对“同态”和“同构”的讲解，通过多个不同领域的例子，让我深刻体会到它们在数学世界中的普遍性和重要性。即使是对初学者来说，我想这部分内容也不会像其他同类书籍那样令人望而却步。

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这本书给我留下最深刻印象的，是它在概率统计方面的实用性。我通常认为这类数学书籍更偏向理论，但《数学手册》却能在理论讲解的同时，穿插大量的实际应用案例。例如，在讲解中心极限定理时，它不仅仅是给出公式和证明，还通过模拟不同分布的数据，展示了中心极限定理是如何在实际数据分析中发挥作用的。我还特别喜欢书中关于回归分析的部分，它不仅讲解了线性回归的原理，还给出了如何进行模型选择、如何解释回归系数的指导。这让我觉得，这本书不仅仅是知识的传授，更是一种能力的培养，让我能够将学到的数学工具应用到解决实际问题中去，而不是仅仅停留在书本上。

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阅读《数学手册》的过程中，我最大的感受就是它在细节上的严谨。尤其是在几何部分，作者对每一个定理的证明都一丝不苟，即使是一些看起来非常基础的性质，也会给出详尽的推导过程。这对于我这样希望打牢基础的读者来说，简直是福音。我记得有个关于欧拉多面体公式的证明，通常大家都会直接给出结论，但在《数学手册》里，它详细讲解了每一步是如何从基本公理推导出来的，包括如何处理不同类型的多面体，如何进行切割和组合。这种细致入微的讲解，让我对这个公式的理解不再停留在表面，而是能够深入到其内在的逻辑结构。虽然有时候会觉得有点冗长，但正是这种冗长，让我倍感安心，知道自己所学到的知识是坚实可靠的。

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我发现，《数学手册》在习题设计上，虽然数量不少，但质量参差不齐。有些习题能够很好地巩固当章的知识点，并且有一些挑战性，能够激发思考。然而，也有一些习题，感觉只是对书本内容的简单重复，缺乏创新性，做起来显得有些枯燥。更让人遗憾的是，书中并没有提供习题的详细解答，这对于自学读者来说，无疑是一大阻碍。遇到难题时，只能反复琢磨，或者与其他读者交流，而无法通过参考答案来检验自己的思路和方法，这大大降低了习题练习的效率。我希望在未来的版本中，能够增加更具指导意义的习题解答，或者至少提供一些提示性的说明。

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《数学手册》的图示和表格运用得非常巧妙，极大地增强了内容的理解性。我经常发现，当文字描述过于抽象时，一本精美的插图或者清晰的表格，就能瞬间点亮我的思路。例如，在讲解微积分中的曲面积分时，书中绘制了多个不同角度的三维图形，让我能够直观地理解曲面积分的含义以及如何在空间中进行计算。在统计学部分，各种饼图、柱状图和散点图更是将复杂的数据关系一目了然地呈现出来，让我能够快速把握数据的主要特征。这种图文并茂的设计，让学习过程变得更加生动有趣，也大大降低了理解的难度，尤其对于我这种视觉型学习者来说，简直是太友好了。

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是塑料封皮的吧？

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