Introduction to Complex Analysis in Several Variables (Mathematical Library, Vol 7) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Elsevier Science Ltd

作者:Lars Hormander

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1973-12

价格:USD 66.75

装帧:Hardcover

isbn号码:9780444105233

丛书系列:

图书标签:

• Complex Analysis
• Several Variables
• Mathematical Library
• Functions of Several Complex Variables
• Holomorphic Functions
• Cauchy Integral Formula
• Residue Theorem
• Analytic Continuation
• Complex Manifolds
• Potential Theory

深入几何与拓扑的广袤领域：一本关于复几何与微分拓扑的导论 本书旨在为对高维复分析、微分几何以及拓扑学交叉领域感兴趣的研究生和高级本科生提供一个严谨且富有洞察力的导论。它将读者从经典的单变量复分析基础，平稳地过渡到更广阔、更具挑战性的多变量复数域及其所蕴含的深刻几何结构。全书结构严谨，内容覆盖面广，旨在为读者构建一个坚实的理论框架，使其能够进一步探索现代复几何和代数几何的前沿课题。 第一部分：基础回顾与向量值函数空间 在正式进入多变量世界之前，第一部分首先对复分析的基础概念进行必要的梳理，并引入处理高维对象所需的工具。 第一章：复向量空间与多线性代数回顾 本章首先界定了 $mathbb{C}^n$ 上的拓扑结构，重点讨论了 $mathbb{C}^n$ 上的各种范数（如最大范数、欧几里得范数）及其对收敛性的影响。随后，我们详细考察了 $mathbb{C}$ 上的线性代数如何推广到 $mathbb{C}$ 上的复向量空间。关键内容包括复共轭的引入、厄米特内积的概念及其在 $mathbb{C}^n$ 上的重要性。重点阐述了复向量空间作为实向量空间的结构，以及这种“双重结构”如何影响复函数空间的分析。 第二章：全纯函数的局部性质与幂级数展开 本章开始探讨多变量全纯函数的核心特征。我们定义了 $mathbb{C}^n$ 上的全纯函数，并证明了在 $mathbb{C}^n$ 上的可微性（复可微性）等价于全纯性。柯西积分公式的多变量推广是本章的理论基石，在此基础上，我们导出了多变量幂级数的收敛性定理，并证明了全纯函数在局部可以用其泰勒级数精确表示（即解析性）。此外，还讨论了恒等原理（Identity Theorem）在多变量情形下的微妙差异。 第三章：多重指标与微分形式 为了描述高维流形上的积分和微分算子，本章引入了多重指标记号和张量分析的初步概念。我们定义了 $mathbb{C}^n$ 上的 $k$ 阶微分形式 $Omega^k(mathbb{C}^n)$，并明确区分了对称张量与反对称张量。重点在于定义复微分 $d$ 算子，以及其在复坐标系下的具体表达式。本章的难点在于对复微分算子 $d$ 的分解：$d = partial + ar{partial}$，并详细分析了 $partial$ 和 $ar{partial}$ 的性质，为后续的 $ar{partial}$ 方程研究奠定基础。 第二部分： $ar{partial}$ 方程与洛朗和鲍尔-马丁扩展 第二部分的核心在于分析多变量复分析中最具挑战性的核心问题—— $ar{partial}$ 方程的解的存在性与正则性，这直接关联到函数的解析延拓和积分表示。 第四章：皮卡-莱夫谢茨理论与局部解的存在性 本章聚焦于 $ar{partial}$ 方程 $ar{partial} u = f$，其中 $f$ 是一个给定 $(0, 1)$ 型微分形式。我们引入了 $mathbb{C}^n$ 上的基本积分核，例如庞加莱核（Poincaré Kernel）及其修正形式。通过构造性的方法，我们证明了在严格伪凸（strictly pseudoconvex）区域内，该方程存在光滑解。此外，还讨论了 $mathbb{R}^{2n}$ 上的拉普拉斯算子的基本解（格林函数）在复分析中的对应物。 第五章：庞加莱-洛朗积分算子 当处理非凸区域或需要更精细的控制时，仅依赖局部解是不够的。本章详细介绍了庞加莱-洛朗（Poincaré-Lelong）积分算子，该算子提供了对 $ar{partial} u = f$ 的全局解的构造性方法，尤其在有界域上表现优异。我们分析了该算子的光滑性提升性质（Hölder 连续性和 Sobolev 估计），并展示了如何利用它来构造有界区域上的全纯函数的边界值问题解。 第六章：鲍尔-马丁定理与延拓问题 本章探讨了多变量复分析中的一个关键挑战：解析延拓。我们引入了 $mathbb{C}^n$ 上的伪凸和伪凹的概念，并阐述了这些几何性质如何决定函数的延拓能力。鲍尔-马丁（Bochner-Martinelli）公式是本章的核心工具，它提供了一个在有界域上表示全纯函数的积分公式，该公式不仅依赖于边界上的函数值，还依赖于 $ar{partial}$ 的信息。我们利用此公式证明了在光滑有界区域上，全纯函数的性质由其在边界上的性质完全决定，并讨论了何时可以得到一个全局的、类似于单变量情形的恒等定理。 第三部分：赫斯-厄尔米特形式与复洛朗几何 第三部分将分析工具提升至微分几何的层面，探讨具有黎曼度量的复流形上的结构以及复值函数的度量性质。 第七章：复流形与切丛 本章正式引入复流形的定义，强调其作为 $2n$ 维实流形上的一个额外的、相容的复结构。我们定义了复切丛 $T^{1,0}M$ 和 $overline{T^{0,1}}M$，以及复射影空间 $mathbb{C}P^n$ 作为典型的例子。重点在于介绍赫斯-厄尔米特（Hermitian-Weil）结构，包括赫斯-厄尔米特度量 $h$ 及其相关的一阶微分形式——赫斯-厄尔米特形式 $omega$。 第八章：凯勒流形与拉普拉斯-德拉姆算子 凯勒（Kähler）流形是复几何中最重要的一类流形，它要求赫斯-厄尔米特形式 $omega$ 满足柯西-黎曼方程（即 $domega = 0$）。本章详细分析了凯勒流形的性质，例如其具有特殊的拉普拉斯算子结构。我们导出了复拉普拉斯算子 $Delta_{ar{partial}}$ 和 $Delta_{partial}$，并展示了在凯勒流形上它们如何合并成一个单一的拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta_d$。对 $ar{partial}$ 方程解的正则性估计（如 $ar{partial}$-Neumann 估计）被引入，展示了凯勒结构如何强制解具有更好的光滑性。 第九章：布赫纳-闵可夫斯基与洛朗度量 本章探讨了复分析中关于曲率和势函数的联系。我们引入了洛朗（Lelong）的“多重对数”函数和相关的布赫纳-闵可夫斯基（Bochner-Minkowski）积分。重点分析了当 $ar{partial} u = 0$ 时，函数 $u$ 具有的“伪凸性”度量。这部分内容深入到如何使用 $mathbb{C}^n$ 上的特定度量（如邱度量或常曲率度量）来研究函数族的扩张和收敛性，为代数几何中的希尔伯特多项式和模空间理论提供了分析基础。 结论与展望 全书的最后一部分将前述工具应用于高维分析中的一些经典问题，例如多重极值原理的推广，以及对 $mathbb{C}^n$ 上全纯函数环的代数几何解读。本书强调的是分析的严格性、几何的直观性以及工具之间的相互转化，致力于培养读者在高维复空间中进行几何直觉推理的能力。

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