具体描述
《数值分析(第3版)》共分10章，内容包括误差知识，方程（组）的迭代解法，线性代数方程组的计算方法，插值法与函数逼近，矩阵的特征值与特征向量的计算方法，数值积分与数值微分，快速傅里叶变换，常微分方程初值问题的数值解法。全书从构造算法、分析算法、使用算法三方面组织教材内容，力求通俗易懂、深入浅出，并配以例题和习题，以助理解。
《数值分析（第三版）》可作为高等工科院校教材，也可作为工程科技人员的参考书。
好的，这是一份针对一本名为《数值分析》的图书的不包含该书内容的图书简介。我们将围绕其他学科领域或主题进行详细的构思和阐述，以确保内容丰富且具有专业性。 图书名称：《空间几何与拓扑结构基础》 副标题：从欧几里得到黎曼流形的直观构建与形式推导 作者：[此处留空，假设为某资深学者] --- 导言：超越可见的维度——对空间本质的深度探索 我们生活的世界似乎是平坦、有序且可测量的。然而，在数学和物理学的深邃领域中，对“空间”的理解远比三维欧几里得坐标系要复杂和深刻。《空间几何与拓扑结构基础》并非一本关于求解线性方程组或迭代收敛速度的教材，它是一次对空间本质的哲学性与形式化探险。本书旨在为读者构建一个坚实的理论框架，用以理解和描述从经典几何到现代微分几何和拓扑学中，空间是如何被定义、度量和变形的。 本书的焦点集中于对结构的分析，而非对数值逼近的关注。我们深入探究的是空间本身的内在属性——那些在坐标变换、拉伸、弯曲甚至破碎后依然保持不变的性质。 第一部分：欧几里得几何的重构与射影扩展 本书的第一部分从读者熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，但其目的并非重复基础的三角学或向量代数。相反，我们着重于如何以公理化的方式重构这些基础，并自然过渡到更广阔的几何视野。 1.1 几何基础的严谨化： 我们详细讨论希尔伯特公理体系的意义，并引入仿射空间的概念，理解何为“点”、“线”和“平面”的内在关系，脱离对具体坐标的依赖。这里讨论的重点是共线性、共面性的抽象定义及其代数表达。 1.2 射影几何的引入： 射影几何是理解透视关系和无穷远点的关键。本书将射影空间 $mathbb{P}^n$ 视为欧几里得空间在无穷远处添加“无穷远线”的构造。我们将详细分析对偶性原理、交比不变量（Cross-Ratio）在射影变换下如何保持稳定，并阐述其在计算机图形学和代数几何中的深远影响。我们关注的是不变性，而非数值精度。 1.3 刚体运动与群论视角： 刚体运动（如旋转和平移）构成了一个重要的李群——欧几里得群 $E(n)$。我们不涉及数值优化的最小二乘法，而是从群论的角度分析这些变换的生成元、生成关系以及它们如何作用于几何对象，强调对称性在几何描述中的核心地位。 第二部分：微分几何的直观与张量分析 本书的核心篇章之一，将带领读者进入微分几何的世界，研究在光滑曲面上进行度量和测地线的研究。 2.1 流形的概念与构造： 流形是现代几何的基石。我们首先引入拓扑流形，理解什么是局部欧几里得性。随后，我们过渡到光滑流形，重点讨论坐标卡片 (Charts)、图册 (Atlases) 以及过渡函数 (Transition Maps) 的光滑性要求。这确保了我们能够在局部使用微积分工具，同时保持对全局结构的洞察。 2.2 张量的语言： 为了描述曲线上或曲面上的方向依赖性量，我们必须掌握张量分析。本书将协变张量（如度量张量 $g_{ij}$）和反变张量（如切向量场 $V^i$）的代数定义与它们在坐标变换下的行为紧密结合。重点阐述张量场的微分运算（如协变导数 $
abla$）是如何在曲面上保持几何意义的，完全避开了对有限差分法的讨论。 2.3 测地曲率与黎曼几何初步： 我们将推导黎曼度量张量 $g_{ij}$ 如何定义空间内的“距离”和“角度”。随后，本书详细构建克里斯托费尔符号 (Christoffel Symbols)，并利用它们推导出测地线方程（描述空间中“最直”的路径）。我们探讨曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的定义，探究空间在何种程度上偏离了平坦性。例如，球面上两点间最短路径的计算，是基于对测地线方程的解析求解，而非迭代逼近。 第三部分：基础拓扑学：不变性的哲学 拓扑学被称为“橡胶垫几何”，因为它关注的是在连续形变下保持不变的性质。本书的最后一部分，将从定性的角度审视空间的连通性和紧致性。 3.1 拓扑空间的建立： 我们从开集、闭集的定义出发，建立拓扑空间的基本框架。本书将严格区分度量空间（具有距离的概念）和更一般的拓扑空间。重点分析开球和邻域的抽象定义。 3.2 连通性与紧致性： 我们深入探讨路径连通性的概念，并将其与更弱的连通性进行对比。紧致性的概念通过开覆盖的有限子集定理进行阐述，这在分析函数空间中的极值问题至关重要。这里不会涉及任何与网格划分或离散化相关的讨论。 3.3 连续映射与同胚： 拓扑学研究的核心是同胚 (Homeomorphism)，即保持拓扑性质的双射。本书通过著名的例子，如咖啡杯与甜甜圈的同胚，阐明了如何通过拓扑不变量（如亏格）来证明两个空间在拓扑上是不可区分的。我们将分析同伦群（Homotopy Groups）的基本思想，用以区分具有不同“洞”的数量的空间。 总结：超越计算的几何直觉 《空间几何与拓扑结构基础》是一部面向高阶数学、理论物理和高级工程学读者的专著。它提供了一种从公理和不变性出发的几何学视角，强调对空间结构、张量分析以及连续形变本质的深刻理解。本书旨在培养读者构建数学模型和进行形式化推理的能力，而不是提供任何用于数值计算或误差分析的方法。它要求读者具备扎实的微积分和线性代数基础，并鼓励他们以一种更加抽象和直观的方式来“看见”高维空间和弯曲时空的美丽结构。 ---
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