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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Michael Struwe

出品人:

页数:302

译者:

出版时间:2008-6-13

价格:USD 179.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540740124

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 变分法
• 数学分析
• 数值分析
• 优化
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 应用数学
• 科学计算
• 工程数学
• 近似计算

《复杂系统中的非线性动力学与演化》 内容简介 本书深入探讨了复杂系统领域中非线性动力学、混沌理论、突变理论以及复杂性科学的前沿议题。系统地梳理了经典动力学系统、耗散结构理论、自组织现象、以及信息熵在描述系统演化过程中的作用。全书旨在为读者提供一套严谨的数学工具和深刻的物理洞察，以理解和分析自然界、工程技术和社会科学中普遍存在的非线性、不可预测性和涌现现象。 第一部分：非线性动力学基础与稳定性分析 本部分奠定了理解复杂系统行为的数学基础，重点关注常微分方程组（ODE）和偏微分方程（PDE）所描述的动力学系统的定性分析方法。 第一章：动力学系统的相空间描述与拓扑结构 详细阐述了状态空间、相轨线、流的概念，引入了李雅普诺夫（Lyapunov）意义下的稳定性分析。深入讨论了定常点（不动点）的线性化分析，包括鞍点、结点、中心、极限环等拓扑结构。对保守系统和耗散系统的区分进行了严谨的数学定义，并引入了面积（体积）收缩因子来定量描述系统的耗散性。 第二章：分支理论与系统演化的定性转变 本章聚焦于系统参数变化时，平衡点和周期解的稳定性如何发生突变——即分支现象。系统分析了经典的分岔类型，包括：鞍结分岔 (Saddle-Node Bifurcation)、超临界/次临界 Hopf 分岔（涉及周期解的产生与消失）以及意大利面分岔 (SNIC)。通过引入范式方程 (Normal Form Equations)，展示了如何将高维系统的局部行为简化为低维可分析的模型，从而揭示系统从稳定状态到不规则行为的临界点。 第三章：极限环与周期性振荡 深入研究了二维系统中周期解的存在性、唯一性和稳定性。详述了庞加莱-伯蒂森定理 (Poincaré-Bendixson Theorem) 在保证极限环存在性中的应用。重点分析了自激振荡系统的数学模型（如范德波尔振荡器），探讨了等温线（Isoclines）的几何意义，并引入了平均场理论 (Averaging Method) 来近似分析具有小参数扰动的周期系统。 第二部分：混沌动力学与拓扑熵 本部分深入复杂性问题的核心——混沌现象的数学刻画、识别及其遍历性。 第四章：混沌的数学特征与度量 系统定义了拓扑混合性 (Topological Mixing)、稠密性 (Density) 以及对初始条件的敏感依赖性 (Sensitive Dependence on Initial Conditions, SDIC)。SDIC 通过李雅普诺夫指数 (Lyapunov Exponents) 进行量化。本书详细推导了多维系统中的最大李雅普诺夫指数的计算方法，并阐明了指数谱的符号与系统行为（稳定、周期、混沌）之间的严格对应关系。 第五章：奇异吸引子与分形几何 混沌系统的长期行为被吸引在特定的集合上，即奇异吸引子 (Strange Attractors)。本章将动力学与几何学紧密结合，介绍了豪斯多夫维数 (Hausdorff Dimension) 和容量维数 (Capacity Dimension) 的概念。通过洛伦兹吸引子（Lorenz Attractor）的经典案例，展示了吸引子如何具有非整数维度的分形结构，以及这种结构如何编码了系统的无限复杂性。 第六章：拓扑熵与信息论在动力学中的应用 本章超越了传统的相空间分析，引入了信息论工具来衡量复杂系统的内在不确定性。定义了拓扑熵 (Topological Entropy)，它衡量了系统在有限时间间隔内在相空间中产生新轨迹的速率。将动态熵 (Dynamical Entropy) 与经典的信息熵概念联系起来，解释了为什么混沌系统在长期预测中本质上是不可约的，因为它在信息层面上不断产生新的、不可压缩的信息。 第三部分：随机性、噪声与复杂系统演化 本部分将动力学系统置于真实世界的背景下，考虑环境噪声和随机涨落对系统演化的影响。 第七章：随机微分方程与布朗运动 引入伊藤积分 (Itô Calculus) 的基本框架，用于处理包含随机扰动的系统，即随机微分方程 (SDE)。详细分析了斯特拉托诺维奇 (Stratonovich) 和伊藤 (Itô) 积分方案的差异及其物理意义。讨论了白噪声对确定性动力学系统的平滑或增强作用，以及如何在SDE框架下定义稳定性和吸引子的概念。 第八章：噪声驱动下的分岔与布莱克-卡茨分岔 探讨了噪声如何改变系统对参数变化的响应。随机分岔 (Stochastic Bifurcation) 描述了系统在接近临界点时，噪声如何诱发或抑制确定性系统中的定性转变。重点分析了布莱克-卡茨 (Kramers) 效应，即在势垒驱动下，随机跳变如何使系统穿越能量屏障，这在化学反应动力学和阈值系统中至关重要。 第九章：自组织与耗散结构 本书最后一部分转向宏观尺度的复杂性。基于普里高津（Prigogine）的工作，详细阐述了耗散结构 (Dissipative Structures) 理论，解释了远离热力学平衡的开放系统如何通过与环境的物质和能量交换而产生宏观有序性（如贝纳尔对流）。讨论了对称性破缺 (Symmetry Breaking) 在自组织过程中的核心作用，以及涨落-耗散定理 (Fluctuation-Dissipation Theorem) 在描述系统尺度之间的联系。 适用读者 本书面向具有扎实的微积分、线性代数和常微分方程基础的研究生和高年级本科生。它也是物理学、工程学、生物数学、金融数学及复杂性科学领域研究人员的理想参考书，为理解和建模非线性、不可预测的自然及人工现象提供了必要的理论深度。

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这本书不是textbook，因为写得并不系统；也不是monograph, 书中绝大多数结果已经发表；也不是对变分法的survey。但适合作为变分课程的扩充，涵盖的方法很广，尤其对于处理非线性PDE很有用。书不厚，因此证明较简略，中间有不少gap，要了解细节的话需要读作者给出的references。最后一节很适合作为了解harmonic maps的入门。

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