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出版者:Academic Press

作者:I.S. Gradshteyn

出品人:

页数:1204 pages

译者:

出版时间:January 15, 1994

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780122947551

丛书系列:

图书标签:

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• 数学
• 积分表
• 级数
• 乘积
• 高等数学
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• 物理数学
• 科学计算
• 数学工具书

献给数学家、工程师和物理学家的权威工具书 《数学手册：精选公式与方法汇编》 简介： 本书旨在成为高等数学、应用科学和工程学领域从业者的必备参考指南。在浩瀚的数学知识海洋中，清晰、准确且易于检索的公式和方法是加速研究与解决实际问题的关键。《数学手册：精选公式与方法汇编》正是基于这一需求而精心编纂的，它并非对某一特定领域（如积分、级数或特殊函数）进行详尽的理论推导，而是提供一个高度浓缩、经过严格筛选和验证的数学工具箱，覆盖了从基础微积分到现代物理学应用中经常遇到的核心概念。 本书的结构设计遵循了实用主义原则，旨在实现最快的查找效率。我们深知，在面对复杂的计算或理论模型时，用户需要的是即时可用的结果，而非冗长的背景介绍。因此，本书的重点在于提供经过时间检验的、具有广泛适用性的数学表达形式。 --- 第一部分：基础分析与代数结构 (Foundational Analysis and Algebraic Structures) 本部分为所有高等数学研究的基石。它系统地汇集了在处理连续性和离散性问题时最常引用的定理和公式。 1. 基础微积分核心公式集 (Core Calculus Formulas): 导数规则的系统性回顾： 包括链式法则、乘积法则、商法则的概括性表述，以及对基本初等函数（三角函数、指数、对数）的导数进行全面总结。特别关注了高阶导数的计算模式。 不定积分的巧妙技巧： 涵盖了基本积分形式的列表，侧重于分部积分法和三角代换法的典型应用模式。着重展示了如何通过代数操作简化积分对象，而非仅仅罗列标准积分表。 定积分的几何与物理解释： 提供了面积、体积（圆盘法、壳层法）的积分表达，并简要提及了物理学中如功、质心计算中的应用形式。 2. 线性代数与矩阵运算 (Linear Algebra and Matrix Operations): 矩阵运算的捷径： 详细列出了矩阵乘法、逆矩阵（针对 2x2、3x3 矩阵的快速计算方法）、转置和伴随矩阵的性质。 特征值问题的求解框架： 明确了特征方程的构建方式，以及如何利用特征值和特征向量进行对角化处理。着重于对角化在系统稳定性分析中的理论意义，而非深入证明。 行列式的计算规律： 总结了行列式性质，特别是行/列变换对行列式值的影响，为解线性方程组提供快速验证工具。 3. 序列与收敛性判据 (Sequences and Convergence Criteria): 级数收敛性的实用测试： 集中展示了比值检验、根值检验、积分检验的清晰应用步骤。 泰勒与麦克劳林展开式（仅展示关键项）： 提供了 $sin(x)$, $cos(x)$, $e^x$, $ln(1+x)$ 等常见函数展开的前几项，侧重于其在近似计算中的直接应用价值。 --- 第二部分：应用数学与变换技术 (Applied Mathematics and Transformation Techniques) 本部分聚焦于那些在信号处理、控制理论和微分方程求解中至关重要的数学工具。 1. 傅里叶分析基础 (Fundamentals of Fourier Analysis): 傅里叶级数展开的结构： 明确了周期函数 $f(x)$ 的傅里叶级数公式框架，并给出了计算奇函数和偶函数系数的简化规则。 傅里叶变换对速查： 提供了若干常见信号（如矩形脉冲、高斯函数）及其对应傅里叶变换对的快速查询表。本书强调的是“输入什么，输出什么”，以服务于频谱分析的需求。 2. 拉普拉斯变换的应用 (Applications of the Laplace Transform): 核心变换对列表： 系统罗列了时间域函数 $f(t)$ 到拉普拉斯域 $F(s)$ 的常用对应关系，特别是单位阶跃函数、狄拉克 $delta$ 函数和指数衰减项。 线性与时移性质： 明确了拉普拉斯变换在线性系统分析中的关键性质，如对微分和积分运算的简化作用。 3. 矢量微积分的几何表达 (Geometric Expressions in Vector Calculus): 微分算子概述： 清晰界定梯度 ($ abla f$)、散度 ($ abla cdot mathbf{F}$) 和旋度 ($ abla imes mathbf{F}$) 的定义和物理含义（例如，散度与源强、旋度与涡旋的关系）。 格林、斯托克斯与高斯定理的简洁形式： 本部分只展示这些基本定理的积分形式，旨在供读者在进行场论计算时快速套用边界条件，而不深入探讨其拓扑基础。 --- 第三部分：特殊函数与方程求解框架 (Special Functions and Equation Solving Frameworks) 对于处理波动、扩散或量子力学问题的研究者，理解特殊函数的结构至关重要。 1. 常微分方程（ODE）的求解模式： 一阶方程的分类与解法： 对可分离变量、一阶线性、恰当方程提供标准解的模板。 二阶常系数线性 ODE： 提供了特征方程的解与对应通解的清晰映射（实根、复根、重根三种情况）。 欧拉-柯西方程的降阶处理： 简述了处理变系数欧拉-柯西方程的换元技巧。 2. 经典特殊函数速查 (Quick Reference for Classical Special Functions): 贝塞尔函数（Bessel Functions）： 提供了第一类和第二类贝塞尔函数 $J_n(x)$ 和 $Y_n(x)$ 的递推关系，这些关系是求解圆柱对称问题的关键。 勒让德多项式（Legendre Polynomials）： 概述了它们在球对称问题中的重要性，并给出了前几个多项式的明确表达式。 --- 结论：为何选择《数学手册》？ 本书的优势在于其精准性、聚焦性和可操作性。它不是一本教材，而是工具箱。对于需要在研究中频繁调用复杂数学公式的专业人士而言，本书提供了必要的“捷径”——它过滤掉了繁复的理论证明，提炼出最核心、最常用的数学表达、转换规则和解题模式。通过清晰的索引和逻辑化的章节划分，用户可以迅速定位并应用所需的数学结构，从而显著提高工作效率，是理论与实践之间一座坚实的桥梁。

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