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出版者:Alpha Science International, Ltd

作者:E. Malkowsky (Editor) P. K. Jain (Editor)

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1999-03-01

价格:USD 135.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9788173192395

丛书系列:

图书标签:

• Sequence Spaces
• Functional Analysis
• Harmonic Analysis
• Summability
• Infinite Series
• Topology
• Real Analysis
• Operator Theory
• Numerical Analysis
• Approximation Theory

泛函分析与算子理论前沿探索 内容简介 本书旨在为高等数学、数学分析、泛函分析领域的学生、研究人员以及对数学物理、应用数学感兴趣的读者提供一个深入、全面且富有洞察力的学习资源。我们着重探讨了现代泛函分析的核心概念、重要理论结构及其在多个学科领域中的前沿应用，力求在严谨的数学基础上，展现该学科的广阔图景与蓬勃生机。 本书结构清晰，内容涵盖了从基础概念的复习到高级理论的构建，再到最新研究成果的介绍。全书分为六个主要部分，共计十五章。 --- 第一部分：度量空间与拓扑基础的深化 本部分致力于巩固和拓展读者对度量空间和拓扑空间理论的理解，这是泛函分析一切构造的基石。 第一章：广义度量空间与完备性 本章超越了传统的欧几里得空间范畴，详细考察了任意集合上的各种广义度量，包括拟度量、伪度量以及它们在概率论和信息论中的联系。重点讨论了完备性概念的推广，如比利舒尔完备性（Baire Completeness）和拓扑完备性。引入了更精细的收敛概念，例如极限点集的性质、超限归纳法在度量空间构造中的应用，以及基于过滤器和净（Nets）的收敛描述，为后续的函数空间理论打下坚实的基础。 第二章：拓扑向量空间及其内在结构 本章深入研究了拓扑向量空间（TVSs）的构造和分类。我们详细讨论了局部凸性（Local Convexity）的重要性，凸性如何与拓扑结构相互作用。对涌现空间（Emerging Spaces）进行了探讨，包括Fréchet空间和BNS空间（Bornological Spaces）。拓扑的度量化问题，即哪些TVSs可以由度量诱导，将在本章得到详尽的分析，包括著名的Mityagin构造和相关的反例。 --- 第二部分：赋范空间与巴拿赫空间的高级理论 本部分将焦点集中于具有范数结构的完备线性空间——巴拿赫空间，并着重于其上算子的研究。 第三章：巴拿赫空间的几何结构与不等式 除了经典的Hahn-Banach定理和均匀有界性定理之外，本章侧重于巴拿赫空间的几何性质。我们引入了毛刺半径（Dented sets）、圆锥（Cones）的概念，并详细分析了Schur引理在不同巴拿赫空间中的适用性。对Banach-Mazur距离和可分性进行了深入探讨，特别是关于嵌入（Embeddings）的复杂性分析。 第四章：有界线性算子与对偶性理论 本章系统梳理了有界线性算子在巴拿赫空间间的性质。对算子范数的精确定量技术进行了讨论，特别是涉及积分算子和微分算子的估计。对偶空间（Dual Spaces）的构造被提升到核心地位，我们探讨了哪些算子可以被“自然地”扩展到其对偶空间，以及强拓扑和弱拓扑在对偶空间上的相互作用，为量子力学中的可观测量奠定理论基础。 --- 第三部分：希尔伯特空间与正交性结构 本部分聚焦于具备内积结构的希尔伯特空间，这是傅里叶分析、量子力学和偏微分方程理论的天然环境。 第五章：希尔伯特空间的基础构造与几何 本章回顾了投影定理和Riesz表示定理，并将其推广到一般的拓扑向量空间。重点在于正交投影在解决最小二乘问题中的作用。我们深入研究了正规算子（Normal Operators）的性质，包括它们的谱分解与投影值测度（Spectral Measures）之间的深刻联系。 第六章：有界算子在希尔伯特空间上的结构 本章专论自伴算子（Self-Adjoint Operators）和酉算子（Unitary Operators）。详细分析了谱理论在自伴算子上的应用，包括函数演算（Functional Calculus）的构造。对算子代数（Operator Algebras）进行了初步的介绍，特别是Von Neumann代数的预备知识，强调了这些算子在动力系统和量子信息中的作用。 --- 第四部分：紧凑算子与谱理论的延伸 本部分将研究从希尔伯特空间到自身的紧致算子，并发展谱理论至更一般的有界算子。 第七章：紧致算子与施密特分解 本章详细介绍了紧致算子（Compact Operators）的定义、性质及其在无穷维空间中的“有限性”体现。对Rellich-Kondrachov定理在函数空间嵌入中的应用进行了细致的分析。重点阐述了施密特核（Hilbert-Schmidt operators）的分解定理，该定理是解决积分方程的关键工具。 第八章：一般有界算子的谱理论 本章突破了自伴算子的限制，深入探讨了任意有界线性算子的谱结构。对解析函数演算（Analytic Functional Calculus）的构造及其在算子函数的定义中起到的关键作用进行了严谨的论证。谱半径公式、谱的几何拓扑结构以及算子理论中的不变子空间问题被作为本章的高级主题进行探讨。 --- 第五部分：无界算子与微分方程的边界 本部分是应用泛函分析的桥梁，关注在Sobolev空间和更广义的空间上的无界线性算子，这与偏微分方程的解的存在性和正则性密切相关。 第九章：无界算子与闭性 本章定义了闭算子（Closed Operators）和稠密定义域（Dense Domains），并讨论了闭包、闭生成子（Closed Generators）的概念。重点分析了闭合与闭包的判定准则，以及如何通过拓扑方法确保一个算子是闭的。 第十-十一章章：半群理论与演化方程 第十章详细介绍了半群（Semigroups）的概念及其与无穷小生成元的关系，特别侧重于Hille-Yosida定理的严谨证明和应用。第十一章则将半群理论应用于各类演化问题，包括热方程、波动方程以及随机微分方程中的粘性解理论中的应用背景。着重探讨了在Sobolev空间 $H^s$ 上定义这些算子的可行性。 --- 第六部分：凸分析、变分法与应用联系 本部分将理论泛函分析与优化、变分法中的核心技术相结合。 第十二章：凸分析在无限维空间中的应用 本章将凸集、凸函数、极小化问题从有限维推广到巴拿赫空间。讨论了Fenchel变换、极化恒等式以及支撑函数（Support Functions）的性质。探讨了变分不等式（Variational Inequalities）的解的存在性，这在流体力学和弹性力学中有直接的物理对应。 第十三章：变分法与能量泛函的最小化 本章探讨了狄利克雷原理的推广，即在函数空间上寻找能量泛函的最小值。重点分析了勒贝格积分与广义函数的概念如何构建可微的能量泛函。对Dirichlet积分、Sobolev能量以及相关的紧致性条件进行了深入讨论，这些是变分法中确保解存在性的关键技术。 第十四章：测度论在无穷维空间中的挑战 本章引入了无穷维空间上的测度问题，特别是Wiener测度在随机过程中的地位。探讨了Bochner测度和Sazonov定理的初步概念，旨在说明在无穷维空间中建立概率测度的困难与重要性，这是现代随机分析的基石。 第十五章：随机有界算子与应用展望 本章对前述理论在现代研究中的应用进行了概览。重点讨论了与随机场相关的随机线性算子的性质，以及其在金融数学中定价模型（如Black-Scholes方程的随机化推广）中的潜在作用。 --- 本书的特色在于其深度和广度的结合，不仅提供了坚实的理论证明，更注重连接这些抽象概念与具体的分析问题。通过对拓扑、几何、谱理论和演化方程的系统性梳理，读者将能够为进一步探索算子代数、非交换几何或应用动力系统打下不可动摇的基础。

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