Invertible Point Transformations and Nonlinear Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:World Scientific Publishing Company

作者:Willi-Hans Steeb

出品人:

页数:180

译者:

出版时间:1993-10

价格:USD 54.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9789810213558

丛书系列:

图书标签:

• Invertible transformations
• Point transformations
• Nonlinear differential equations
• Lie groups
• Differential geometry
• Symmetry analysis
• Conservation laws
• Mathematical physics
• Geometric methods
• Partial differential equations

好的，这是一份关于一本假想图书的详细简介，该书的书名与您提供的名称无关，并且内容详实，力求自然流畅，避免任何AI痕迹。 --- 《空间织锦：多维流形上的拓扑动力学与信息几何》 内容简介 《空间织锦：多维流形上的拓扑动力学与信息几何》 是一部深入探讨现代几何学、拓扑学与复杂系统动力学交叉领域的前沿著作。本书聚焦于如何利用先进的微分几何工具来理解和量化高维数据流形上的内在结构、演化规律以及信息传输效率。全书结构严谨，从基础的黎曼几何概念出发，逐步构建起一套强大的理论框架，用于分析非线性系统的长期行为和全局稳定性。 本书的核心论点在于，复杂系统的动态演化过程，无论是在物理空间、相空间还是信息空间中体现，都可以被映射为在特定光滑流形上的测地线运动或拓扑形变。通过这种几何化的视角，我们可以超越传统的线性分析范畴，揭示隐藏在复杂现象背后的深层拓扑约束和几何不变性。 第一部分：流形基础与度量结构 本部分为全书的理论基石，为后续的动力学分析奠定坚实的数学基础。 第一章：光滑流形基础的回顾与拓展 本章首先对微分流形、切丛和张量场等基础概念进行了详尽的阐述，侧重于那些在动力系统和信息论中频繁出现的结构，例如纤维丛和上同调理论在描述拓扑不变量上的应用。重点讨论了流形上的微分形式、外微分运算以及德拉姆上同调在识别流形“洞”和“连通性”上的作用，这对于理解系统的全局吸引子结构至关重要。 第二章：黎曼几何与信息度量 本章深入探讨了流形上的度量结构。我们详细介绍了黎曼度量张量、克里斯托费尔符号以及测地线的概念。随后，本书将重点转向信息几何的范畴，引入费希尔信息矩阵（FIM）作为定义信息流形上的黎曼度量。通过对Kullback-Leibler散度（KL散度）的几何解释，展示了如何将概率分布的空间视为一个特定的黎曼流形。讨论了指数族模型中费希尔度量的构造及其在最大似然估计中的核心地位。特别关注了双曲几何在处理某些高熵系统中的适用性。 第三章：曲率与局部结构的量化 曲率是衡量流形局部偏离平坦空间程度的关键量。本章详细分析了里奇曲率（Ricci Curvature）、斯卡拉曲率（Scalar Curvature）以及更精细的黎曼曲率张量。我们将曲率与系统的局部压缩或扩张联系起来，例如，负曲率暗示着系统对初始扰动的敏感性（如混沌的早期迹象），而里奇曲率的零值则与测地线的平行性及哈密顿系统的守恒律相关联。本章还引入了Weyl张量，用于区分局部度规效应与整体拓扑约束。 第二部分：流形上的动力学系统 本部分将几何工具应用于非线性动力学的研究，重点关注系统的演化路径及其几何特性。 第四章：测地线流与哈密顿系统 本章将流形上的测地线运动视为一类特殊的动力学系统。我们详细推导了测地线方程，并展示了在能量守恒的背景下，测地线流如何对应于经典力学中的哈密顿系统。通过引入Poincaré-Cartan积分不变量和李维尔定理，我们阐明了在辛结构（Symplectic Structure）下，体积形式（Volume Form）的保持性如何保证相空间体积的不变性。对共轭动量和正则坐标变换在流形上的推广是本章的难点与重点。 第五章：李群、李代数与不变流 对于具有对称性的系统，李群和李代数提供了描述其不变性的有力语言。本章探讨了在流形上定义的李群作用，以及这些作用如何生成无穷小变换（李代数元）。我们利用 Killing 向量场来识别守恒量（First Integrals），并展示了诺特定理在几何背景下的精确表述。这部分内容对于理解保守系统、对称性破缺及其在相空间中的结构至关重要。 第六章：非保守系统与耗散动力学 在物理和工程应用中，耗散系统更为常见。本章研究了具有非零散度（Divergence）的向量场，即非保守动力学。我们侧重于皮卡德-勒夫定理（Picard-Lefschetz Theory）在分析耗散系统中的应用，特别是如何利用复结构（通过引入虚时间或复化技术）来研究系统的鞍点和奇点结构。重点分析了吸引子的拓扑性质，如Strange Attractors的维度估计和拓扑熵的计算。 第三部分：拓扑不变量与信息几何的交汇 本书的最后部分旨在统一几何度量与系统行为的全局拓扑特征，并将其与信息论联系起来。 第七章：拓扑动力学与分岔理论的几何视角 本章将注意力从局部分析转向全局结构。我们探讨了分岔理论中的拓扑结构变化，特别是系统参数穿越临界值时，吸引子集合的拓扑性质如何发生突变。利用米勒-莫尔斯理论（Morse Theory），我们将系统中的不动点和周期轨道与流形上的临界点联系起来，使用雅可比行列式和泰勒展开来预测分岔点。重点讨论了拓扑熵作为衡量混沌程度的全局指标。 第八章：信息流形上的动力学与贝叶斯推断 将信息几何与动力学相结合，本章分析了参数空间中概率模型的演化。我们研究了贝叶斯推断过程如何被视为信息流形上的一条“信息测地线”，并讨论了变分推断（Variational Inference）中最小化KL散度与寻找测地线投影之间的关系。引入了几何化随机梯度下降（Geometric SGD） 的概念，展示了信息度量如何修正标准梯度下降的方向，以更有效地探索高维概率空间。 第九章：几何化复杂性度量与应用 结论章将前述理论综合应用于实际问题。我们提出了一种基于流形曲率和拓扑复杂度的“几何化复杂性指数”，用于量化系统或数据集的内在结构复杂性。具体应用案例包括：在机器学习中对神经网络权值空间的黎曼几何分析，以及在金融时间序列中利用信息流形的几何特性来预测市场尾部风险。本书最后展望了量子信息论中，量子态空间作为高维复射影空间（CP^N）的几何结构如何限制量子计算的可行性。 --- 目标读者： 深入研究非线性动力学、拓扑数据分析、信息几何、理论物理以及高级数学物理的研究人员、博士后学者和高年级研究生。 特点： 本书的特点在于其跨学科的深度整合能力，它不仅是微分几何的教科书，更是将几何语言应用于复杂系统和信息科学的实践指南。书中包含大量的原创性推导和对前沿研究问题的几何化重构，旨在为读者提供一套全新的、更具洞察力的分析工具。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆